Física · 10.ª–12.ª classe

Como calcular o alcance de um lançamento oblíquo?

  • 8 min de leitura
  • 4 exemplos resolvidos
  • 5 exercícios com solução
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Resposta curta

O alcance de um lançamento oblíquo, quando o corpo parte e chega ao mesmo nível, é R = v02 × sen(2θ) / g. Calcule v02, multiplique por sen(2θ) e divida por g. Exemplo: v0 = 20 m/s, θ = 30°, g = 10 m/s2 dão R ≈ 34,6 m.

Fórmula e significado de cada termo

No lançamento oblíquo, o corpo sai com velocidade v0 inclinada de um ângulo θ em relação à horizontal. O alcance é a distância horizontal entre o ponto de lançamento e o ponto onde o corpo volta ao mesmo nível.

Alcance, tempo de voo e altura máxima

R = v₀² × sen(2θ) / g t_voo = 2 v₀ sen θ / g h_máx = v₀² × sen²θ / (2g)

  • R — alcance, em m.
  • v0 — valor da velocidade inicial, em m/s.
  • θ — ângulo de lançamento com a horizontal.
  • g — aceleração da gravidade (9,8 m/s2; use 10 m/s2 se o enunciado o indicar).

De onde vem a fórmula

As componentes iniciais são v0x = v0 cos θ e v0y = v0 sen θ. O corpo regressa ao nível inicial quando o tempo é t = 2 v0y / g = 2 v0 sen θ / g. Na horizontal o movimento é uniforme, logo R = v0x × t = v0 cos θ × 2 v0 sen θ / g = v02 × 2 sen θ cos θ / g. Como 2 sen θ cos θ = sen(2θ), obtém-se R = v02 sen(2θ) / g.

Condições de aplicação

  • Resistência do ar desprezável e g constante.
  • O ponto de chegada está à mesma altura do ponto de partida. Se for mais alto ou mais baixo (lançar de um telhado, por exemplo), esta fórmula não serve: use as equações do movimento separadas.
  • Alcance máximo para um dado v0: θ = 45°, onde sen 90° = 1 e Rmáx = v02/g.
  • Ângulos complementares (θ e 90° − θ) dão o mesmo alcance.

Passo a passo

  1. Confirme as condições: mesmo nível de partida e chegada, sem ar.
  2. Escreva v0, θ e g, em unidades do SI (km/h para m/s dividindo por 3,6).
  3. Calcule 2θ e depois sen(2θ) com a calculadora em modo graus.
  4. Calcule v02.
  5. Substitua: R = v02 × sen(2θ) ÷ g.
  6. Verifique: o resultado nunca excede v02/g, o alcance máximo a 45°.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Básico

Enunciado: Uma bola é chutada com velocidade de 20 m/s a 30° com a horizontal. Calcule o alcance (g = 10 m/s2; sen 60° ≈ 0,866).

Resolução:

  1. 2θ = 60°, logo sen(2θ) = sen 60° ≈ 0,866.
  2. v02 = 202 = 400.
  3. R = 400 × 0,866 ÷ 10 = 346,4 ÷ 10 = 34,64.

Resposta: R ≈ 34,6 m. Verificação: tempo de voo 2 × 20 × 0,5 ÷ 10 = 2 s; v0x = 20 × 0,866 = 17,32 m/s; 17,32 × 2 = 34,64 m.

Exemplo 2 — Alcance máximo

Enunciado: Um atleta lança o dardo com velocidade de 30 m/s. Qual é o alcance máximo possível, em solo plano (g = 10 m/s2)?

Resolução:

  1. O alcance é máximo para θ = 45°, onde sen 90° = 1.
  2. Rmáx = v02 / g = 900 ÷ 10 = 90.

Resposta: 90 m (valor teórico sem ar). Verificação: com 30°, R = 900 × 0,866 ÷ 10 = 77,9 m, menor do que 90 m.

Exemplo 3 — Ângulos complementares

Enunciado: Com v0 = 20 m/s, compare os alcances para θ = 30° e θ = 60° (g = 10 m/s2).

Resolução:

  1. Para 30°: sen 60° ≈ 0,866, R = 400 × 0,866 ÷ 10 ≈ 34,6 m.
  2. Para 60°: 2θ = 120° e sen 120° = sen 60° ≈ 0,866, logo R ≈ 34,6 m.

Resposta: alcances iguais (≈ 34,6 m); a trajetória a 60° é mais alta e demora mais tempo (3,46 s contra 2 s). Verificação: 2 × 20 × 0,866 ÷ 10 = 3,46 s.

Exemplo 4 — Nível de exame: descobrir a velocidade

Enunciado: Uma bola lançada a 45° atinge o solo a 40 m do ponto de lançamento. Qual foi a velocidade de lançamento (g = 10 m/s2)?

Resolução:

  1. A 45°, sen 90° = 1, então R = v02 / g.
  2. v02 = R × g = 40 × 10 = 400.
  3. v0 = √400 = 20 m/s.

Resposta: 20 m/s. Verificação: 202 ÷ 10 = 40 m.

Erros frequentes no cálculo

  • Calcular sen θ em vez de sen(2θ). Duplique o ângulo antes de usar o seno.
  • Calculadora em radianos em vez de graus: dá valores absurdos.
  • Usar a fórmula quando a chegada não está ao nível da partida.
  • Esquecer de elevar v0 ao quadrado.
  • Pensar que ângulos maiores dão sempre maior alcance. O máximo é a 45°; depois o alcance volta a diminuir.
  • Não converter km/h para m/s antes de calcular.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Calcule o alcance de um projétil lançado a 10 m/s com ângulo de 30° (g = 10 m/s2; sen 60° ≈ 0,866).

Ver solução

R = 102 × 0,866 ÷ 10 = 86,6 ÷ 10 = 8,66 m.

2Exercício 2

Qual é o alcance de um lançamento a 45° com velocidade de 40 m/s (g = 10 m/s2)?

Ver solução

sen 90° = 1, logo R = 402 ÷ 10 = 1 600 ÷ 10 = 160 m.

3Exercício 3

O alcance máximo de um lançamento é 90 m. Qual foi a velocidade inicial (g = 10 m/s2)?

Ver dica

O alcance máximo ocorre a 45°: R = v02/g.

Ver solução

v02 = 90 × 10 = 900, logo v0 = 30 m/s.

4Exercício 4

Na Lua g ≈ 1,6 m/s2. Uma bola é lançada a 45° com 8 m/s. Calcule o alcance na Lua e na Terra (g = 10 m/s2).

Ver solução

Lua: R = 64 ÷ 1,6 = 40 m. Terra: R = 64 ÷ 10 = 6,4 m. O alcance é inversamente proporcional a g.

5Exercício 5

Um corpo é lançado a 20 m/s e alcança 20 m. Que ângulos de lançamento são possíveis (g = 10 m/s2)?

Ver dica

Calcule sen(2θ) = R g / v02 e lembre-se de que sen 30° = sen 150° = 0,5.

Ver solução

sen(2θ) = 20 × 10 ÷ 400 = 200 ÷ 400 = 0,5. Logo 2θ = 30° ou 2θ = 150°, ou seja θ = 15° ou θ = 75° (ângulos complementares).

Perguntas frequentes

Qual é a fórmula para calcular o alcance de um lançamento oblíquo?

R = v02 sen(2θ) / g, válida quando o corpo parte e chega ao mesmo nível e o ar é desprezável. Para outros casos, calcule o tempo de voo com a equação vertical e multiplique por v0 cos θ.

Como verificar se o resultado está correto?

Calcule o tempo de voo (2 v0 sen θ / g) e multiplique por v0 cos θ: deve dar o mesmo R. Confirme ainda que R não ultrapassa v02/g.

Que erros se cometem ao calcular o alcance de um lançamento oblíquo?

Esquecer o dobro do ângulo, usar a calculadora em radianos e aplicar a fórmula a lançamentos de um telhado ou de uma colina.

Qual é o ângulo que dá o maior alcance?

45°, em solo plano e sem ar. Na prática, com a resistência do ar e quando se lança de uma altura acima do solo, o ângulo ideal é um pouco diferente.

Resumo

  • R = v02 sen(2θ) / g, para partida e chegada ao mesmo nível.
  • Alcance máximo a 45°: Rmáx = v02/g.
  • θ e 90° − θ dão o mesmo alcance.
  • Use graus na calculadora e unidades do SI.
  • Na Lua, onde g é menor, o alcance é maior para a mesma velocidade.

Onde aprofundar

  • O manual de Física da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
  • O manual aberto OpenStax Physics (em inglês), secção sobre movimento de projéteis.
  • O Sistema Internacional de Unidades, descrito pelo Bureau Internacional de Pesos e Medidas (BIPM).

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