Matemática · 3.ª–9.ª classe
Como aplicar o teorema de Pitágoras?
Resposta curta
Passos: identifique o ângulo reto, marque a hipotenusa (o lado oposto) e escreva hipotenusa2 = cateto2 + cateto2. Substitua os valores conhecidos, resolva e, no fim, extraia a raiz quadrada. Se procura um cateto, subtraia em vez de somar. Confirme que a hipotenusa é o maior lado.
Quando se aplica
Use este método quando houver um triângulo retângulo (ou uma figura que o contenha) e faltar a medida de um dos lados. Aparece em escadas, rampas, diagonais de retângulos e quadrados, alturas de triângulos isósceles e distâncias entre dois pontos.
Pré-requisitos
- Saber calcular quadrados e raízes quadradas de números simples (por exemplo, 122 = 144 e √144 = 12).
- Reconhecer catetos e hipotenusa.
- Saber resolver equações simples do tipo x2 = 25.
- Medidas na mesma unidade antes de começar.
Relação de Pitágoras
a2 = b2 + c2 a = hipotenusa Hipotenusa: a = √(b2 + c2) Cateto: b = √(a2 − c2)
Método passo a passo
- Desenhe ou imagine o triângulo e assinale o ângulo reto.
- Identifique a hipotenusa: o lado oposto ao ângulo reto. Chame-lhe a.
- Escreva a relação a2 = b2 + c2 com as letras do problema.
- Substitua os valores conhecidos e deixe uma só incógnita.
- Calcule os quadrados e some (se procura a hipotenusa) ou subtraia (se procura um cateto).
- Extraia a raiz quadrada do resultado.
- Verifique: a hipotenusa tem de ser maior do que cada cateto, e a relação tem de se verificar com o resultado.
Escolher entre somar e subtrair
Se o lado desconhecido é a hipotenusa, soma-se: a2 = b2 + c2. Se é um cateto, subtrai-se: b2 = a2 − c2. Uma pergunta ajuda: o lado que procuro é o maior? Se sim, soma; se não, subtrai.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Procurar a hipotenusa
Enunciado: Um triângulo retângulo tem catetos de 5 cm e 12 cm. Calcule a hipotenusa.
Resolução:
- a2 = 52 + 122.
- a2 = 25 + 144 = 169.
- a = √169 = 13.
Resposta: 13 cm. Verificação: 13 é maior do que 12 e 25 + 144 = 169.
Exemplo 2 — Procurar um cateto
Enunciado: A hipotenusa mede 10 cm e um cateto mede 6 cm. Calcule o outro cateto.
Resolução:
- 102 = 62 + c2, ou seja, 100 = 36 + c2.
- c2 = 100 − 36 = 64.
- c = √64 = 8.
Resposta: 8 cm. Verificação: 36 + 64 = 100.
Exemplo 3 — Resultado que não é número inteiro
Enunciado: Os catetos medem 4 m e 6 m. Calcule a hipotenusa, em forma exata e aproximada às centésimas.
Resolução:
- a2 = 42 + 62 = 16 + 36 = 52.
- a = √52 = 2√13 (pois 52 = 4 × 13).
- Como 7,212 = 51,98 e 7,222 = 52,13, a ≈ 7,21.
Resposta: a = √52 ≈ 7,21 m. Verificação: 7,21 está entre 7 e 8, e 72 = 49 < 52 < 64 = 82.
Exemplo 4 — Nível de exame: altura de um triângulo isósceles
Enunciado: Um triângulo isósceles tem lados iguais de 13 cm e base de 10 cm. Calcule a altura relativa à base e a área.
Resolução:
- A altura relativa à base divide a base ao meio: cada metade mede 10 ÷ 2 = 5 cm.
- Forma-se um triângulo retângulo com hipotenusa 13 e cateto 5: h2 = 132 − 52 = 169 − 25 = 144.
- h = √144 = 12.
- Área = (base × altura) ÷ 2 = (10 × 12) ÷ 2 = 60.
Resposta: altura 12 cm; área 60 cm2. Verificação: 52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.
Erros frequentes
- Somar quando devia subtrair (ou o contrário). Se procura um cateto, a conta é a2 − c2.
- Parar no quadrado: 169 não é o lado, é o lado ao quadrado. Falta a raiz.
- Trocar a hipotenusa por um cateto na fórmula. Marque primeiro o ângulo reto.
- Aplicar a triângulos sem ângulo reto ou esquecer que a altura divide a base ao meio apenas no isósceles.
- Dividir por 2 em vez de extrair a raiz (169 ÷ 2 ≠ √169).
- Unidades diferentes: converta metros e centímetros antes de calcular.
- Resposta absurda: se a hipotenusa sai menor do que um cateto, há erro.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Calcule a hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos 8 cm e 15 cm.
Ver solução
a2 = 64 + 225 = 289, logo a = √289 = 17 cm.
2Exercício 2
A hipotenusa mede 25 cm e um cateto 7 cm. Calcule o outro cateto.
Ver solução
c2 = 625 − 49 = 576, logo c = √576 = 24 cm.
3Exercício 3
Uma escada de 6,5 m está encostada a uma parede, com o pé a 2,5 m dela. A que altura chega o topo da escada?
Ver dica
Calcule 6,52 = 42,25 e 2,52 = 6,25.
Ver solução
h2 = 42,25 − 6,25 = 36, logo h = 6 m.
4Exercício 4
Um candongueiro vai 8 km para leste e depois 15 km para norte. Qual é a distância em linha reta ao ponto de partida?
Ver solução
d2 = 82 + 152 = 64 + 225 = 289, logo d = 17 km.
5Exercício 5
As diagonais de um losango medem 16 cm e 12 cm. Calcule o lado do losango.
Ver dica
As diagonais de um losango cruzam-se a meio, em ângulo reto.
Ver solução
Cada diagonal fica dividida ao meio: 8 cm e 6 cm. Estes valores são os catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é o lado: l2 = 64 + 36 = 100, logo l = 10 cm.
Perguntas frequentes
Quando se usa este método?
Sempre que existe um triângulo com ângulo reto e um lado desconhecido. Se o triângulo não tem ângulo reto, o método não é válido, a menos que consiga construir um com uma altura.
Existe um método mais rápido?
Sim, quando os lados formam ternos pitagóricos. Se vê 3 e 4 como catetos, a hipotenusa é 5; com 5 e 12, é 13; e os múltiplos (6 e 8 dão 10). Para os outros casos, o cálculo completo é necessário.
Que erros são mais comuns?
Esquecer a raiz, somar em vez de subtrair e identificar mal a hipotenusa. O passo 7 do método (verificar) apanha a maioria.
Como arredondar a resposta?
Siga o enunciado. Se pedir duas casas decimais, calcule até à terceira e arredonde no fim. Se não disser nada, deixe a forma exata, como √52, ou dê um valor aproximado e indique-o.
Resumo
- Identifique primeiro o ângulo reto e a hipotenusa.
- Hipotenusa desconhecida: some os quadrados e extraia a raiz.
- Cateto desconhecido: subtraia o quadrado do cateto ao da hipotenusa.
- A hipotenusa é sempre maior do que qualquer cateto.
- Aplica-se a escadas, diagonais, alturas e distâncias em linha reta.
Onde aprofundar
- O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola), confirmando a edição em vigor.
- OpenStax, Prealgebra e Elementary Algebra (em inglês), para mais exercícios com o teorema de Pitágoras.
- Khan Academy, secção de Geometria.
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