Matemática · 1.ª–6.ª classe

O que é um número natural?

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Resposta curta

Número natural é cada um dos números que usamos para contar: 1, 2, 3, 4, 5… e assim sem fim. O conjunto dos números naturais representa-se por ℕ. Quando se inclui o zero, escreve-se ℕ0 = {0, 1, 2, 3, …}.

Definição e características

Os números naturais nasceram da necessidade mais simples que existe: contar. Contamos alunos numa sala, lápis numa caixa, passageiros num autocarro. Cada resultado dessa contagem é um número natural.

Um número natural tem sempre as seguintes características:

  • Tem sucessor. O sucessor de um número natural obtém-se somando 1. O sucessor de 9 é 10; o sucessor de 999 é 1 000.
  • Tem antecessor (com uma exceção). O antecessor obtém-se subtraindo 1. O antecessor de 10 é 9. O número 1 não tem antecessor em ℕ, porque 0 não é natural; em ℕ0 é o zero que não tem antecessor.
  • Não tem último. Por maior que seja um número natural, há sempre outro maior: basta somar 1. Por isso se diz que o conjunto é infinito e que não existe o maior número natural.
  • Está ordenado. Dados dois naturais diferentes, um é sempre maior do que o outro. Representam-se numa semirreta, da esquerda para a direita, cada vez maiores.

A tabela resume as duas formas de escrever o conjunto:

ConjuntoSímboloElementos
Números naturaisℕ1, 2, 3, 4, 5, …
Números naturais com zeroℕ00, 1, 2, 3, 4, …

Zero: natural ou não?

Não há acordo universal. Em muitos manuais em língua portuguesa, ℕ começa em 1 e usa-se ℕ0 quando se quer incluir o zero; noutros países, e na norma internacional ISO 80000-2, ℕ já inclui o zero. Siga a convenção do seu manual e do seu professor. Neste site, ℕ não inclui o zero.

Operações dentro dos naturais

A soma e o produto de dois números naturais são sempre números naturais: 12 + 8 = 20 e 12 × 8 = 96. Já a subtração e a divisão nem sempre dão um natural: 3 − 5 não é natural, e 7 ÷ 2 também não. É por isso que, mais tarde, se estudam os números inteiros e os racionais.

Como se lê e escreve um número natural

Usamos o sistema de numeração decimal posicional: o valor de cada algarismo depende da posição onde está. No número 4 305, o algarismo 4 vale 4 000 (quatro unidades de milhar), o 3 vale 300 (três centenas), o 0 não conta dezenas e o 5 vale 5 unidades. O algarismo é o símbolo (0, 1, 2… 9); o número é o que se forma com eles. O número 4 305 tem quatro algarismos.

Exemplos do quotidiano

Os números naturais aparecem com funções diferentes:

  • Contar (quantos?): a turma tem 38 alunos; uma caixa tem 12 ovos.
  • Ordenar (em que lugar?): ficou em 3.º lugar na corrida; está no 2.º andar.
  • Identificar (qual?): um número de telefone, de uma matrícula ou de um bilhete. Aqui o número serve de "nome" e não faz sentido somar dois números de telefone.
  • Medir em unidades inteiras: um preço de 500 Kwanzas, uma temperatura de 30 graus, uma distância de 12 quilómetros.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Reconhecer números naturais

Enunciado: Quais destes números são naturais? 7, −3, 0, 2,5, 1/2, 1 000.

Resolução:

  1. 7 e 1 000 servem para contar e são inteiros positivos: são naturais.
  2. −3 é negativo: não é natural (é um número inteiro).
  3. 2,5 e 1/2 não são inteiros: não são naturais.
  4. 0 é natural apenas em ℕ0.

Resposta: 7 e 1 000 são naturais; o 0 só é natural se o conjunto incluir o zero.

Exemplo 2 — Antecessor e sucessor

Enunciado: Indique o antecessor e o sucessor de 999 e de 1 000.

Resolução:

  1. Antecessor de 999: 999 − 1 = 998. Sucessor de 999: 999 + 1 = 1 000.
  2. Antecessor de 1 000: 1 000 − 1 = 999. Sucessor de 1 000: 1 000 + 1 = 1 001.

Resposta: 998 e 1 000 para o número 999; 999 e 1 001 para o número 1 000. Repare que 999, 1 000 e 1 001 são três naturais consecutivos.

Exemplo 3 — Decompor um número por ordens

Enunciado: Decomponha o número 4 305.

Resolução:

  1. O algarismo 4 está na ordem dos milhares: 4 × 1 000 = 4 000.
  2. O algarismo 3 está na ordem das centenas: 3 × 100 = 300.
  3. O algarismo 0 está na ordem das dezenas: 0 × 10 = 0.
  4. O algarismo 5 está na ordem das unidades: 5 × 1 = 5.

Resposta: 4 305 = 4 000 + 300 + 0 + 5.

Exemplo 4 — Comparar e ordenar

Enunciado: Ordene por ordem crescente: 5 280, 982, 5 208.

Resolução:

  1. Mais algarismos significa maior número: 982 (três algarismos) é o menor.
  2. 5 280 e 5 208 têm quatro algarismos. Compare da esquerda para a direita: ambos começam por 5 2; no algarismo seguinte, 8 é maior do que 0.
  3. Logo 5 208 < 5 280.

Resposta: 982 < 5 208 < 5 280.

Importância e aplicações

Os números naturais são a base de toda a matemática escolar. Com eles aprendemos a contar, somar e multiplicar; a partir deles constroem-se os inteiros (que incluem os negativos), os racionais (frações e decimais) e os reais. Fora da escola, usamo-los para gerir dinheiro, ler horas e datas, numerar páginas e endereços, e na informática, onde tudo se armazena como sequências de números naturais escritos em base 2.

Erros e confusões frequentes

  • Dizer que existe "o maior número natural". Não existe: somando 1 obtém-se sempre um número maior.
  • Confundir algarismo com número. 4 305 é um número; 4, 3, 0 e 5 são os seus algarismos.
  • Achar que 2,5 ou 1/2 são naturais. Não servem para contar objetos inteiros.
  • Ler mal o valor de posição. 4 305 não é 435: o zero ocupa a ordem das dezenas e não pode ser ignorado.
  • Supor que o zero é natural em qualquer manual. Confirme a convenção usada.
  • Pensar que a subtração entre naturais dá sempre um natural. 3 − 5 = −2, que já não é natural.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Indique quais destes números são naturais: 15, −4, 0,5, 230, 3/4, 0 (considerando ℕ0).

Ver dica

Pergunte-se: serve para contar objetos inteiros? Tem vírgula ou sinal negativo?

Ver solução

São naturais 15 e 230. O 0 é natural em ℕ0. Não são naturais −4 (negativo), 0,5 (decimal) e 3/4 (fração).

2Exercício 2

Escreva o antecessor e o sucessor de 4 099, de 7 000 e de 1.

Ver solução
  • 4 099: antecessor 4 098, sucessor 4 100.
  • 7 000: antecessor 6 999, sucessor 7 001.
  • 1: sucessor 2; não tem antecessor em ℕ (em ℕ0, o antecessor seria 0).

3Exercício 3

Decomponha o número 7 084 por ordens.

Ver solução

7 084 = 7 × 1 000 + 0 × 100 + 8 × 10 + 4 × 1 = 7 000 + 0 + 80 + 4. Lê-se "sete mil e oitenta e quatro".

4Exercício 4

Ordene por ordem crescente: 3 407, 3 047, 3 470, 347.

Ver dica

Comece pelo número com menos algarismos e compare os restantes da esquerda para a direita.

Ver solução

347 < 3 047 < 3 407 < 3 470. O 347 tem três algarismos; nos restantes, o primeiro algarismo é 3 e compara-se o seguinte: 0 < 4; entre 3 407 e 3 470, 0 < 7.

5Exercício 5

Diga se é verdadeira ou falsa cada afirmação e justifique: (a) o maior número natural de três algarismos é 999; (b) existe um maior número natural; (c) a soma de dois naturais é sempre natural; (d) a diferença de dois naturais é sempre natural.

Ver solução

(a) Verdadeira: 999 + 1 = 1 000 já tem quatro algarismos. (b) Falsa: somando 1 obtém-se sempre um número maior. (c) Verdadeira: por exemplo, 12 + 8 = 20. (d) Falsa: 3 − 5 = −2, que não é natural.

Perguntas frequentes

O zero é um número natural?

Depende da convenção. Em muitos manuais em língua portuguesa, ℕ = {1, 2, 3, …} e escreve-se ℕ0 = {0, 1, 2, …} para incluir o zero; noutros contextos, incluindo a norma ISO 80000-2, ℕ já contém o zero. Use a convenção do seu manual e do seu professor.

Qual é a diferença entre número natural e número inteiro?

Os inteiros incluem também os números negativos: ℤ = {…, −2, −1, 0, 1, 2, …}. Todos os naturais são inteiros, mas nem todos os inteiros são naturais (por exemplo, −2).

Quantos números naturais existem?

Infinitos. Por maior que seja um número natural, o seu sucessor é maior, pelo que a lista nunca acaba.

Os números decimais e as frações são números naturais?

Não. Os naturais servem para contar unidades inteiras. Números como 2,5 ou 3/4 pertencem a outros conjuntos (os racionais), que se estudam depois.

Resumo para memorizar

  • Os números naturais servem para contar e ordenar: 1, 2, 3, 4…
  • ℕ não inclui o zero; ℕ0 inclui. Confirme a convenção do seu manual.
  • Todo o natural tem sucessor (+1); só o primeiro não tem antecessor.
  • Não existe o maior número natural: o conjunto é infinito.
  • Soma e produto de naturais dão sempre um natural; subtração e divisão nem sempre.
  • O valor de um algarismo depende da sua posição (unidades, dezenas, centenas…).

Onde aprofundar

  • O manual escolar aprovado da sua classe e o programa oficial de Matemática (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
  • A norma ISO 80000-2 (símbolos e notação matemática), para a convenção sobre o zero em ℕ.
  • O seu professor: peça-lhe a convenção usada na sua escola.

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