Física · 10.ª–12.ª classe
Como calcular a força gravitacional entre dois corpos?
Resposta curta
A força gravitacional entre dois corpos calcula-se com F = G × m1 × m2 ÷ r2, em que G = 6,67 × 10-11 N·m2/kg2, as massas estão em kg e r é a distância entre os centros, em metros. O resultado vem em newtons. Exemplo: 5 kg e 20 kg a 0,5 m atraem-se com cerca de 2,67 × 10-8 N.
Fórmula e significado de cada termo
Segundo a lei da gravitação universal de Newton, quaisquer dois corpos com massa se atraem. A intensidade dessa atração é:
Força gravitacional
F = G × m1 × m2 ÷ r2 G = 6,67 × 10-11 N·m2/kg2
- F é a intensidade da força, em newtons (N). É a mesma para os dois corpos (ação e reação).
- G é a constante de gravitação universal.
- m1, m2 são as massas, em quilogramas (kg).
- r é a distância entre os centros dos corpos, em metros (m).
Condições de aplicação
A fórmula aplica-se diretamente a corpos pequenos em comparação com a distância que os separa (partículas) e a esferas homogéneas, em que r é a distância entre os centros. É por isso que, para um corpo à superfície da Terra, r é o raio da Terra e não a altura do corpo. Use o valor de G que o seu programa indicar (6,67 × 10-11 é o mais comum; confirme no manual).
Dados úteis (valores aproximados)
| Grandeza | Valor |
|---|---|
| Massa da Terra | 5,97 × 1024 kg |
| Raio da Terra | 6,37 × 106 m |
| Massa da Lua | 7,35 × 1022 kg |
| Distância média Terra–Lua | 3,84 × 108 m |
Estes valores são aproximações habituais; use os que constam do enunciado ou do seu manual.
Passo a passo
- Liste os dados: m1, m2, r e G.
- Converta para o SI: massas em kg (1 tonelada = 1 000 kg), distância em m (1 km = 1 000 m; 1 cm = 0,01 m).
- Escreva a fórmula F = G m1 m2 ÷ r2 antes de substituir.
- Calcule o numerador: G × m1 × m2. Trabalhe com potências de 10 para não se perder.
- Calcule r2 (eleve a distância ao quadrado, incluindo a potência de 10).
- Divida e escreva o resultado em notação científica, com a unidade N.
- Verifique: a ordem de grandeza faz sentido? A força é minúscula para objetos pequenos e enorme para astros.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Duas esferas pequenas
Enunciado: Duas esferas de 5 kg e 20 kg estão a 0,5 m uma da outra (distância entre os centros). Calcule a força gravitacional entre elas.
Resolução:
- F = G m1 m2 ÷ r2 = 6,67 × 10-11 × 5 × 20 ÷ 0,52.
- m1 m2 = 100 e r2 = 0,25, logo 100 ÷ 0,25 = 400.
- F = 6,67 × 10-11 × 400 = 2 668 × 10-11 = 2,668 × 10-8.
Resposta: F ≈ 2,67 × 10-8 N. Verificação: a distância é metade de 1 m, logo a força é 4 vezes a que daria 100 kg² a 1 m: 6,67 × 10-9 × 4 = 2,67 × 10-8 N.
Exemplo 2 — Dois petroleiros no porto
Enunciado: Dois navios de 5 × 107 kg cada (cerca de 50 000 toneladas) estão a 100 m um do outro. Calcule a força gravitacional entre eles.
Resolução:
- m1 m2 = 5 × 107 × 5 × 107 = 25 × 1014 = 2,5 × 1015 kg2.
- r2 = 1002 = 104 m2.
- m1 m2 ÷ r2 = 2,5 × 1015 ÷ 104 = 2,5 × 1011.
- F = 6,67 × 10-11 × 2,5 × 1011 = 6,67 × 2,5 = 16,675.
Resposta: F ≈ 16,7 N. Verificação: é uma força pequena, comparável ao peso de uma massa de cerca de 1,7 kg, apesar de os navios terem milhares de toneladas; a distância de 100 m enfraquece muito a atração.
Exemplo 3 — Nível de exame: a Terra e a Lua
Enunciado: Calcule a força gravitacional entre a Terra (5,97 × 1024 kg) e a Lua (7,35 × 1022 kg), sabendo que a distância entre os centros é 3,84 × 108 m.
Resolução:
- Numerador: G m1 m2 = 6,67 × 10-11 × 5,97 × 1024 × 7,35 × 1022.
- Mantissas: 6,67 × 5,97 ≈ 39,82 e 39,82 × 7,35 ≈ 292,7. Expoentes: −11 + 24 + 22 = 35. Numerador ≈ 292,7 × 1035 = 2,927 × 1037.
- Denominador: r2 = (3,84 × 108)2 = 14,75 × 1016 = 1,475 × 1017.
- F = 2,927 × 1037 ÷ 1,475 × 1017 ≈ 1,98 × 1020.
Resposta: F ≈ 2,0 × 1020 N. Verificação: a ordem de grandeza (1020 N) é enorme, como esperado para dois astros.
Exemplo 4 — Calcular a distância
Enunciado: Dois corpos de 100 kg atraem-se com uma força de 6,67 × 10-7 N. A que distância estão os centros?
Resolução:
- Isole r: r2 = G m1 m2 ÷ F.
- r2 = 6,67 × 10-11 × 100 × 100 ÷ 6,67 × 10-7 = 6,67 × 10-7 ÷ 6,67 × 10-7 = 1.
- r = √1 = 1.
Resposta: r = 1 m. Verificação: F = 6,67 × 10-11 × 10 000 ÷ 1 = 6,67 × 10-7 N.
Erros frequentes no cálculo
- Esquecer de elevar r ao quadrado (usar r em vez de r2).
- Usar a distância em km ou cm sem converter para metros.
- Trabalhar mal com potências de 10: ao multiplicar, somam-se os expoentes; ao dividir, subtraem-se. No Exemplo 2, 1015 ÷ 104 = 1011.
- Medir r à superfície em vez de entre os centros (por exemplo, usar a altitude de um satélite sem somar o raio da Terra).
- Usar o peso em newtons no lugar da massa em kg.
- Esquecer G ou trocar o expoente (10-11, não 1011).
Exercícios propostos
1Exercício 1
Calcule a força gravitacional entre corpos de 10 kg e 30 kg, a 1 m de distância (G = 6,67 × 10-11 N·m2/kg2).
Ver solução
F = 6,67 × 10-11 × 10 × 30 ÷ 12 = 6,67 × 10-11 × 300 = 2 001 × 10-11 ≈ 2,0 × 10-8 N.
2Exercício 2
Calcule a força gravitacional entre corpos de 2 kg e 3 kg, a 2 m de distância.
Ver dica
r2 = 22 = 4.
Ver solução
F = 6,67 × 10-11 × 2 × 3 ÷ 4 = 6,67 × 10-11 × 1,5 = 10,005 × 10-11 ≈ 1,0 × 10-10 N.
3Exercício 3
Dois camiões de 10 000 kg cada estão parados a 5 m um do outro. Qual é a força gravitacional entre eles?
Ver solução
m1 m2 = 104 × 104 = 108. r2 = 25. F = 6,67 × 10-11 × 108 ÷ 25 = 6,67 × 10-3 ÷ 25 = 0,26668 × 10-3 ≈ 2,7 × 10-4 N.
4Exercício 4
Calcule a força gravitacional entre a Terra (5,97 × 1024 kg) e uma pessoa de 60 kg à superfície, sendo r = 6,37 × 106 m. Compare com o peso m g, com g = 9,8 m/s2.
Ver dica
Calcule 6,67 × 5,97 × 60 e r2 = 6,372 × 1012.
Ver solução
Numerador: 6,67 × 10-11 × 5,97 × 1024 × 60 ≈ 39,82 × 60 × 1013 = 2 389 × 1013 = 2,389 × 1016. Denominador: (6,37 × 106)2 = 40,58 × 1012 = 4,058 × 1013. F ≈ 2,389 × 1016 ÷ 4,058 × 1013 ≈ 589 N. O peso é 60 × 9,8 = 588 N. Os valores coincidem (a pequena diferença vem dos arredondamentos): o peso é a força gravitacional da Terra sobre o corpo.
5Exercício 5
Dois corpos de 20 kg e 30 kg atraem-se com uma força de 1,0 × 10-8 N. A que distância estão os seus centros?
Ver dica
r2 = G m1 m2 ÷ F.
Ver solução
r2 = 6,67 × 10-11 × 20 × 30 ÷ 1,0 × 10-8 = 6,67 × 10-11 × 600 ÷ 10-8 = 4,002 × 10-8 ÷ 10-8 ≈ 4,0. Logo r = √4,0 ≈ 2,0 m.
Perguntas frequentes
Qual é a fórmula para calcular a força gravitacional entre dois corpos?
É F = G m1 m2 ÷ r2, com G = 6,67 × 10-11 N·m2/kg2, as massas em kg e r, a distância entre os centros, em m. O resultado está em newtons.
Como verificar se o resultado está correto?
Confirme que usou r ao quadrado, que as unidades estão no SI e que a ordem de grandeza é plausível. Pode ainda isolar r ou uma das massas e ver se recupera o dado inicial, como no Exemplo 4.
A força que o corpo maior exerce é maior do que a do menor?
Não. As duas forças formam um par ação-reação e têm a mesma intensidade. O que muda é a aceleração, que é inversamente proporcional à massa de cada corpo.
Que erros se cometem ao calcular a força gravitacional?
Esquecer o quadrado da distância, não converter km em m e confundir os expoentes das potências de 10. Veja "Erros frequentes no cálculo".
Resumo
- F = G m1 m2 / r2, em newtons, com G = 6,67 × 10-11 N·m2/kg2.
- Massas em kg e distância entre os centros em m.
- Duplicar a distância divide a força por 4; duplicar uma massa duplica-a.
- As duas forças do par têm a mesma intensidade e sentidos opostos.
- Em notação científica, somam-se os expoentes na multiplicação e subtraem-se na divisão.
- Para um corpo à superfície da Terra, r é o raio da Terra e F é o peso do corpo.
Onde aprofundar
- O manual de Física da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
- O manual aberto OpenStax Physics (em inglês), capítulo sobre gravitação.
- O Sistema Internacional de Unidades, descrito pelo Bureau Internacional de Pesos e Medidas (BIPM).
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