Geometria Analítica · 1.º ano (indicativo)
Como calcular a distância de um ponto a uma reta no plano?
Resposta curta
A distância do ponto P(x0, y0) à reta Ax + By + C = 0 é d = |A·x0 + B·y0 + C| ÷ √(A2 + B2). Escreva primeiro a reta na forma geral, substitua as coordenadas do ponto no numerador e divida pela norma do vetor (A, B). O resultado é sempre não negativo.
Quando se aplica
A distância de um ponto a uma reta é o comprimento do segmento perpendicular do ponto à reta, que é o caminho mais curto entre eles. Aparece em problemas de alturas de triângulos, raios de circunferências tangentes a uma reta, distância entre retas paralelas e otimização geométrica.
Pré-requisitos
- Passar uma reta para a forma geral Ax + By + C = 0 (tudo para o mesmo lado da igualdade).
- Calcular raízes quadradas e simplificar radicais.
- Saber que o vetor (A, B) é perpendicular à reta (vetor normal).
De onde vem a fórmula
Sendo n = (A, B) o vetor normal, a distância é o comprimento da projeção de qualquer vetor que una a reta ao ponto sobre a direção de n. Se Q(x1, y1) é um ponto da reta, então A·x1 + B·y1 = −C, e a projeção de QP sobre n dá |A(x0 − x1) + B(y0 − y1)| ÷ √(A2 + B2) = |A·x0 + B·y0 + C| ÷ √(A2 + B2).
Distância de ponto a reta
d(P, r) = | A·x0 + B·y0 + C | ÷ √(A² + B²) P = (x0, y0) r: A·x + B·y + C = 0 (A e B não ambos nulos)
Método passo a passo
- Escreva a reta na forma geral Ax + By + C = 0 e identifique A, B e C (com os sinais!).
- Escreva as coordenadas do ponto P = (x0, y0).
- Calcule o numerador: A·x0 + B·y0 + C, e tome o valor absoluto.
- Calcule o denominador: √(A2 + B2).
- Divida e simplifique (racionalize se pedido, ou dê o valor decimal aproximado).
- Verifique: se o numerador der 0, o ponto pertence à reta e a distância é 0.
Nota
Para uma reta vertical x = k, a distância de P é simplesmente |x0 − k|; para uma horizontal y = k, é |y0 − k|. A fórmula geral dá o mesmo resultado.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Resultado inteiro
Enunciado: Calcule a distância do ponto P(3, 4) à reta r: 3x + 4y − 5 = 0.
Resolução:
- A = 3, B = 4, C = −5; x0 = 3, y0 = 4.
- Numerador: |3×3 + 4×4 − 5| = |9 + 16 − 5| = 20.
- Denominador: √(9 + 16) = √25 = 5.
- d = 20 ÷ 5 = 4.
Resposta: d = 4 unidades. Verificação: o ponto não está na reta (numerador diferente de 0) e o valor é positivo, como deve ser.
Exemplo 2 — Reta na forma reduzida
Enunciado: Determine a distância de P(1, −2) à reta y = 2x + 3.
Resolução:
- Passe para a forma geral: 2x − y + 3 = 0, logo A = 2, B = −1, C = 3.
- Numerador: |2×1 + (−1)×(−2) + 3| = |2 + 2 + 3| = 7.
- Denominador: √(4 + 1) = √5.
- d = 7 ÷ √5 = 7√5 ÷ 5 ≈ 7 ÷ 2,236 ≈ 3,13.
Resposta: d = 7/√5 = 7√5/5 ≈ 3,13. Verificação: o ponto de coordenadas (1, −2) fica abaixo da reta (a reta passa por (1, 5)), a uma distância vertical de 7; a distância perpendicular tem de ser menor que 7. Está certo: 3,13 < 7.
Exemplo 3 — Distância entre retas paralelas
Enunciado: Calcule a distância entre as retas paralelas r: 3x + 4y − 10 = 0 e s: 3x + 4y + 5 = 0.
Resolução:
- Escolha um ponto de r. Para x = 2: 6 + 4y − 10 = 0 dá y = 1, logo P(2, 1) pertence a r.
- Calcule a distância de P a s: |3×2 + 4×1 + 5| = |6 + 4 + 5| = 15.
- Denominador: √(9 + 16) = 5.
- d = 15 ÷ 5 = 3.
Resposta: d = 3 unidades. Verificação: para retas com os mesmos A e B, d = |C1 − C2| ÷ √(A2 + B2) = |−10 − 5| ÷ 5 = 3.
Exemplo 4 — Nível de exame: altura e área de um triângulo
Enunciado: Seja o triângulo de vértices A(1, 1), B(5, 4) e C(2, 5). Calcule a altura relativa ao lado AB e a área do triângulo.
Resolução:
- Vetor AB = (4, 3), cujo comprimento é √(16 + 9) = 5.
- Reta AB: um vetor normal é (3, −4). Equação: 3(x − 1) − 4(y − 1) = 0, ou seja, 3x − 4y + 1 = 0. Confirme com B: 15 − 16 + 1 = 0.
- Altura = distância de C(2, 5) a AB: |3×2 − 4×5 + 1| ÷ 5 = |6 − 20 + 1| ÷ 5 = 13 ÷ 5 = 2,6.
- Área = (base × altura) ÷ 2 = (5 × 2,6) ÷ 2 = 6,5.
Resposta: altura = 2,6 e área = 6,5 unidades quadradas. Verificação: pela fórmula de Gauss (determinante): |1(4 − 5) + 5(5 − 1) + 2(1 − 4)| ÷ 2 = |−1 + 20 − 6| ÷ 2 = 6,5.
Erros frequentes
- Não passar a reta para a forma geral. Em y = 2x + 3 não se pode aplicar a fórmula diretamente; passe para 2x − y + 3 = 0, com B = −1.
- Perder os sinais de A, B e C, sobretudo quando as coordenadas do ponto são negativas. Escreva as substituições entre parênteses.
- Esquecer o módulo e obter uma «distância negativa». A distância nunca é negativa.
- Esquecer a raiz quadrada no denominador ou escrever A + B em vez de √(A2 + B2).
- Dividir o numerador só por A ou só por B. O denominador envolve os dois coeficientes.
- Usar a fórmula com a reta ainda com termo independente do outro lado (por exemplo 3x + 4y = 5): passe sempre o 5 para o primeiro membro, C = −5.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Calcule a distância da origem O(0, 0) à reta 3x + 4y − 10 = 0.
Ver solução
Numerador: |0 + 0 − 10| = 10. Denominador: √(9 + 16) = 5. d = 10 ÷ 5 = 2.
2Exercício 2
Calcule a distância de P(2, 3) à reta y = x − 1.
Ver dica
Passe para a forma x − y − 1 = 0.
Ver solução
A = 1, B = −1, C = −1. Numerador: |2 − 3 − 1| = 2. Denominador: √2. d = 2 ÷ √2 = √2 ≈ 1,41.
3Exercício 3
Calcule a distância do ponto P(−1, 2) à reta vertical x = 5.
Ver solução
Na forma geral, x − 5 = 0, com A = 1, B = 0, C = −5. Numerador: |−1 − 5| = 6. Denominador: 1. d = 6. Confirma-se com |x0 − 5| = |−1 − 5| = 6.
4Exercício 4
Determine a equação da circunferência de centro C(2, 1) tangente à reta 4x − 3y − 20 = 0.
Ver dica
O raio é a distância do centro à reta tangente.
Ver solução
Raio = |4×2 − 3×1 − 20| ÷ √(16 + 9) = |8 − 3 − 20| ÷ 5 = 15 ÷ 5 = 3. Equação: (x − 2)2 + (y − 1)2 = 9.
5Exercício 5
Calcule a distância entre as retas paralelas 5x + 12y − 7 = 0 e 5x + 12y + 19 = 0.
Ver solução
Os coeficientes A e B são iguais, por isso d = |C1 − C2| ÷ √(A2 + B2) = |−7 − 19| ÷ √(25 + 144) = 26 ÷ 13 = 2.
Perguntas frequentes
Qual é a fórmula para calcular a distância de um ponto a uma reta no plano?
É d = |Ax0 + By0 + C| ÷ √(A2 + B2), com a reta em Ax + By + C = 0 e o ponto em (x0, y0). O numerador mede quanto o ponto «falha» a equação da reta; o denominador normaliza pelo comprimento do vetor normal.
Como verificar se o resultado está correto?
Se o numerador for 0, o ponto está na reta. Pode também achar o pé da perpendicular (interseção da reta com a perpendicular que passa por P) e calcular a distância entre os dois pontos: deve coincidir.
Posso usar a fórmula com retas na forma reduzida ou vetorial?
Pode, depois de as converter para a forma geral. Na forma reduzida y = mx + b, a reta é mx − y + b = 0, logo A = m, B = −1, C = b.
Que erros se cometem ao calcular a distância de um ponto a uma reta?
Os mais comuns são trocar os sinais dos coeficientes, esquecer o módulo e esquecer a raiz quadrada do denominador. Veja a secção «Erros frequentes».
Resumo
- A distância é medida ao longo da perpendicular à reta.
- Fórmula: d = |Ax0 + By0 + C| ÷ √(A2 + B2), com a reta em forma geral.
- Se o numerador der 0, o ponto pertence à reta.
- Para retas paralelas com os mesmos A e B, d = |C1 − C2| ÷ √(A2 + B2).
- O raio de uma circunferência tangente a uma reta é a distância do centro à reta.
- A altura de um triângulo é a distância do vértice à reta do lado oposto.
Onde aprofundar
- O programa e o manual de Geometria Analítica da sua instituição — confirme a edição em vigor.
- Boulos & Camargo, Geometria Analítica, e Winterle, Vetores e Geometria Analítica — confirme a edição disponível.
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