Física · 10.ª–12.ª classe
Como calcular a velocidade orbital de um satélite?
Resposta curta
A velocidade orbital de um satélite em órbita circular calcula-se com v = √(G × M ÷ r), onde G é a constante gravitacional, M a massa do planeta e r a distância ao centro do planeta (raio do planeta mais a altitude). A massa do satélite não entra na fórmula.
Quando se aplica
A fórmula vale para um satélite (ou uma lua) em órbita circular à volta de um corpo muito mais massivo, quando a única força relevante é a atração gravitacional desse corpo. É o caso dos satélites artificiais da Terra, da Lua à volta da Terra e dos planetas à volta do Sol.
De onde vem a fórmula
Num movimento circular uniforme, a força que mantém o satélite na curva é a força gravitacional, que faz o papel de força centrípeta:
- Força gravitacional: F = G × M × m ÷ r2
- Força centrípeta: F = m × v2 ÷ r
Igualando as duas, a massa m do satélite cancela-se: G × M ÷ r2 = v2 ÷ r, logo v2 = G × M ÷ r.
Velocidade orbital (órbita circular)
v = √(G × M ÷ r) r = R + h Período: T = 2π × r ÷ v
Significado de cada termo
| Símbolo | Significado | Valor / unidade (Terra) |
|---|---|---|
| v | velocidade orbital | m/s |
| G | constante de gravitação universal | 6,67 × 10-11 N·m2/kg2 |
| M | massa do planeta | 5,97 × 1024 kg (Terra) |
| R | raio do planeta | 6,37 × 106 m (Terra) |
| h | altitude do satélite acima da superfície | m |
| r | distância ao centro do planeta | m |
Nos cálculos abaixo usamos o produto G × M ≈ 3,98 × 1014 m3/s2 para a Terra (6,67 × 5,97 ≈ 39,8, e 10-11 × 1024 = 1013). Confirme no seu manual os valores de G, M e R que o seu professor pede.
Método passo a passo
- Identifique o planeta e escreva G, M e R (ou o produto G × M).
- Converta a altitude para metros (1 km = 1 000 m).
- Calcule r = R + h. É o erro mais comum esquecer-se de somar o raio.
- Calcule G × M ÷ r com os valores em unidades SI.
- Extraia a raiz quadrada. O resultado vem em m/s.
- Verifique: a velocidade de satélites baixos da Terra ronda os 7 a 8 km/s; quanto mais alta a órbita, mais lento o satélite.
Variante sem a massa do planeta
Se o problema só der g à superfície (9,8 m/s2) e o raio R, use G × M = g × R2. A fórmula fica v = R × √(g ÷ r). Para uma órbita rasante (r ≈ R), v ≈ √(g × R).
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Satélite a 600 km de altitude
Enunciado: Um satélite descreve uma órbita circular a 600 km acima da superfície da Terra. Calcule a sua velocidade orbital e o período. Use G × M = 3,98 × 1014 m3/s2 e R = 6,37 × 106 m.
Resolução:
- h = 600 km = 6,0 × 105 m.
- r = R + h = 6,37 × 106 + 0,60 × 106 = 6,97 × 106 m.
- v2 = 3,98 × 1014 ÷ 6,97 × 106 ≈ 5,71 × 107 m2/s2.
- v = √(5,71 × 107) ≈ 7,56 × 103 m/s.
- Período: T = 2π × r ÷ v = 2 × 3,1416 × 6,97 × 106 ÷ 7 556 ≈ 4,379 × 107 ÷ 7 556 ≈ 5 796 s.
Resposta: v ≈ 7,56 km/s (cerca de 27 200 km/h) e T ≈ 5 800 s, isto é, cerca de 97 min. Verificação: 7 556 × 5 796 ≈ 4,38 × 107 m, igual ao comprimento da órbita 2π × r.
Exemplo 2 — Satélite geoestacionário
Enunciado: Um satélite de comunicações, que serve a televisão por satélite, está numa órbita de raio r = 4,22 × 107 m. Calcule a velocidade e confirme que o período é de cerca de um dia.
Resolução:
- v2 = 3,98 × 1014 ÷ 4,22 × 107 ≈ 9,43 × 106 m2/s2.
- v = √(9,43 × 106) ≈ 3,07 × 103 m/s.
- Período: T = 2π × r ÷ v = 2 × 3,1416 × 4,22 × 107 ÷ 3 071 ≈ 2,652 × 108 ÷ 3 071 ≈ 8,6 × 104 s.
- 8,6 × 104 s ÷ 3 600 s/h ≈ 24 h.
Resposta: v ≈ 3,07 km/s, com período de cerca de 24 h. Verificação: o satélite dá uma volta por dia, por isso fica sempre por cima do mesmo ponto do Equador; é a condição de um satélite geoestacionário. Repare que, por estar mais alto, é mais lento do que o satélite do Exemplo 1.
Exemplo 3 — Nível de exame: descobrir a altitude
Enunciado: Um satélite de observação move-se numa órbita circular com velocidade de 7,0 km/s. A que altitude está acima da superfície da Terra? Use G × M = 3,98 × 1014 m3/s2 e R = 6,37 × 106 m.
Resolução:
- Da fórmula v2 = G × M ÷ r, tira-se r = G × M ÷ v2.
- v = 7,0 km/s = 7,0 × 103 m/s, logo v2 = 4,9 × 107 m2/s2.
- r = 3,98 × 1014 ÷ 4,9 × 107 ≈ 8,12 × 106 m.
- h = r − R = 8,12 × 106 − 6,37 × 106 = 1,75 × 106 m.
Resposta: h ≈ 1 750 km. Verificação: com h = 1 750 km, r = 8,12 × 106 m e √(3,98 × 1014 ÷ 8,12 × 106) = √(4,90 × 107) = 7,0 × 103 m/s.
Exemplo 4 — Sem a massa da Terra
Enunciado: Calcule a velocidade de um satélite em órbita rasante (r ≈ R) usando apenas g = 9,8 m/s2 e R = 6,37 × 106 m.
Resolução:
- Use v = √(g × R).
- g × R = 9,8 × 6,37 × 106 = 6,24 × 107 m2/s2.
- v = √(6,24 × 107) ≈ 7,90 × 103 m/s.
Resposta: v ≈ 7,9 km/s. Verificação: é ligeiramente maior do que no Exemplo 1, como esperado para uma órbita mais baixa.
Erros frequentes
- Usar a altitude h em vez de r. A fórmula pede a distância ao centro da Terra: r = R + h. Com 600 km em vez de 6 970 km o resultado fica completamente errado.
- Deixar a altitude em quilómetros enquanto G está em unidades SI. Converta tudo para metros antes de calcular.
- Esquecer a raiz quadrada. Se parar em v2, obtém 5,71 × 107, um valor absurdo para uma velocidade.
- Pensar que o satélite mais pesado é mais rápido. A massa do satélite cancela-se; dois satélites de massas diferentes na mesma órbita têm a mesma velocidade.
- Achar que a velocidade cresce com a altitude. Acontece o contrário: órbita maior, velocidade menor.
- Usar o raio em km com G em unidades SI. Somar 6 370 km com 600 km e tratar 6 970 como metros dá um r mil vezes menor e uma velocidade cerca de 32 vezes maior, sem sentido físico.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Calcule a velocidade orbital de um satélite a 400 km de altitude. Use G × M = 3,98 × 1014 m3/s2 e R = 6,37 × 106 m.
Ver dica
Comece por r = R + h em metros.
Ver solução
r = 6,37 × 106 + 0,40 × 106 = 6,77 × 106 m. v2 = 3,98 × 1014 ÷ 6,77 × 106 ≈ 5,88 × 107 m2/s2. v = √(5,88 × 107) ≈ 7,67 × 103 m/s, isto é, cerca de 7,67 km/s.
2Exercício 2
Para o satélite do exercício anterior, calcule o período de revolução, em segundos e em minutos.
Ver solução
T = 2π × r ÷ v = 2 × 3,1416 × 6,77 × 106 ÷ 7 667 ≈ 4,254 × 107 ÷ 7 667 ≈ 5 548 s. Dividindo por 60: 5 548 ÷ 60 ≈ 92,5. O período é cerca de 5,55 × 103 s, ou seja, 92 min.
3Exercício 3
Um satélite tem velocidade orbital de 5,0 km/s. Determine a altitude da órbita, com os dados G × M = 3,98 × 1014 m3/s2 e R = 6,37 × 106 m.
Ver solução
r = G × M ÷ v2 = 3,98 × 1014 ÷ (5,0 × 103)2 = 3,98 × 1014 ÷ 2,5 × 107 ≈ 1,592 × 107 m. h = r − R = 1,592 × 107 − 0,637 × 107 = 0,955 × 107 m, ou seja, cerca de 9 550 km de altitude.
4Exercício 4
Dois satélites, um de 100 kg e outro de 1 000 kg, estão na mesma órbita circular. Qual deles é mais rápido? Se um terceiro satélite estiver numa órbita de raio 4 vezes maior, que acontece à velocidade?
Ver solução
Nenhum é mais rápido: a massa do satélite não aparece em v = √(G × M ÷ r), pelo que ambos têm a mesma velocidade. Se r passa a 4r, v passa a √(G × M ÷ 4r) = (1 ÷ 2) × √(G × M ÷ r): a velocidade reduz-se a metade.
5Exercício 5
Usando g = 9,8 m/s2 e R = 6,37 × 106 m, calcule a velocidade de um satélite cuja órbita tem altitude igual ao raio da Terra (h = R).
Ver dica
Se h = R, então r = 2R. Use v = R × √(g ÷ r).
Ver solução
r = 2R = 1,274 × 107 m. v = R × √(g ÷ r) = 6,37 × 106 × √(9,8 ÷ 1,274 × 107) = 6,37 × 106 × √(7,69 × 10-7) = 6,37 × 106 × 8,77 × 10-4 ≈ 5,59 × 103 m/s. Confirmação: é a velocidade rasante dividida por √2, isto é, 7,90 ÷ 1,414 ≈ 5,59. Resposta: v ≈ 5,6 km/s.
Perguntas frequentes
Qual é a fórmula para calcular a velocidade orbital de um satélite?
É v = √(G × M ÷ r), com r = R + h medido a partir do centro do planeta. Aplica-se a órbitas circulares e não depende da massa do satélite.
Como verificar se o resultado está correto?
Calcule o período T = 2π × r ÷ v e compare com valores conhecidos: cerca de 90 a 100 minutos para satélites baixos e perto de 24 horas para os geoestacionários. Veja também se o valor para a Terra fica entre 3 e 8 km/s.
Porque é que um satélite não cai para a Terra?
Cai continuamente, mas, como tem velocidade horizontal elevada, a curvatura da trajetória acompanha a curvatura da Terra e nunca chega ao solo. Se parasse, cairia na vertical.
Que erros se cometem ao calcular a velocidade orbital?
Os mais comuns são usar a altitude em vez de r, esquecer a conversão de km para m e esquecer a raiz quadrada. Veja a secção «Erros frequentes».
Resumo
- A velocidade orbital circular é v = √(G × M ÷ r), com r = R + h.
- A massa do satélite não influencia a velocidade.
- Quanto maior a órbita, menor a velocidade e maior o período.
- Para a Terra, G × M ≈ 3,98 × 1014 m3/s2; satélites baixos andam perto de 7,5 km/s.
- O período obtém-se com T = 2π × r ÷ v.
Onde aprofundar
- O manual de Física da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola), na secção de Gravitação; confirme a edição em vigor.
- O manual aberto OpenStax Physics (em inglês), capítulo sobre gravitação e órbitas.
- O Sistema Internacional de Unidades, descrito pelo Bureau Internacional de Pesos e Medidas (BIPM).
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