Física · 10.ª–12.ª classe

Como calcular a aceleração da gravidade à superfície de um planeta?

  • 9 min de leitura
  • 4 exemplos resolvidos
  • 5 exercícios com solução
  • Atualizado em

Resposta curta

A aceleração da gravidade à superfície de um planeta calcula-se com g = G × M ÷ R2, em que G = 6,67 × 10-11 N·m2/kg2, M é a massa do planeta (kg) e R é o seu raio (m). O resultado vem em m/s2. Para a Terra dá cerca de 9,8 m/s2; para a Lua, cerca de 1,6 m/s2.

Fórmula e significado de cada termo

À superfície de um planeta, o peso de um corpo é a força gravitacional que o planeta exerce sobre ele. Igualando o peso m g à lei da gravitação universal, F = G M m ÷ R2, a massa m do corpo cancela-se e fica:

Aceleração da gravidade à superfície

g = G × M ÷ R2 G = 6,67 × 10-11 N·m2/kg2

  • g é a aceleração da gravidade à superfície, em m/s2 (equivalente a N/kg).
  • G é a constante de gravitação universal.
  • M é a massa do planeta, em kg.
  • R é o raio do planeta, em m. Para um corpo à superfície, a distância ao centro é o raio.

Repare que g não depende da massa do corpo, só da massa e do raio do planeta. É por isso que corpos de massas diferentes caem com a mesma aceleração, se se desprezar a resistência do ar.

Condições de aplicação

A fórmula vale para um planeta (ou astro) aproximadamente esférico e homogéneo, para pontos à superfície. A uma altitude h acima da superfície, a distância ao centro é R + h e a aceleração passa a ser g = G M ÷ (R + h)2. Despreza-se a rotação do planeta. Os valores de M e R devem ser os do enunciado ou do manual; os que se usam aqui são aproximados.

Dados úteis (valores aproximados)

AstroMassa (kg)Raio (m)
Terra5,97 × 10246,37 × 106
Lua7,35 × 10221,74 × 106
Marte6,39 × 10233,39 × 106

Passo a passo

  1. Anote M e R do planeta e o valor de G.
  2. Converta o raio para metros (1 km = 1 000 m = 103 m).
  3. Calcule R2, elevando ao quadrado também a potência de 10.
  4. Calcule o numerador G × M, somando os expoentes.
  5. Divida: g = (G × M) ÷ R2. Subtraia os expoentes.
  6. Escreva a unidade m/s2 e compare com a Terra (≈ 9,8 m/s2): o valor é plausível?
  7. Se pedirem o peso, use P = m × g com o g do planeta.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — A Terra

Enunciado: Calcule a aceleração da gravidade à superfície da Terra, com M = 5,97 × 1024 kg e R = 6,37 × 106 m.

Resolução:

  1. Numerador: G M = 6,67 × 10-11 × 5,97 × 1024 ≈ 39,82 × 1013 = 3,982 × 1014.
  2. Denominador: R2 = (6,37 × 106)2 ≈ 40,58 × 1012 = 4,058 × 1013.
  3. g = 3,982 × 1014 ÷ 4,058 × 1013 ≈ 9,81.

Resposta: g ≈ 9,8 m/s2. Verificação: coincide com o valor conhecido (9,8 m/s2).

Exemplo 2 — A Lua e o peso de uma pessoa

Enunciado: Calcule g à superfície da Lua (M = 7,35 × 1022 kg; R = 1,74 × 106 m) e o peso, na Lua, de uma pessoa de massa 60 kg. Compare com o peso na Terra (g = 9,8 m/s2).

Resolução:

  1. G M = 6,67 × 10-11 × 7,35 × 1022 ≈ 49,02 × 1011 = 4,902 × 1012.
  2. R2 = (1,74 × 106)2 ≈ 3,028 × 1012.
  3. gLua = 4,902 × 1012 ÷ 3,028 × 1012 ≈ 1,62 m/s2.
  4. Peso na Lua: P = 60 × 1,62 = 97,2 N. Peso na Terra: 60 × 9,8 = 588 N.

Resposta: gLua ≈ 1,62 m/s2; peso na Lua ≈ 97 N, contra 588 N na Terra. Verificação: 97,2 ÷ 588 ≈ 0,17, cerca de 1/6. A massa da pessoa (60 kg) é a mesma nos dois locais; só o peso muda.

Exemplo 3 — Comparar sem calcular G e M

Enunciado: Um planeta tem o dobro do raio da Terra e a mesma massa. Quanto vale g à sua superfície, em relação ao da Terra (9,8 m/s2)?

Resolução:

  1. g = G M ÷ R2. Com R' = 2R e M' = M: g' = G M ÷ (2R)2 = G M ÷ (4 R2).
  2. Logo g' = g ÷ 4 = 9,8 ÷ 4 = 2,45.

Resposta: g' = 2,45 m/s2. Verificação: raio duplo reduz g a um quarto. Se, além do raio duplo, a massa também duplicasse, g' seria g ÷ 2 = 4,9 m/s2.

Exemplo 4 — Nível de exame: a uma altitude

Enunciado: Qual é a aceleração da gravidade a uma altitude igual ao raio da Terra (h = R)? Use g0 = 9,8 m/s2 à superfície.

Resolução:

  1. À altitude h, a distância ao centro é R + h = R + R = 2R.
  2. g = G M ÷ (2R)2 = G M ÷ (4 R2) = g0 ÷ 4.
  3. g = 9,8 ÷ 4 = 2,45.

Resposta: g ≈ 2,45 m/s2. Verificação: a distância ao centro duplicou, logo g ficou 4 vezes menor.

Erros frequentes no cálculo

  • Esquecer de elevar R ao quadrado. Se usar R, o resultado fica cerca de 6 milhões de vezes maior (no caso da Terra).
  • Usar o raio em km sem converter para metros. Com R = 6 370 km, o resultado fica errado por um fator de 106.
  • Confundir g com G. g é a aceleração à superfície de um astro (depende do astro); G é a constante universal (não depende).
  • Confundir massa com peso. A massa não muda de planeta para planeta; o peso, sim.
  • Usar a altitude em vez da distância ao centro: a uma altitude h, usa-se R + h.
  • Errar nas potências de 10: somam-se os expoentes ao multiplicar e subtraem-se ao dividir.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Calcule g à superfície de Marte, com M = 6,39 × 1023 kg e R = 3,39 × 106 m.

Ver dica

G M ≈ 4,262 × 1013 e R2 ≈ 1,149 × 1013.

Ver solução

G M = 6,67 × 10-11 × 6,39 × 1023 ≈ 42,62 × 1012 = 4,262 × 1013. R2 = (3,39 × 106)2 ≈ 11,49 × 1012 = 1,149 × 1013. g = 4,262 × 1013 ÷ 1,149 × 1013 ≈ 3,7 m/s2.

2Exercício 2

Um planeta tem massa 8 × 1024 kg e raio 8 × 106 m. Calcule g à sua superfície.

Ver solução

G M = 6,67 × 10-11 × 8 × 1024 = 53,36 × 1013 = 5,336 × 1014. R2 = 64 × 1012 = 6,4 × 1013. g = 5,336 × 1014 ÷ 6,4 × 1013 ≈ 8,3 m/s2.

3Exercício 3

Um planeta tem a mesma massa da Terra, mas metade do raio. Quanto vale g à sua superfície, tomando g da Terra como 9,8 m/s2?

Ver dica

Com R' = R/2, o denominador é (R/2)2 = R2/4.

Ver solução

g' = G M ÷ (R/2)2 = 4 G M ÷ R2 = 4 g = 4 × 9,8 = 39,2 m/s2.

4Exercício 4

Um satélite está a uma altitude igual a 2R, onde R é o raio da Terra. Qual é a aceleração da gravidade nesse ponto? (g à superfície: 9,8 m/s2)

Ver dica

Distância ao centro: R + 2R = 3R.

Ver solução

g = G M ÷ (3R)2 = g0 ÷ 9 = 9,8 ÷ 9 ≈ 1,09 m/s2.

5Exercício 5

Sabendo que g = 1,62 m/s2 e R = 1,74 × 106 m à superfície da Lua, calcule a massa da Lua. (G = 6,67 × 10-11 N·m2/kg2)

Ver dica

Isole M: M = g R2 ÷ G.

Ver solução

R2 ≈ 3,028 × 1012. M = 1,62 × 3,028 × 1012 ÷ 6,67 × 10-11 ≈ 4,905 × 1012 ÷ 6,67 × 10-11 ≈ 7,35 × 1022 kg.

Perguntas frequentes

Qual é a fórmula para calcular a aceleração da gravidade à superfície de um planeta?

É g = G M ÷ R2, com G = 6,67 × 10-11 N·m2/kg2, M a massa do planeta em kg e R o seu raio em metros. O resultado está em m/s2.

Como verificar se o resultado está correto?

Compare com a Terra (9,8 m/s2): um planeta mais pequeno e menos massivo tem g menor; um maior e mais denso tem g maior. Pode ainda isolar M e ver se recupera a massa dada.

Porque é que g não depende da massa do corpo?

Porque a massa do corpo aparece nos dois lados da equação m g = G M m ÷ R2 e cancela-se. Daí que, sem resistência do ar, uma pedra e uma pena caiam com a mesma aceleração.

Que erros se cometem ao calcular g de um planeta?

Esquecer de elevar R ao quadrado, usar o raio em km e confundir g com G. Veja a secção "Erros frequentes no cálculo".

Resumo

  • g = G M / R2, em m/s2, com G = 6,67 × 10-11 N·m2/kg2.
  • M em kg e R em metros; R é a distância ao centro do planeta.
  • g depende do planeta, não da massa do corpo que cai.
  • Raio duplo: g divide-se por 4; distância ao centro tripla: g divide-se por 9.
  • A uma altitude h, use R + h no denominador.
  • O peso num planeta é P = m g; a massa do corpo não muda.

Onde aprofundar

  • O manual de Física da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
  • O manual aberto OpenStax Physics (em inglês), capítulo sobre gravitação.
  • O Sistema Internacional de Unidades, descrito pelo Bureau Internacional de Pesos e Medidas (BIPM).

Continue a estudar

10.ª–12.ª classe10 min

Exercícios resolvidos de gravitação universal

Nos exercícios de gravitação universal usa-se quase sempre F = G × m1 × m2 ÷ r2 para a força entre duas massas e g = G × M ÷ r2 para a aceleração da gravidade. Converta…

8 exemplos5 exercícios com solução

10.ª–12.ª classe10 min

O que é a lei da gravitação universal?

A lei da gravitação universal, formulada por Isaac Newton, diz que dois corpos quaisquer se atraem com uma força diretamente proporcional ao produto das suas massas e…

4 exemplos4 exercícios com solução

10.ª–12.ª classe9 min

Como calcular a força gravitacional entre dois corpos?

A força gravitacional entre dois corpos calcula-se com F = G × m1 × m2 ÷ r2, em que G = 6,67 × 10-11 N·m2/kg2, as massas estão em kg e r é a distância entre os centros…

4 exemplos5 exercícios com solução

10.ª–12.ª classe10 min

O que são as leis de Kepler?

As leis de Kepler descrevem o movimento dos planetas em torno do Sol. A 1.ª lei diz que as órbitas são elipses com o Sol num dos focos; a 2.ª lei diz que o segmento que…

4 exemplos5 exercícios com solução

Ver tudo de Física · Capítulo: Gravitação