O que é o teorema de Tales?

Definição e características

Imagine três retas paralelas, a, b e c, cortadas por duas transversais, r e s. Cada transversal fica dividida em dois segmentos pelas paralelas. O teorema afirma que a razão entre os dois segmentos de r é igual à razão entre os dois segmentos correspondentes de s.

Chamando AB e BC aos segmentos de r, e A'B' e B'C' aos segmentos correspondentes de s:

Pode também escrever-se AB / A'B' = BC / B'C', trocando os meios da proporção. As duas formas são equivalentes.

Terminologia essencial

• Retas paralelas: nunca se cruzam e mantêm sempre a mesma distância.
• Transversal: reta que corta as paralelas.
• Segmentos correspondentes: os que ficam entre as mesmas duas paralelas, um em cada transversal.
• Razão: quociente entre dois comprimentos, medidos na mesma unidade.
• Proporção: igualdade entre duas razões.

A versão no triângulo

É a forma mais usada nos exames. Se uma reta paralela a um lado de um triângulo corta os outros dois lados, forma um triângulo menor com as mesmas proporções. Num triângulo ABC, com D em AB, E em AC e DE paralelo a BC:

Repare que a primeira igualdade compara cada parte com o lado inteiro, e a segunda compara as duas partes de cada lado. Ambas são válidas, desde que mantenha a mesma ordem nos dois membros.

Exemplos do quotidiano

• A sombra de um poste. Os raios do Sol chegam paralelos. Num mesmo instante, um objeto vertical e a sua sombra formam um triângulo semelhante ao de outro objeto: quanto maior o objeto, maior a sombra, na mesma proporção.
• Mapas e plantas. A redução de um terreno a uma planta mantém as razões entre comprimentos.
• Divisão de um terreno. Quando se traçam divisórias paralelas, as frentes para duas ruas ficam repartidas na mesma proporção.

Importância e aplicações

O teorema de Tales é a base da semelhança de triângulos: dois triângulos com lados correspondentes proporcionais são semelhantes. Permite medir distâncias que não se conseguem medir diretamente, como a altura de um prédio em Luanda ou a largura de um rio. Aparece também na trigonometria e na geometria analítica. Na tradição, diz-se que Tales de Mileto o terá usado para estimar a altura das pirâmides do Egito pelo comprimento das sombras.

Exemplos resolvidos

Erros e confusões frequentes

• Trocar a ordem da proporção, por exemplo 4 / 6 = 9 / x. Se o primeiro segmento está no numerador de um lado, o correspondente tem de estar no numerador do outro.
• Aplicar o teorema sem paralelismo. Só vale se as retas forem mesmo paralelas; se não for dado, não pode usar.
• Misturar partes com o todo: AD / DB = AE / AC está errado. Compare parte com parte (AD / DB = AE / EC) ou parte com todo (AD / AB = AE / AC).
• Confundir com Pitágoras. Tales relaciona razões de segmentos; Pitágoras relaciona quadrados dos lados de um triângulo retângulo.
• Misturar unidades, como centímetros numa razão e metros na outra.
• Esquecer a verificação com as razões simplificadas.