Matemática · 1.ª–6.ª classe
Como calcular o mínimo múltiplo comum (m.m.c.)?
Resposta curta
O m.m.c. é o menor múltiplo comum, diferente de zero. Decompõem-se os números em fatores primos e multiplicam-se todos os fatores, comuns e não comuns, com o maior expoente. Exemplo: 12 = 22 × 3 e 18 = 2 × 32, logo m.m.c.(12, 18) = 22 × 32 = 36.
O que é o m.m.c.
Um múltiplo de um número obtém-se multiplicando-o por 1, 2, 3, 4… Os múltiplos de 4 são 4, 8, 12, 16, 20, 24…; os de 6 são 6, 12, 18, 24, 30…
Os números que aparecem nas duas listas são múltiplos comuns (12, 24, 36…). O mínimo múltiplo comum, escrito m.m.c., é o menor deles, excluindo o zero. Para 4 e 6, o m.m.c. é 12.
O m.m.c. é útil sempre que duas coisas se repetem com ritmos diferentes e queremos saber quando coincidem, e também para somar e subtrair frações com denominadores diferentes.
Fórmula e significado de cada termo
Pela decomposição em fatores primos:
Regra do m.m.c.
m.m.c. = produto de todos os fatores primos, comuns e não comuns, cada um com o maior expoente
Há ainda uma relação útil com o m.d.c. (máximo divisor comum) de dois números a e b:
Relação com o m.d.c.
m.m.c.(a, b) × m.d.c.(a, b) = a × b
Quando dois números não têm nenhum divisor comum além do 1 (dizem-se primos entre si), o m.d.c. é 1 e o m.m.c. é simplesmente o produto: m.m.c.(9, 10) = 90.
Passo a passo
Existem três métodos. Escolha conforme o tamanho dos números.
Método 1 — Listar os múltiplos (números pequenos)
- Escreva os primeiros múltiplos de cada número.
- Procure o primeiro que aparece em todas as listas.
Método 2 — Decomposição em fatores primos (o mais usado)
- Decomponha cada número em fatores primos (veja o artigo sobre decomposição em fatores primos).
- Escreva cada fator primo que aparece em pelo menos um dos números.
- Para cada primo, fique com o maior expoente com que aparece.
- Multiplique esses fatores. O resultado é o m.m.c.
Método 3 — Decomposição simultânea (dispositivo prático)
- Escreva os números em linha, separados por vírgulas, com uma barra vertical à direita.
- Divida, à direita da barra, por um primo que divida pelo menos um dos números; os que não forem divisíveis descem iguais.
- Repita até todos os números serem 1.
- O m.m.c. é o produto dos primos usados à direita.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Listar os múltiplos
Enunciado: Calcule o m.m.c.(4, 6).
Resolução:
- Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24…
- Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 30…
- O primeiro número comum é 12.
Resposta: m.m.c.(4, 6) = 12.
Exemplo 2 — Decomposição em fatores primos
Enunciado: Calcule o m.m.c.(12, 18).
Resolução:
- 12 = 2 × 2 × 3 = 22 × 3.
- 18 = 2 × 3 × 3 = 2 × 32.
- O primo 2 aparece com expoentes 2 e 1: fica o maior, 22. O primo 3 aparece com expoentes 1 e 2: fica 32.
- m.m.c. = 22 × 32 = 4 × 9 = 36.
Resposta: m.m.c.(12, 18) = 36. Verificação: 36 ÷ 12 = 3 e 36 ÷ 18 = 2, ambas divisões exatas.
Exemplo 3 — Três números
Enunciado: Calcule o m.m.c.(8, 12, 20).
Resolução:
- 8 = 23; 12 = 22 × 3; 20 = 22 × 5.
- Maior expoente de 2: 3 (em 8). O fator 3 aparece em 12; o fator 5 aparece em 20.
- m.m.c. = 23 × 3 × 5 = 8 × 15 = 120.
Resposta: m.m.c.(8, 12, 20) = 120. Verificação: 120 ÷ 8 = 15, 120 ÷ 12 = 10 e 120 ÷ 20 = 6.
Exemplo 4 — Problema com autocarros
Enunciado: Dois autocarros partem juntos do terminal às 6h00. Um parte de 15 em 15 minutos e o outro de 20 em 20 minutos. A que horas voltam a partir juntos?
Resolução:
- Procura-se o primeiro instante em que ambos coincidem: é o m.m.c.(15, 20) minutos.
- 15 = 3 × 5 e 20 = 22 × 5. m.m.c. = 22 × 3 × 5 = 60.
- 60 minutos depois das 6h00 são 7h00.
Resposta: voltam a partir juntos às 7h00.
Exemplo 5 — Somar frações
Enunciado: Calcule 1/6 + 1/8.
Resolução:
- O denominador comum mais pequeno é o m.m.c.(6, 8). Com 6 = 2 × 3 e 8 = 23, vem 23 × 3 = 24.
- 1/6 = 4/24 (multiplicou-se por 4) e 1/8 = 3/24 (multiplicou-se por 3).
- 4/24 + 3/24 = 7/24.
Resposta: 7/24.
Erros frequentes no cálculo
- Confundir m.m.c. com m.d.c. O m.m.c. é sempre maior ou igual ao maior dos números; o m.d.c. é sempre menor ou igual ao menor.
- Multiplicar só os fatores comuns. No m.m.c. entram todos os fatores, comuns e não comuns.
- Usar o menor expoente (regra do m.d.c.) em vez do maior.
- Esquecer um fator não comum, por exemplo deixar de fora o 5 em m.m.c.(8, 12, 20).
- Multiplicar os números sem mais. 12 × 18 = 216 é um múltiplo comum, mas não o menor; o m.m.c. é 36.
- Tomar o zero como m.m.c. O zero é múltiplo de todos os números, mas por definição o m.m.c. é diferente de zero.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Calcule o m.m.c.(6, 9).
Ver dica
6 = 2 × 3 e 9 = 32.
Ver solução
Maior expoente de 2: 1; maior expoente de 3: 2. m.m.c. = 2 × 32 = 18. Verificação: 18 ÷ 6 = 3 e 18 ÷ 9 = 2.
2Exercício 2
Calcule o m.m.c.(15, 25).
Ver solução
15 = 3 × 5 e 25 = 52. m.m.c. = 3 × 52 = 75. Verificação: 75 ÷ 15 = 5 e 75 ÷ 25 = 3.
3Exercício 3
Calcule o m.m.c.(8, 12, 18).
Ver solução
8 = 23; 12 = 22 × 3; 18 = 2 × 32. Maior expoente de 2: 3; maior expoente de 3: 2. m.m.c. = 23 × 32 = 8 × 9 = 72. Verificação: 72 ÷ 8 = 9, 72 ÷ 12 = 6, 72 ÷ 18 = 4.
4Exercício 4
Numa paragem, um autocarro passa de 10 em 10 minutos e outro de 25 em 25 minutos. Passaram juntos às 8h00. A que horas passam juntos pela primeira vez a seguir?
Ver solução
m.m.c.(10, 25): 10 = 2 × 5 e 25 = 52, logo m.m.c. = 2 × 52 = 50. Passam juntos 50 minutos depois: às 8h50.
5Exercício 5
Calcule 5/12 + 7/18.
Ver dica
Primeiro o m.m.c. dos denominadores.
Ver solução
m.m.c.(12, 18) = 36. 5/12 = 15/36 e 7/18 = 14/36. Soma: 15/36 + 14/36 = 29/36 (já está na forma irredutível, porque 29 é primo e não divide 36).
6Exercício 6
Sabendo que m.d.c.(24, 36) = 12, calcule m.m.c.(24, 36) usando a relação m.m.c. × m.d.c. = produto dos números.
Ver solução
m.m.c. = (24 × 36) ÷ 12 = 864 ÷ 12 = 72. Confirmação por fatores primos: 24 = 23 × 3 e 36 = 22 × 32, logo m.m.c. = 23 × 32 = 72.
Perguntas frequentes
Qual é a fórmula para calcular o m.m.c.?
Não há uma fórmula única; o método mais usado é multiplicar todos os fatores primos, comuns e não comuns, com o maior expoente. Para dois números há ainda a relação m.m.c.(a, b) = (a × b) ÷ m.d.c.(a, b).
Como verificar se o resultado está correto?
Confirme duas coisas: (1) o m.m.c. é divisível por cada um dos números, com divisão exata; (2) não existe um múltiplo comum menor. Para a segunda, divida o m.m.c. por cada número e veja se os quocientes obtidos não têm nenhum divisor comum além de 1 (por exemplo, 36 ÷ 12 = 3 e 36 ÷ 18 = 2: os quocientes 3 e 2 não têm divisores comuns).
Que erros se cometem ao calcular o m.m.c.?
Os mais comuns são trocar o m.m.c. pelo m.d.c., usar o menor expoente em vez do maior e esquecer fatores que só aparecem num dos números. Veja a secção "Erros frequentes".
Qual é a diferença entre m.m.c. e m.d.c.?
O m.m.c. é o menor número que é múltiplo de todos os números dados; o m.d.c. é o maior número que divide todos eles. Por exemplo, para 12 e 18: m.m.c. = 36 e m.d.c. = 6.
Resumo
- m.m.c. = menor múltiplo comum diferente de zero.
- Por fatores primos: todos os fatores, comuns e não comuns, com o maior expoente.
- Para dois números: m.m.c. × m.d.c. = produto dos números.
- Usa-se em problemas de coincidência (horários, ciclos) e para somar frações com denominadores diferentes.
- Verifique sempre que o m.m.c. é divisível por cada um dos números.
Onde aprofundar
- O manual escolar aprovado da sua classe e o programa oficial de Matemática (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
- O seu professor de Matemática, para saber que método de cálculo (listas, fatores primos ou dispositivo prático) é pedido nos testes.
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