Física · 10.ª–12.ª classe

Exercícios resolvidos de gravitação universal

  • 10 min de leitura
  • 8 exemplos resolvidos
  • 5 exercícios com solução
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Resposta curta

Nos exercícios de gravitação universal usa-se quase sempre F = G × m1 × m2 ÷ r2 para a força entre duas massas e g = G × M ÷ r2 para a aceleração da gravidade. Converta tudo para unidades SI, use a distância entre centros e lembre-se de que, se r duplica, a força fica 4 vezes menor.

Resumo da teoria necessária

A lei da gravitação universal de Newton diz que dois corpos com massa se atraem com forças iguais e opostas, proporcionais ao produto das massas e inversamente proporcionais ao quadrado da distância entre os seus centros.

Fórmulas deste artigo

F = G × m1 × m2 ÷ r2 g = G × M ÷ r2 (r = R + h) P = m × g G = 6,67 × 10-11 N·m2/kg2

Dados usados nos exercícios (confirme os do seu manual): massa da Terra M = 5,97 × 1024 kg; raio da Terra R = 6,37 × 106 m; g à superfície ≈ 9,8 m/s2; produto G × M da Terra ≈ 3,98 × 1014 m3/s2.

Estratégia de resolução

  1. Faça a lista dos dados e converta para SI (km para m, g para kg).
  2. Escolha a fórmula: força entre dois corpos (F) ou aceleração num ponto (g).
  3. Em g, use r = R + h, medido do centro do planeta.
  4. Substitua, calcule e escreva a unidade (N ou m/s2).
  5. Verifique a ordem de grandeza: g na Terra ronda 10 m/s2; a força entre objetos do dia a dia é minúscula.

Exercícios resolvidos (nível básico)

Exercício 1 — Força entre duas massas pequenas

Enunciado: Duas esferas de 10 kg e 20 kg estão a 2,0 m uma da outra (centro a centro). Calcule a força gravitacional entre elas.

Resolução:

  1. F = G × m1 × m2 ÷ r2.
  2. m1 × m2 = 10 × 20 = 200 kg2; r2 = 4,0 m2.
  3. F = 6,67 × 10-11 × 200 ÷ 4,0 = 6,67 × 10-11 × 50 = 3,335 × 10-9 N.

Resposta: F ≈ 3,3 × 10-9 N, uma força minúscula. Verificação: a força é a mesma sobre cada esfera (terceira lei de Newton).

Exercício 2 — O que acontece quando a distância triplica

Enunciado: A força entre dois corpos, a 1,0 m de distância, é 3,6 × 10-8 N. Qual será a força a 3,0 m?

Resolução:

  1. F é inversamente proporcional a r2.
  2. Se r triplica, r2 fica 9 vezes maior, logo F fica 9 vezes menor.
  3. F′ = 3,6 × 10-8 ÷ 9 = 4,0 × 10-9 N.

Resposta: 4,0 × 10-9 N. Verificação: 4,0 × 10-9 × 9 = 3,6 × 10-8.

Exercício 3 — Peso de uma pessoa pela lei de Newton

Enunciado: Uma pessoa de 60 kg está à superfície da Terra. Calcule o valor de g e a força com que a Terra a atrai.

Resolução:

  1. g = G × M ÷ R2 = 3,98 × 1014 ÷ (6,37 × 106)2.
  2. (6,37 × 106)2 = 40,58 × 1012 = 4,058 × 1013 m2.
  3. g = 3,98 × 1014 ÷ 4,058 × 1013 ≈ 9,81 m/s2.
  4. F = m × g = 60 × 9,81 ≈ 589 N.

Resposta: g ≈ 9,81 m/s2 e F ≈ 589 N. Verificação: com g = 9,8, o peso seria 588 N; a diferença vem do arredondamento.

Exercícios resolvidos (nível intermédio)

Exercício 4 — g a 600 km de altitude

Enunciado: Calcule a aceleração da gravidade a 600 km acima da superfície da Terra. Os astronautas a essa altitude ficam sem peso porque g é nulo?

Resolução:

  1. r = R + h = 6,37 × 106 + 0,60 × 106 = 6,97 × 106 m.
  2. r2 = 4,858 × 1013 m2.
  3. g = 3,98 × 1014 ÷ 4,858 × 1013 ≈ 8,19 m/s2.

Resposta: g ≈ 8,19 m/s2, apenas cerca de 16% menor do que à superfície. Verificação: os astronautas flutuam não porque g seja nulo, mas porque caem em queda livre à volta da Terra, juntamente com a nave.

Exercício 5 — Comparar planetas

Enunciado: Um planeta tem o dobro da massa da Terra e o dobro do raio. Compare o seu g com o da Terra (9,8 m/s2).

Resolução:

  1. g = G × M ÷ R2.
  2. g′ = G × (2M) ÷ (2R)2 = G × 2M ÷ 4R2 = (1 ÷ 2) × G × M ÷ R2.
  3. g′ = 9,8 ÷ 2 = 4,9 m/s2.

Resposta: g′ = 4,9 m/s2. Verificação: a massa dobrada faz g duplicar; o raio dobrado divide por 4; o efeito final é fator 2 ÷ 4 = 1/2.

Exercício 6 — Massa da Terra a partir de g

Enunciado: Sabendo que g = 9,8 m/s2 à superfície e R = 6,37 × 106 m, calcule a massa da Terra.

Resolução:

  1. De g = G × M ÷ R2 tira-se M = g × R2 ÷ G.
  2. g × R2 = 9,8 × 4,058 × 1013 = 3,977 × 1014.
  3. M = 3,977 × 1014 ÷ 6,67 × 10-11 = 5,96 × 1024 kg.

Resposta: M ≈ 5,96 × 1024 kg, praticamente o valor tabelado (5,97 × 1024 kg). Verificação: a pequena diferença vem do arredondamento de g.

Exercícios de exame

Exercício 7 — Atração entre a Terra e a Lua

Enunciado: A massa da Terra é 5,97 × 1024 kg, a da Lua 7,35 × 1022 kg e a distância entre os centros é 3,84 × 108 m. Calcule a força gravitacional entre os dois astros.

Resolução:

  1. G × MT = 6,67 × 10-11 × 5,97 × 1024 ≈ 3,98 × 1014.
  2. Multiplique pela massa da Lua: 3,98 × 1014 × 7,35 × 1022 ≈ 2,93 × 1037.
  3. r2 = (3,84 × 108)2 = 14,75 × 1016 = 1,475 × 1017 m2.
  4. F = 2,93 × 1037 ÷ 1,475 × 1017 ≈ 1,98 × 1020 N.

Resposta: F ≈ 2,0 × 1020 N. Verificação: a mesma força atua na Terra e na Lua, em sentidos opostos.

Exercício 8 — Em que ponto g é um quarto do valor à superfície

Enunciado: A que altitude acima da Terra a aceleração da gravidade vale g0 ÷ 4? Dê o resultado em km (R = 6 370 km).

Resolução:

  1. g é inversamente proporcional a r2.
  2. Para g ficar 4 vezes menor, r2 tem de ser 4 vezes maior, logo r é 2 vezes maior: r = 2R.
  3. h = r − R = 2R − R = R = 6 370 km.

Resposta: h = 6 370 km. Verificação: com r = 2R, g = 9,8 ÷ 4 = 2,45 m/s2.

Erros frequentes

  • Usar a altitude como se fosse a distância r. Em g = G × M ÷ r2, r mede-se a partir do centro da Terra.
  • Esquecer de elevar a distância ao quadrado, ou elevar ao quadrado só o valor numérico e não a potência de 10.
  • Deixar km ou gramas sem converter. G só funciona com metros e quilogramas.
  • Pensar que o corpo mais massivo sofre uma força maior. As duas forças são iguais; só a aceleração difere, porque as massas são diferentes.
  • Confundir massa com peso. A massa (kg) é a mesma em qualquer lugar; o peso (N) depende de g.
  • Errar nas potências de 10: 10-11 × 1024 = 1013, e não 1035.

Exercícios propostos com soluções

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Dois automóveis de 1,0 × 103 kg cada estão a 5,0 m um do outro. Calcule a força gravitacional entre eles.

Ver solução

F = 6,67 × 10-11 × (1,0 × 103) × (1,0 × 103) ÷ 5,02 = 6,67 × 10-5 ÷ 25 ≈ 2,7 × 10-6 N. É cerca de 2,7 × 10-6 N, desprezável.

2Exercício 2

Um astronauta de 70 kg encontra-se a uma altitude igual ao raio da Terra. Calcule a força gravitacional sobre ele (g na superfície: 9,8 m/s2).

Ver dica

A essa altitude, r = 2R, e g fica quatro vezes menor.

Ver solução

g = 9,8 ÷ 4 = 2,45 m/s2. F = 70 × 2,45 = 171,5 N, isto é, cerca de 1,7 × 102 N.

3Exercício 3

Calcule g à superfície de Marte, com M = 6,42 × 1023 kg e R = 3,39 × 106 m (confirme os dados no seu manual).

Ver solução

g = 6,67 × 10-11 × 6,42 × 1023 ÷ (3,39 × 106)2 = 4,282 × 1013 ÷ 1,149 × 1013 ≈ 3,73 m/s2, cerca de 38% do valor na Terra.

4Exercício 4

Se as duas massas de um sistema forem duplicadas e a distância entre elas também for duplicada, o que acontece à força gravitacional?

Ver solução

Numerador: duplicar cada massa multiplica o produto por 2 × 2 = 4. Denominador: duplicar r multiplica r2 por 4. A razão 4 ÷ 4 = 1: a força fica igual.

5Exercício 5

A que distância do centro da Terra a aceleração da gravidade é 1,0 m/s2? Dê também a altitude correspondente (G × M = 3,98 × 1014 m3/s2; R = 6,37 × 106 m).

Ver solução

r2 = G × M ÷ g = 3,98 × 1014 ÷ 1,0 = 3,98 × 1014 m2, logo r = √(3,98 × 1014) ≈ 1,995 × 107 m. A altitude é h = 1,995 × 107 − 0,637 × 107 = 1,358 × 107 m, ou seja, cerca de 13 600 km.

Perguntas frequentes

Como estudar este tema com exercícios?

Resolva primeiro sem olhar para a solução, escrevendo os dados em SI. Depois compare e anote onde errou. Repita os exercícios em que falhou uma semana depois.

Que tipo de exercícios saem nos exames?

Costumam pedir a força entre dois corpos, o valor de g a uma dada altitude ou noutro planeta, e comparações com proporções (se r duplica, se M triplica). Confirme o formato no programa da sua classe.

Onde posso rever a teoria?

No manual de Física da classe, no capítulo de Gravitação, e nos restantes artigos do MeuGuia sobre gravitação e velocidade orbital.

O que significa a constante G ser tão pequena?

Significa que a gravidade só é notável quando pelo menos um dos corpos tem massa enorme, como um planeta. Entre pessoas ou objetos de uso comum a força é minúscula.

Resumo

  • F = G × m1 × m2 ÷ r2 dá a força entre dois corpos; as duas forças são iguais e opostas.
  • g = G × M ÷ r2, com r = R + h, dá a aceleração da gravidade num ponto.
  • Se r duplica, F e g ficam 4 vezes menores; se r triplica, 9 vezes menores.
  • Converta sempre para SI e use a distância entre centros.
  • A massa é constante; o peso P = m × g depende do local.

Onde aprofundar

  • O manual de Física da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola); confirme a edição em vigor.
  • O manual aberto OpenStax Physics (em inglês), capítulo sobre gravitação universal.
  • O Sistema Internacional de Unidades, descrito pelo BIPM.

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