Estatística · 7.ª–12.ª classe

Como construir uma tabela de frequências para dados agrupados?

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Resposta curta

Para agrupar dados em classes: calcule a amplitude total (máximo − mínimo), escolha o número de classes (cerca de 5 a 10) e a amplitude de cada classe, defina intervalos que não se sobreponham, conte quantos dados caem em cada um e calcule f, fr, F e a marca de classe (ponto médio).

Caixa de madeira com compartimentos de seixos ordenados do mais pequeno ao maior, ao lado de um paquímetro e de um papel quadriculado com um histograma desenhado.

Quando se aplica

Agrupam-se os dados em classes quando a variável é contínua (alturas, tempos, massas) ou quando há muitos valores diferentes, de modo que uma linha por valor daria uma tabela enorme e quase sem repetições. Em contrapartida, agrupar faz perder o valor exato de cada dado: sabemos em que classe está, mas não o seu valor.

Vocabulário essencial

  • Classe: intervalo de valores, como [150, 155[ (inclui 150 e exclui 155).
  • Limite inferior e limite superior: os extremos da classe (150 e 155).
  • Amplitude da classe: limite superior − limite inferior (5).
  • Marca de classe: ponto médio, (limite inferior + limite superior) ÷ 2 (152,5).
  • Classe modal: a classe com maior frequência absoluta.

Nota

O símbolo [a, b[ significa «de a, inclusive, até b, exclusive». Assim, um dado igual a 155 pertence à classe seguinte, [155, 160[. Esta convenção evita que um dado caia em duas classes.

Método passo a passo

  1. Ordene os dados (opcional, mas facilita a contagem) e encontre o mínimo e o máximo.
  2. Calcule a amplitude total: A = máximo − mínimo.
  3. Escolha o número de classes, k. Uma regra prática é k próximo de √N, entre 5 e 10 para a maioria dos exercícios; ou siga o que o enunciado indicar.
  4. Calcule a amplitude de cada classe: h ≈ A ÷ k, arredondada para cima a um número cómodo (5, 10, …). As k classes têm de cobrir o intervalo do mínimo ao máximo.
  5. Defina as classes, começando um pouco abaixo do mínimo (num valor cómodo) e somando h a cada passo, com a convenção [a, b[.
  6. Conte quantos dados caem em cada classe e escreva fi.
  7. Calcule fr, F e a marca de classe. Confirme: f soma N, fr soma 1.

Marca de classe

marca = (limite inferior + limite superior) ÷ 2

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Notas de 20 alunos (amplitude 3)

Enunciado: As notas de 20 alunos são: 8, 12, 15, 9, 11, 14, 10, 13, 7, 16, 12, 10, 9, 17, 11, 13, 12, 8, 14, 10. Construa a tabela com classes de amplitude 3, começando em 6.

Resolução:

  1. Ordenando: 7, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 15, 16, 17. Mínimo 7, máximo 17.
  2. Classes: [6, 9[, [9, 12[, [12, 15[, [15, 18[. O 17 cabe na última.
  3. Contagem: [6, 9[ tem 7, 8, 8, ou seja 3 dados; [9, 12[ tem 9, 9, 10, 10, 10, 11, 11, ou seja 7; [12, 15[ tem 12, 12, 12, 13, 13, 14, 14, ou seja 7; [15, 18[ tem 15, 16, 17, ou seja 3.
  4. fr: 3 ÷ 20 = 0,15; 7 ÷ 20 = 0,35; 0,35; 0,15. F: 3; 10; 17; 20.
  5. Marcas de classe: 7,5; 10,5; 13,5; 16,5.
ClasseMarcafifriFi
[6, 9[7,530,153
[9, 12[10,570,3510
[12, 15[13,570,3517
[15, 18[16,530,1520
Total201,00

Resposta: tabela acima. Verificação: 3 + 7 + 7 + 3 = 20 e 0,15 + 0,35 + 0,35 + 0,15 = 1.

Exemplo 2 — Alturas: escolher a amplitude

Enunciado: As alturas, em cm, de 15 alunos são: 152, 158, 161, 155, 170, 163, 149, 166, 159, 172, 157, 164, 168, 153, 160. Agrupe em 5 classes.

Resolução:

  1. Ordenando: 149, 152, 153, 155, 157, 158, 159, 160, 161, 163, 164, 166, 168, 170, 172. Mínimo 149, máximo 172.
  2. Amplitude total: 172 − 149 = 23.
  3. Amplitude da classe: 23 ÷ 5 = 4,6, que se arredonda para 5. Cinco classes de amplitude 5 cobrem 25 unidades, mais do que 23.
  4. Começando em 148 (valor cómodo, abaixo do mínimo): [148, 153[, [153, 158[, [158, 163[, [163, 168[, [168, 173[.
  5. Contagem: [148, 153[ tem 149, 152 (2); [153, 158[ tem 153, 155, 157 (3); [158, 163[ tem 158, 159, 160, 161 (4); [163, 168[ tem 163, 164, 166 (3); [168, 173[ tem 168, 170, 172 (3).
  6. fr (2 casas): 0,13; 0,20; 0,27; 0,20; 0,20.
  7. Marcas: 150,5; 155,5; 160,5; 165,5; 170,5.

Resposta: f = 2, 3, 4, 3, 3; a classe modal é [158, 163[. Verificação: 2 + 3 + 4 + 3 + 3 = 15 e as fr somam 1,00.

Exemplo 3 — Nível de exame: completar e interpretar

Enunciado: O tempo de espera (em minutos) de 30 clientes num banco foi agrupado em [0, 10[, [10, 20[, [20, 30[ e [30, 40[, com frequências absolutas 4, 9, x e 5. Determine x, complete a tabela e indique a percentagem de clientes que esperou menos de 30 minutos e a classe modal.

Resolução:

  1. 4 + 9 + x + 5 = 30, logo x = 12.
  2. fr: 4 ÷ 30 ≈ 0,13; 9 ÷ 30 = 0,30; 12 ÷ 30 = 0,40; 5 ÷ 30 ≈ 0,17.
  3. F: 4; 13; 25; 30.
  4. Menos de 30 minutos: classes [0, 10[, [10, 20[ e [20, 30[: F = 25, logo 25 ÷ 30 ≈ 0,833, ou seja, cerca de 83%.
  5. A maior frequência é 12, na classe [20, 30[.

Resposta: x = 12; cerca de 83% esperou menos de 30 minutos; classe modal [20, 30[. Verificação: 4 + 9 + 12 + 5 = 30 e a última F é 30.

Erros frequentes

  • Classes que se sobrepõem ([0, 10], [10, 20]): o dado 10 cairia em duas classes. Use [0, 10[, [10, 20[.
  • Classes com amplitudes diferentes sem necessidade. Nos exercícios escolares, mantenha a mesma amplitude em todas as classes.
  • Não cobrir o máximo. Se o maior dado fica fora da última classe, a soma das frequências não dá N.
  • Dar demasiadas ou poucas classes. Com 2 classes perde-se a forma dos dados; com 20 classes para 30 dados, ficam muitas vazias.
  • Calcular a marca de classe pelo limite superior em vez do ponto médio.
  • Agrupar quando não é preciso. Se a variável é discreta com poucos valores, use uma linha por valor.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Os dados vão de 3 a 47. Quer 5 classes de igual amplitude. Qual a amplitude de cada classe e quais são as classes, começando em 3?

Ver solução

Amplitude total: 47 − 3 = 44. 44 ÷ 5 = 8,8, arredonda-se para 9. Classes: [3, 12[, [12, 21[, [21, 30[, [30, 39[, [39, 48[. O 47 pertence à última.

2Exercício 2

Agrupe em classes de amplitude 5, começando em 20: 21, 25, 32, 28, 35, 22, 40, 27, 33, 29, 31, 38. Indique fi.

Ver solução

[20, 25[: 21, 22 (2). [25, 30[: 25, 27, 28, 29 (4). [30, 35[: 31, 32, 33 (3). [35, 40[: 35, 38 (2). [40, 45[: 40 (1). Soma: 12.

3Exercício 3

Determine a marca de classe de [10, 20[, de [20, 30[ e de [1,60; 1,70[ (metros).

Ver solução

(10 + 20) ÷ 2 = 15; (20 + 30) ÷ 2 = 25; (1,60 + 1,70) ÷ 2 = 1,65.

4Exercício 4

Cinco classes têm frequências absolutas 5, 8, 12, 10 e 5. Calcule N, as percentagens, as acumuladas e indique a classe modal.

Ver solução

N = 40. Percentagens: 12,5%; 20%; 30%; 25%; 12,5%. Acumuladas: 5, 13, 25, 35, 40. A classe modal é a terceira (f = 12).

5Exercício 5

Um aluno construiu as classes [0, 10], [10, 20] e [20, 30]. Qual é o erro? Corrija e diga a que classe pertence um dado igual a 20.

Ver dica

Pense num dado igual a 10.

Ver solução

Os extremos aparecem em duas classes, por isso o dado 10 (ou o 20) pode ser contado duas vezes. Correção: [0, 10[, [10, 20[, [20, 30[. Com esta convenção, o dado 20 pertence a [20, 30[.

Perguntas frequentes

Quando se usa este método?

Quando a variável é contínua ou quando há muitos valores diferentes. Alturas, massas e tempos quase nunca se repetem exatamente, por isso a tabela só fica útil com classes.

Quantas classes devo escolher?

Não há um número único. Para a maioria dos exercícios, entre 5 e 8 classes funcionam bem; uma regra prática é usar valores próximos de √N. Se o enunciado fixar o número de classes ou a amplitude, siga o enunciado.

Existe um método mais rápido?

Com amplitude fixa dada pelo enunciado, basta definir as classes e contar. Numa folha de cálculo, a função de contagem por intervalo faz o trabalho, mas é preciso conferir que a soma das frequências é N.

Que erros são mais comuns?

Classes sobrepostas, última classe que não cobre o máximo e marca de classe mal calculada. Escreva sempre as classes na forma [a, b[ e confirme que a soma de f é N.

Resumo

  • Agrupa-se em classes quando a variável é contínua ou tem muitos valores diferentes.
  • Amplitude total = máximo − mínimo; amplitude da classe ≈ amplitude total ÷ número de classes, arredondada para cima.
  • As classes escrevem-se [a, b[ e não se sobrepõem.
  • Marca de classe = ponto médio; classe modal = a de maior frequência.
  • Confirme: f soma N, fr soma 1, a última F é N.

Onde aprofundar

  • O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
  • O manual aberto OpenStax Introductory Statistics (em inglês), capítulo sobre histogramas e distribuições de frequências.
  • Os quadros do Instituto Nacional de Estatística de Angola, que usam frequentemente grupos de idades.

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