Física · 7.ª–9.ª classe

Como determinar a reta de ajuste de um conjunto de dados?

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  • 4 exemplos resolvidos
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Resposta curta

Para determinar a reta de ajuste de um conjunto de dados, marque os pontos, trace a reta que passa o mais perto possível de todos (com cerca do mesmo número de pontos acima e abaixo), escolha dois pontos sobre a reta e calcule o declive m = Δy ÷ Δx e a ordenada na origem b. A equação é y = m·x + b. Há ainda o método dos mínimos quadrados, que dá o mesmo tipo de reta por cálculo.

Quando se aplica

Em Física, as medições têm sempre pequenas variações, por isso os pontos de uma experiência raramente ficam perfeitamente alinhados. A reta de ajuste (ou reta de regressão) resume a tendência dos dados e permite calcular uma grandeza (a velocidade, a densidade, uma constante), prever valores e verificar se a relação é linear.

Aplica-se quando os pontos mostram uma tendência aproximadamente linear. Se os pontos descrevem uma curva clara, a reta não é o modelo adequado.

Pré-requisitos

  • Construir um gráfico de dados experimentais (eixos, escala, pontos).
  • Calcular o declive de uma reta: m = (y2 − y1) ÷ (x2 − x1).
  • Saber que uma reta tem equação y = m·x + b, em que b é o valor de y quando x = 0.

O que significam m e b

SímboloNomeSignificado físico (exemplos)
mdeclivevelocidade (em d(t)), densidade (em m(V)), constante da mola (em F(x))
bordenada na origemposição inicial, temperatura inicial, valor de partida

Método passo a passo

  1. Faça o gráfico com a variável independente em x e a dependente em y, escalas uniformes e unidades nos eixos.
  2. Marque os pontos da tabela.
  3. Trace a reta de ajuste com régua transparente: a reta deve ficar com cerca do mesmo número de pontos de cada lado e passar perto do conjunto, sem ter de passar por todos os pontos.
  4. Escolha dois pontos sobre a reta (não da tabela), bem afastados entre si, e leia as suas coordenadas.
  5. Calcule o declive: m = (y2 − y1) ÷ (x2 − x1).
  6. Determine b: leia onde a reta corta o eixo y, ou calcule b = y1 − m·x1.
  7. Escreva a equação: y = m·x + b, com as unidades de m e de b.
  8. Verifique: substitua um ponto da tabela na equação e veja se o valor previsto fica próximo do valor medido.

Método dos mínimos quadrados (opcional)

Em cursos mais avançados (ou se o professor pedir), a reta de ajuste obtém-se por cálculo. Para n pontos:

Mínimos quadrados, reta y = m·x + b

m = (n·Σxy − Σx·Σy) ÷ (n·Σx2 − (Σx)2) b = (Σy − m·Σx) ÷ n

Se a reta tiver de passar pela origem (y = m·x), o declive é m = Σxy ÷ Σx2.

Nota

O método gráfico é suficiente para a maioria dos programas do ensino secundário do 1.º ciclo. Os mínimos quadrados servem para quem quiser conferir os resultados ou usar calculadora; confirme no programa em vigor se são pedidos.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Reta de ajuste pelo método gráfico

Enunciado: Aqueceu-se água e mediu-se a temperatura em vários instantes: t (min) = 0; 1; 2; 3; 4 e T (°C) = 20,2; 21,9; 24,1; 26,0; 28,1. Determine a reta de ajuste.

Resolução:

  1. Marcam-se os pontos com t no eixo x e T no eixo y. Estão aproximadamente alinhados.
  2. Traça-se a reta que passa perto de todos. Lê-se sobre a reta, por exemplo, os pontos (0; 20) e (4; 28).
  3. Declive: m = (28 − 20) ÷ (4 − 0) = 8 ÷ 4 = 2 °C/min.
  4. Ordenada na origem: a reta corta o eixo T em 20 °C, logo b = 20 °C.
  5. Equação: T = 2 t + 20.

Resposta: T = 2 t + 20, ou seja, a água sobe 2 °C por minuto a partir de 20 °C. Verificação: em t = 2, T = 2 × 2 + 20 = 24 °C, próximo do valor medido, 24,1 °C.

Exemplo 2 — Reta que passa pela origem

Enunciado: Esticou-se uma mola com pesos diferentes: x (cm) = 1; 2; 3; 4 e F (N) = 0,52; 0,98; 1,51; 2,02. Determine a constante da mola, admitindo F = k·x (reta que passa pela origem).

Resolução:

  1. Calcule Σx² = 1² + 2² + 3² + 4² = 1 + 4 + 9 + 16 = 30.
  2. Calcule Σxy = 1 × 0,52 + 2 × 0,98 + 3 × 1,51 + 4 × 2,02 = 0,52 + 1,96 + 4,53 + 8,08 = 15,09.
  3. k = Σxy ÷ Σx² = 15,09 ÷ 30 = 0,503 N/cm.
  4. Arredondando a 2 algarismos significativos: 0,50 N/cm = 50 N/m.

Resposta: k ≈ 0,50 N/cm = 50 N/m. Verificação: para x = 4 cm, F = 0,50 × 4 = 2,0 N, valor muito próximo de 2,02 N medido.

Exemplo 3 — Mínimos quadrados com ordenada na origem

Enunciado: Considere os dados x = 1; 2; 3; 4; 5 e y = 2,1; 3,9; 6,2; 7,8; 10,0. Determine a reta y = m·x + b pelos mínimos quadrados.

Resolução:

  1. n = 5; Σx = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15.
  2. Σy = 2,1 + 3,9 + 6,2 + 7,8 + 10,0 = 30,0.
  3. Σx² = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55.
  4. Σxy = 2,1 + 7,8 + 18,6 + 31,2 + 50,0 = 109,7.
  5. m = (5 × 109,7 − 15 × 30,0) ÷ (5 × 55 − 15²) = (548,5 − 450) ÷ (275 − 225) = 98,5 ÷ 50 = 1,97.
  6. b = (30,0 − 1,97 × 15) ÷ 5 = (30,0 − 29,55) ÷ 5 = 0,45 ÷ 5 = 0,09.

Resposta: y = 1,97 x + 0,09. Verificação: para x = 3, y = 1,97 × 3 + 0,09 = 6,00, próximo do valor medido 6,2.

Exemplo 4 — Nível de exame: usar a equação para prever

Enunciado: Com a equação T = 2 t + 20 do exemplo 1, calcule (a) a temperatura aos 7 min; (b) o instante em que T = 40 °C. Comente a validade.

Resolução:

  1. (a) T = 2 × 7 + 20 = 14 + 20 = 34 °C.
  2. (b) 40 = 2 t + 20 ⇒ 2 t = 20 ⇒ t = 10 min.
  3. Os dois valores estão fora do intervalo medido (0 a 4 min): são extrapolações.

Resposta: (a) 34 °C; (b) 10 min. Só são válidos se o aquecimento continuar com o mesmo ritmo (e antes de a água ferver). Verificação: 2 × 10 + 20 = 40.

Erros frequentes

  • Usar pontos da tabela para calcular o declive em vez de pontos da reta traçada: os pontos da tabela têm erros de medição.
  • Escolher pontos muito próximos entre si: o declive fica pouco preciso. Afaste-os.
  • Obrigar a reta a passar por todos os pontos ou unir pontos com segmentos quebrados.
  • Forçar a passagem pela origem quando os dados mostram ordenada na origem diferente de zero (por exemplo, temperatura inicial de 20 °C).
  • Esquecer a unidade do declive (°C/min, N/cm, g/cm³) ou do valor de b.
  • Trocar Σx² por (Σx)² nas fórmulas dos mínimos quadrados: não são a mesma coisa. Σx² soma os quadrados; (Σx)² é o quadrado da soma.
  • Extrapolar sem cuidado, fora do intervalo medido.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Uma reta de ajuste passa pelos pontos (1; 5) e (5; 13). Determine o declive, a ordenada na origem e a equação.

Ver solução

Declive: (13 − 5) ÷ (5 − 1) = 8 ÷ 4 = 2. Ordenada na origem: b = 5 − 2 × 1 = 3. Equação: y = 2x + 3. Verificação: 2 × 5 + 3 = 13.

2Exercício 2

Os dados são x = 1; 2; 3 e y = 3,1; 5,9; 9,0. Admitindo y = m·x (pela origem), calcule m com m = Σxy ÷ Σx².

Ver solução

Σxy = 1 × 3,1 + 2 × 5,9 + 3 × 9,0 = 3,1 + 11,8 + 27,0 = 41,9. Σx² = 1 + 4 + 9 = 14. m = 41,9 ÷ 14 ≈ 2,99, ou seja, aproximadamente 3,0.

3Exercício 3

Porque se devem usar pontos da reta (e não da tabela) para calcular o declive?

Ver solução

Porque a reta resume a tendência de todos os dados, enquanto cada ponto da tabela tem um erro de medição próprio. Usar pontos da reta, bem afastados, dá um declive mais representativo e menos sensível a um único erro.

4Exercício 4

A reta de ajuste de um conjunto de dados é y = 0,5x + 2. Calcule y para x = 8 e x para y = 10.

Ver solução

Para x = 8: y = 0,5 × 8 + 2 = 4 + 2 = 6. Para y = 10: 10 = 0,5x + 2 ⇒ 0,5x = 8 ⇒ x = 16.

5Exercício 5

Os dados são x = 1; 2; 3; 4 e y = 3; 5; 6; 8. Determine a reta y = m·x + b pelos mínimos quadrados.

Ver dica

Calcule primeiro Σx, Σy, Σx² e Σxy; depois aplique as duas fórmulas.

Ver solução

Σx = 10; Σy = 3 + 5 + 6 + 8 = 22; Σx² = 30; Σxy = 3 + 10 + 18 + 32 = 63; n = 4. m = (4 × 63 − 10 × 22) ÷ (4 × 30 − 10²) = (252 − 220) ÷ (120 − 100) = 32 ÷ 20 = 1,6. b = (22 − 1,6 × 10) ÷ 4 = 6 ÷ 4 = 1,5. Reta: y = 1,6x + 1,5. Verificação: para x = 4, y = 1,6 × 4 + 1,5 = 7,9, próximo de 8.

Perguntas frequentes

Quando se usa a reta de ajuste?

Quando os pontos de uma experiência mostram uma tendência aproximadamente linear e se quer calcular uma grandeza (um declive), prever valores ou comparar com um valor de referência. Se os pontos formam uma curva evidente, não use uma reta.

Existe um método mais rápido do que os mínimos quadrados?

O método gráfico (reta traçada à vista e dois pontos sobre ela) é o mais rápido e é o habitual no secundário. Os mínimos quadrados dão um resultado mais objetivo e podem ser feitos numa calculadora ou folha de cálculo.

A reta de ajuste tem de passar pela origem?

Só quando a relação física o exige, como a proporcionalidade direta entre massa e volume. Se existir um valor inicial (por exemplo, uma temperatura de partida), a reta tem ordenada na origem diferente de zero.

Que erros são mais comuns?

Usar pontos da tabela para o declive, escolher pontos próximos e esquecer as unidades. A secção Erros frequentes mostra como evitá-los.

Resumo

  • A reta de ajuste resume a tendência de dados experimentais: y = m·x + b.
  • Trace-a à vista, perto de todos os pontos, sem os ligar um a um.
  • Calcule o declive com dois pontos da reta, afastados: m = Δy ÷ Δx.
  • b é a ordenada na origem; m e b têm significado físico e unidades.
  • Os mínimos quadrados permitem calcular m e b a partir de somas.
  • Interpolar é seguro; extrapolar exige cuidado.

Onde aprofundar

  • O manual de Física da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
  • O Sistema Internacional de Unidades, descrito pelo Bureau Internacional de Pesos e Medidas (BIPM).
  • O manual aberto OpenStax Physics (em inglês), nos capítulos sobre medição, incerteza e análise de dados.

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