Matemática · 1.ª–6.ª classe
Como calcular o máximo divisor comum (m.d.c.)?
Resposta curta
O m.d.c. de dois ou mais números é o maior número que divide todos eles exatamente. Decomponha cada número em fatores primos e multiplique só os fatores comuns, cada um com o menor expoente. Exemplo: 36 = 22 × 32 e 60 = 22 × 3 × 5, logo m.d.c.(36, 60) = 22 × 3 = 12.
O que é o m.d.c.
Os divisores de 12 são 1, 2, 3, 4, 6 e 12. Os de 18 são 1, 2, 3, 6, 9 e 18. Os que aparecem nas duas listas (1, 2, 3 e 6) são os divisores comuns. O maior deles, o 6, é o máximo divisor comum, que se escreve m.d.c.(12, 18) = 6.
O m.d.c. é a ferramenta certa quando o problema pede para dividir ou cortar em partes iguais, o maior possível, sem sobras. Também serve para simplificar frações até à forma irredutível.
Regra pela decomposição em fatores primos
m.d.c. = produto dos fatores primos comuns, cada um com o menor expoente
Quando o m.d.c. de dois números é 1, dizem-se primos entre si: não têm nenhum divisor comum além do 1. Por exemplo, m.d.c.(8, 15) = 1.
Método passo a passo
Existem três métodos. Escolha conforme o tamanho dos números.
Método 1 — Listar os divisores (números pequenos)
- Escreva todos os divisores de cada número.
- Sublinhe os que aparecem em todas as listas.
- O maior dos sublinhados é o m.d.c.
Método 2 — Decomposição em fatores primos (o mais usado)
- Decomponha cada número em fatores primos, com expoentes.
- Escolha apenas os primos que aparecem em todos os números.
- Para cada um, fique com o menor expoente.
- Multiplique. Se não houver nenhum primo comum, o m.d.c. é 1.
Método 3 — Divisões sucessivas (algoritmo de Euclides, para números grandes)
- Divida o maior pelo menor e anote o resto.
- Divida o divisor anterior pelo resto obtido.
- Repita até obter resto zero.
- O m.d.c. é o último divisor, o que deu resto zero.
Este método funciona porque o m.d.c. de dois números é igual ao m.d.c. do menor com o resto da sua divisão.
Ligação ao m.m.c.
Para dois números, m.m.c. × m.d.c. = produto dos números. Com 12 e 18: m.m.c. = 36, m.d.c. = 6 e 36 × 6 = 216 = 12 × 18.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Listar os divisores
Enunciado: Calcule m.d.c.(12, 18).
Resolução:
- Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
- Divisores de 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18.
- Comuns: 1, 2, 3, 6. O maior é 6.
Resposta: m.d.c.(12, 18) = 6. Verificação: 12 ÷ 6 = 2 e 18 ÷ 6 = 3, e 2 e 3 já não têm divisor comum além do 1.
Exemplo 2 — Três números por fatores primos
Enunciado: Calcule m.d.c.(48, 72, 120).
Resolução:
- 48 = 24 × 3; 72 = 23 × 32; 120 = 23 × 3 × 5.
- Primos comuns aos três: 2 e 3. O 5 só aparece em 120, fica de fora.
- Menor expoente do 2: 3 (entre 4, 3 e 3). Menor expoente do 3: 1 (entre 1, 2 e 1).
- m.d.c. = 23 × 3 = 8 × 3 = 24.
Resposta: m.d.c.(48, 72, 120) = 24. Verificação: 48 ÷ 24 = 2, 72 ÷ 24 = 3 e 120 ÷ 24 = 5; os quocientes 2, 3 e 5 não têm divisor comum além do 1.
Exemplo 3 — Divisões sucessivas
Enunciado: Calcule m.d.c.(252, 180) pelo algoritmo de Euclides.
Resolução:
- Divisão de 252 por 180: quociente 1 e resto 72 (252 − 180 = 72).
- Divisão de 180 por 72: quociente 2 e resto 36 (72 × 2 = 144 e 180 − 144 = 36).
- Divisão de 72 por 36: quociente 2 e resto 0.
- O último divisor foi 36.
Resposta: m.d.c.(252, 180) = 36. Verificação: 252 = 36 × 7 e 180 = 36 × 5, e 7 e 5 não têm divisor comum além do 1.
Exemplo 4 — Problema: cortar tecido em partes iguais
Enunciado: Uma costureira de Luanda tem duas peças de pano, uma com 84 m e outra com 108 m. Quer cortá-las em pedaços do mesmo comprimento, o maior possível, sem desperdício. Qual é o comprimento de cada pedaço e quantos pedaços obtém?
Resolução:
- O comprimento do pedaço tem de dividir 84 e 108, e ser o maior possível: é o m.d.c.(84, 108).
- 84 = 22 × 3 × 7 e 108 = 22 × 33.
- Comuns: 2 (menor expoente 2) e 3 (menor expoente 1). m.d.c. = 22 × 3 = 12.
- Pedaços: 84 ÷ 12 = 7 e 108 ÷ 12 = 9; no total 7 + 9 = 16.
Resposta: cada pedaço mede 12 m e obtém 16 pedaços. Verificação: 16 × 12 = 192 e 84 + 108 = 192.
Erros frequentes
- Confundir m.d.c. com m.m.c. O m.d.c. é o maior número que divide os dados e nunca é maior do que o menor deles; o m.m.c. é um múltiplo e nunca é menor do que o maior.
- Usar o maior expoente. No m.d.c. é o menor expoente dos fatores comuns (no m.m.c. é o maior).
- Incluir fatores que não são comuns. Se o 5 só aparece num dos números, não entra no produto.
- Parar a lista de divisores antes do tempo. Confirme que escreveu todos os divisores, em pares (12: 1 × 12, 2 × 6, 3 × 4).
- Esquecer o resultado 1. Se não há primos comuns, o m.d.c. é 1, não zero.
- Escolher a operação errada num problema. «Dividir em partes iguais, o maior possível» pede m.d.c.; «voltar a coincidir» pede m.m.c.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Calcule m.d.c.(8, 12).
Ver solução
Divisores de 8: 1, 2, 4, 8. Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Comuns: 1, 2, 4. m.d.c.(8, 12) = 4.
2Exercício 2
Calcule m.d.c.(30, 45) por decomposição em fatores primos.
Ver solução
30 = 2 × 3 × 5 e 45 = 32 × 5. Comuns: 3 (menor expoente 1) e 5 (expoente 1). m.d.c. = 3 × 5 = 15.
3Exercício 3
Calcule m.d.c.(56, 84).
Ver dica
56 = 23 × 7. Decomponha também o 84.
Ver solução
56 = 23 × 7 e 84 = 22 × 3 × 7. Comuns: 2 (menor expoente 2) e 7. m.d.c. = 22 × 7 = 4 × 7 = 28. Confirmação: 56 ÷ 28 = 2 e 84 ÷ 28 = 3.
4Exercício 4
Simplifique a fração 42/72 até ficar irredutível, usando o m.d.c.
Ver solução
42 = 2 × 3 × 7 e 72 = 23 × 32. Comuns: 2 e 3, ambos com expoente 1. m.d.c.(42, 72) = 2 × 3 = 6. Dividindo numerador e denominador por 6: 42 ÷ 6 = 7 e 72 ÷ 6 = 12. A fração irredutível é 7/12.
5Exercício 5
Duas fitas medem 90 cm e 135 cm. Quer-se cortá-las em pedaços iguais, do maior comprimento possível, sem sobras. Quanto mede cada pedaço e quantos pedaços resultam ao todo?
Ver dica
O comprimento do pedaço é o m.d.c.(90, 135).
Ver solução
90 = 2 × 32 × 5 e 135 = 33 × 5. Comuns: 3 (menor expoente 2) e 5. m.d.c. = 32 × 5 = 9 × 5 = 45. Cada pedaço mede 45 cm. Pedaços: 90 ÷ 45 = 2 e 135 ÷ 45 = 3, ou seja, 5 pedaços ao todo.
Perguntas frequentes
Quando devo usar o m.d.c. e quando devo usar o m.m.c.?
Use o m.d.c. quando o problema pede para repartir ou cortar em partes iguais, o maior possível, ou para simplificar uma fração. Use o m.m.c. quando pede o primeiro momento em que duas coisas voltam a coincidir, ou um denominador comum para somar frações.
Existe um método mais rápido?
Para números pequenos, listar os divisores é o mais rápido. Para números grandes, as divisões sucessivas (algoritmo de Euclides) evitam decompor em fatores primos, o que pode ser demorado. Escolha o método com que erra menos.
O que quer dizer m.d.c. igual a 1?
Quer dizer que os números são primos entre si: o único divisor comum é o 1. Neste caso, uma fração com esses dois números já é irredutível. Por exemplo, 8/15 não se pode simplificar porque m.d.c.(8, 15) = 1.
O m.d.c. pode ser maior do que um dos números?
Nunca. O m.d.c. divide todos os números dados, por isso não pode exceder o menor deles. Quando um número divide o outro, o m.d.c. é o menor: m.d.c.(6, 30) = 6.
Resumo
- O m.d.c. é o maior número que divide todos os números dados exatamente.
- Por fatores primos: multiplicam-se os fatores comuns com o menor expoente.
- Pelo algoritmo de Euclides: divisões sucessivas; o m.d.c. é o último divisor (resto zero).
- Se o m.d.c. for 1, os números são primos entre si.
- Serve para partir em partes iguais, o maior possível, e para simplificar frações.
Onde aprofundar
- O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
- O artigo sobre o m.m.c., para comparar os dois conceitos.
- O manual aberto OpenStax Prealgebra (em inglês), secção sobre máximo divisor comum.
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