Matemática · 3.ª–9.ª classe
O que é o teorema de Pitágoras?
Resposta curta
O teorema de Pitágoras diz que, num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa (o lado maior, oposto ao ângulo reto) é igual à soma dos quadrados dos catetos: a2 = b2 + c2. Só vale para triângulos com um ângulo de 90°.
Definição e características
Um triângulo retângulo tem um ângulo reto. Os dois lados que formam esse ângulo chamam-se catetos; o lado oposto, sempre o maior, é a hipotenusa.
Teorema de Pitágoras
a2 = b2 + c2 a = hipotenusa b, c = catetos
Explicação simples
Imagine um quadrado construído sobre cada lado do triângulo. A área do quadrado grande (sobre a hipotenusa) é exatamente igual à soma das áreas dos dois quadrados pequenos (sobre os catetos). O teorema afirma isto: «área do maior = área de um + área do outro».
Características importantes
- Aplica-se apenas a triângulos retângulos.
- A hipotenusa é sempre o lado maior do triângulo.
- Permite calcular um lado quando se conhecem os outros dois.
- Tem recíproco: se três lados verificam a2 = b2 + c2, o triângulo é retângulo.
- Trabalha com medidas na mesma unidade.
Ternos pitagóricos
São trios de números inteiros que verificam a relação. Os mais conhecidos são 3, 4, 5; 5, 12, 13; 8, 15, 17; e os múltiplos de cada um, como 6, 8, 10 (que é o dobro de 3, 4, 5).
Exemplos do quotidiano
- A escada encostada à parede: a parede, o chão e a escada formam um triângulo retângulo; a escada é a hipotenusa.
- A diagonal de um campo retangular: atravessar o terreno em diagonal é mais curto do que andar pelos dois lados.
- O ecrã de um telemóvel ou televisor: o tamanho em polegadas é o comprimento da diagonal.
- Trajetos em cidade: a distância em linha reta entre dois pontos de uma quadrícula de ruas é a hipotenusa.
Importância e aplicações
É um dos teoremas mais usados da Matemática. Serve para calcular distâncias, alturas e diagonais na construção civil, na topografia, na navegação e no desenho técnico. Em Matemática, é a base da distância entre dois pontos no plano cartesiano e da trigonometria. No programa do ensino geral aparece depois de se estudarem os triângulos, as raízes quadradas e as potências.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Verificar o terno 3, 4, 5
Enunciado: Num triângulo retângulo, os catetos medem 3 cm e 4 cm. Verifique que a hipotenusa mede 5 cm.
Resolução:
- Quadrados dos catetos: 32 = 9 e 42 = 16.
- Soma: 9 + 16 = 25.
- A hipotenusa verifica a2 = 25, logo a = √25 = 5.
Resposta: a hipotenusa mede 5 cm. Verificação: 52 = 25.
Exemplo 2 — Calcular a hipotenusa
Enunciado: Os catetos de um triângulo retângulo medem 6 m e 8 m. Calcule a hipotenusa.
Resolução:
- a2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100.
- a = √100 = 10.
Resposta: 10 m. Verificação: 36 + 64 = 100 = 102.
Exemplo 3 — Será um triângulo retângulo?
Enunciado: Um triângulo tem lados de 5 cm, 6 cm e 7 cm. É retângulo?
Resolução:
- O maior lado, 7 cm, seria a hipotenusa: 72 = 49.
- Soma dos quadrados dos outros dois: 52 + 62 = 25 + 36 = 61.
- Como 49 ≠ 61, a relação não se verifica.
Resposta: não é retângulo. (Como 61 > 49, o maior ângulo é agudo.)
Exemplo 4 — Nível de exame: a diagonal de um terreno
Enunciado: Um terreno retangular tem 24 m de comprimento e 7 m de largura. Calcule o comprimento da diagonal.
Resolução:
- A diagonal divide o retângulo em dois triângulos retângulos, em que os catetos são 24 m e 7 m.
- d2 = 242 + 72 = 576 + 49 = 625.
- d = √625 = 25.
Resposta: a diagonal mede 25 m. Verificação: 252 = 625.
Erros e confusões frequentes
- Somar os lados em vez dos quadrados: 3 + 4 = 7, mas a hipotenusa é 5; a relação certa é 32 + 42 = 52.
- Esquecer a raiz quadrada no fim. 100 é o quadrado da hipotenusa, não a hipotenusa.
- Usar o teorema em triângulos que não são retângulos.
- Escolher mal a hipotenusa: é sempre o lado oposto ao ângulo reto e o maior.
- Confundir com o teorema de Tales: este fala de retas paralelas e proporções.
- Calcular (b + c)2 em vez de b2 + c2. São resultados diferentes.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Os catetos de um triângulo retângulo medem 9 cm e 12 cm. Calcule a hipotenusa.
Ver solução
a2 = 81 + 144 = 225, logo a = √225 = 15 cm.
2Exercício 2
A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 17 cm e um cateto 8 cm. Calcule o outro cateto.
Ver dica
Quando falta um cateto, subtraia: c2 = a2 − b2.
Ver solução
c2 = 172 − 82 = 289 − 64 = 225, logo c = 15 cm.
3Exercício 3
Um triângulo tem lados 20 cm, 21 cm e 29 cm. É retângulo?
Ver solução
202 + 212 = 400 + 441 = 841 e 292 = 841. As duas quantidades são iguais, logo é retângulo, com hipotenusa de 29 cm.
4Exercício 4
Uma escada de 13 m encosta a uma parede e o seu topo atinge 12 m de altura. A que distância da parede está o pé da escada?
Ver solução
d2 = 132 − 122 = 169 − 144 = 25, logo d = 5 m.
5Exercício 5
Um quadrado tem 10 cm de lado. Calcule a diagonal, exata e aproximada às centésimas.
Ver dica
A diagonal e dois lados formam um triângulo retângulo isósceles.
Ver solução
d2 = 102 + 102 = 200, logo d = √200 = 10√2 ≈ 14,14 cm (14,142 ≈ 199,94).
Perguntas frequentes
Qual é a diferença entre o teorema de Pitágoras e outros conceitos parecidos?
O de Pitágoras relaciona os quadrados dos lados de um triângulo retângulo. O teorema de Tales relaciona razões entre segmentos cortados por paralelas. Dizem respeito a figuras e conceitos diferentes.
Onde se aplica na prática?
Em qualquer situação com ângulo reto: calcular a diagonal de um piso, o comprimento de uma escada ou de um cabo esticado, a altura de um poste, ou o caminho mais curto entre dois pontos de uma quadrícula.
Que erros se cometem mais?
Esquecer a raiz quadrada, somar os lados sem os elevar ao quadrado e usar o teorema em triângulos que não têm ângulo reto. Veja a secção de erros.
O teorema serve para qualquer triângulo?
Não. Para triângulos quaisquer existem outras relações, estudadas mais tarde. Mas o recíproco é útil: se os lados verificam a2 = b2 + c2, sabe-se que o triângulo tem um ângulo reto.
Resumo
- Num triângulo retângulo: hipotenusa2 = cateto2 + cateto2.
- A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto e o maior.
- Depois de somar os quadrados, extrai-se a raiz quadrada.
- O recíproco permite testar se um triângulo é retângulo.
- Ternos pitagóricos como 3-4-5 e 5-12-13 ajudam a reconhecer casos simples.
Onde aprofundar
- O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola), com a edição em vigor.
- Os Elementos de Euclides (Livro I), onde o teorema aparece demonstrado.
- Khan Academy, secção de Geometria, para exercícios sobre o teorema de Pitágoras.
Continue a estudar
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