Matemática · 1.ª–6.ª classe
O que são os números primos?
Resposta curta
Um número primo é um número natural maior do que 1 que tem exatamente dois divisores: o 1 e ele próprio. O 7 é primo, porque só se divide exatamente por 1 e por 7; o 9 não é, porque também se divide por 3. O 2 é o único primo par e o 1 não é primo.
O que é um número primo
Um divisor de um número é outro número que o divide sem deixar resto. Os divisores de 6 são 1, 2, 3 e 6, porque 6 ÷ 1, 6 ÷ 2, 6 ÷ 3 e 6 ÷ 6 são divisões exatas.
Conforme o número de divisores, os naturais dividem-se em três grupos:
- Números primos: têm exatamente 2 divisores (o 1 e o próprio número).
- Números compostos: têm mais de 2 divisores.
- O número 1: tem um só divisor (ele mesmo). Não é primo nem composto. O 0 também não entra em nenhum dos grupos.
A tabela mostra os primeiros casos:
| Número | Divisores | Quantos | Classificação |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | nem primo nem composto |
| 2 | 1, 2 | 2 | primo |
| 3 | 1, 3 | 2 | primo |
| 4 | 1, 2, 4 | 3 | composto |
| 5 | 1, 5 | 2 | primo |
| 6 | 1, 2, 3, 6 | 4 | composto |
| 7 | 1, 7 | 2 | primo |
| 8 | 1, 2, 4, 8 | 4 | composto |
| 9 | 1, 3, 9 | 3 | composto |
| 10 | 1, 2, 5, 10 | 4 | composto |
| 11 | 1, 11 | 2 | primo |
| 12 | 1, 2, 3, 4, 6, 12 | 6 | composto |
Nota
Porque é que o 1 não é primo? Porque a definição pede dois divisores diferentes e o 1 só tem um. Há ainda uma razão mais funda: todo o número composto se escreve de uma única maneira como produto de primos (6 = 2 × 3). Se o 1 fosse primo, também poderíamos escrever 6 = 1 × 2 × 3, 6 = 1 × 1 × 2 × 3 e assim por diante, e a unicidade perdia-se.
Características dos números primos
- Dois divisores: o 1 e o próprio número.
- O 2 é o único primo par. Qualquer outro par é divisível por 2 e, sendo maior do que 2, tem pelo menos três divisores.
- Nem todo o ímpar é primo: 9, 15, 21 e 25 são ímpares e compostos.
- Primos maiores do que 5 terminam em 1, 3, 7 ou 9. A recíproca é falsa: 21, 27 e 39 terminam nesses algarismos e são compostos.
- Há infinitos primos. Euclides, matemático da Grécia antiga, mostrou que não existe um último número primo.
- Decomposição: todo o natural maior do que 1 é primo ou escreve-se como produto de primos. É por isso que os primos são chamados os «tijolos» dos números naturais.
Lista dos primos até 100
| Intervalo | Primos |
|---|---|
| 1 a 10 | 2, 3, 5, 7 |
| 11 a 20 | 11, 13, 17, 19 |
| 21 a 30 | 23, 29 |
| 31 a 40 | 31, 37 |
| 41 a 50 | 41, 43, 47 |
| 51 a 60 | 53, 59 |
| 61 a 70 | 61, 67 |
| 71 a 80 | 71, 73, 79 |
| 81 a 90 | 83, 89 |
| 91 a 100 | 97 |
São 25 primos até 100. Uma forma clássica de os encontrar é o crivo de Eratóstenes: escreva os números de 2 a 100, fique com o 2 e risque os seus múltiplos; passe ao primeiro número não riscado (o 3) e risque os seus múltiplos; repita com o 5 e com o 7. Os que sobrarem são os primos. Basta parar no 7 porque 11 × 11 = 121 já passa de 100.
Para que servem os números primos
- Na escola, servem para decompor números em fatores primos, calcular o m.d.c. e o m.m.c. e simplificar frações.
- Fora da escola, muitos sistemas de segurança informática, como os que protegem pagamentos e mensagens na internet, usam propriedades de números primos muito grandes.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Primo ou composto?
Enunciado: Diga se 7 e 9 são primos.
Resolução:
- Escreva os divisores de 7: 1 e 7. São dois.
- Escreva os divisores de 9: 1, 3 e 9. São três.
- Primo = exatamente dois divisores.
Resposta: 7 é primo; 9 é composto, porque 9 = 3 × 3. Verificação: 9 ÷ 3 = 3, divisão exata, logo 3 é um divisor a mais.
Exemplo 2 — Classificar vários números
Enunciado: Classifique 1, 13, 15, 21 e 23 em primos, compostos ou nenhum dos dois.
Resolução:
- 1 tem um só divisor: não é primo nem composto.
- 13 só se divide por 1 e 13: primo.
- 15 = 3 × 5: composto (divisores 1, 3, 5, 15).
- 21 = 3 × 7: composto.
- 23 só se divide por 1 e 23: primo.
Resposta: primos: 13 e 23; compostos: 15 e 21; o 1 não é nem uma coisa nem outra. Verificação: 3 × 5 = 15 e 3 × 7 = 21.
Exemplo 3 — Primos entre 40 e 60
Enunciado: Escreva todos os números primos entre 40 e 60.
Resolução:
- Elimine os pares: sobram 41, 43, 45, 47, 49, 51, 53, 55, 57, 59.
- Elimine os que terminam em 5: 45 e 55.
- Elimine os múltiplos de 3: 51 (5 + 1 = 6) e 57 (5 + 7 = 12).
- Elimine 49, porque 7 × 7 = 49.
Resposta: 41, 43, 47, 53 e 59. Verificação: na tabela dos primos até 100, as linhas «41 a 50» e «51 a 60» têm exatamente 41, 43, 47, 53 e 59.
Exemplo 4 — Nível de exame: primos gémeos
Enunciado: Dois primos cuja diferença é 2 chamam-se primos gémeos. Indique todos os pares de primos gémeos menores do que 30.
Resolução:
- Primos menores do que 30: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.
- Diferenças entre primos seguidos: 3 − 2 = 1; 5 − 3 = 2; 7 − 5 = 2; 11 − 7 = 4; 13 − 11 = 2; 17 − 13 = 4; 19 − 17 = 2; 23 − 19 = 4; 29 − 23 = 6.
- As diferenças iguais a 2 dão os pares (3, 5), (5, 7), (11, 13) e (17, 19).
Resposta: quatro pares: (3, 5), (5, 7), (11, 13) e (17, 19). Verificação: 29 + 2 = 31, que é primo mas já não é menor do que 30, por isso o par (29, 31) fica de fora.
Erros frequentes
- Dizer que o 1 é primo. Lembre-se: primo precisa de dois divisores e o 1 só tem um.
- Pensar que o 2 não é primo por ser par. Tem exatamente dois divisores (1 e 2), logo é primo, e é o único par que o é.
- Achar que todo o ímpar é primo. Teste sempre: 9, 15, 21, 25, 27 e 33 são ímpares e compostos.
- Esquecer o 49. É muito comum dar 49 como primo porque não é múltiplo de 2, 3 nem 5; mas 7 × 7 = 49.
- Confundir «primo» com «primo entre si». Dois números são primos entre si quando o único divisor comum é 1 (8 e 15, por exemplo), sem que nenhum deles seja primo.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Escreva todos os divisores de 15 e de 17. Qual deles é primo?
Ver solução
Divisores de 15: 1, 3, 5, 15 (quatro divisores, composto). Divisores de 17: 1, 17 (dois divisores). 17 é primo e 15 é composto.
2Exercício 2
Entre 27, 31, 39, 41 e 49, indique os números primos.
Ver dica
Procure um divisor diferente de 1 e do próprio número em cada um.
Ver solução
27 = 3 × 9; 39 = 3 × 13; 49 = 7 × 7. Os números 31 e 41 não têm outros divisores. Primos: 31 e 41.
3Exercício 3
Diga se é verdadeira ou falsa cada afirmação: (a) Todos os números ímpares são primos. (b) O 2 é um número primo. (c) O 1 é um número primo. (d) Existe um maior número primo.
Ver solução
(a) Falsa: 9 é ímpar e composto. (b) Verdadeira: tem só os divisores 1 e 2. (c) Falsa: só tem um divisor. (d) Falsa: há infinitos números primos.
4Exercício 4
Escreva os números primos entre 70 e 90.
Ver solução
Elimine os pares e os que terminam em 5: sobram 71, 73, 77, 79, 81, 83, 87, 89. Retire 77 (7 × 11), 81 (9 × 9) e 87 (3 × 29). Primos: 71, 73, 79, 83 e 89.
5Exercício 5
Desafio: o 3, o 5 e o 7 são três primos ímpares seguidos (diferença 2). Existem outros três números primos da forma p, p + 2 e p + 4? Justifique.
Ver dica
Em três ímpares seguidos como estes, um deles é sempre múltiplo de 3.
Ver solução
Experimente: 5, 7, 9 (9 não é primo); 7, 9, 11 (9 não é primo); 11, 13, 15 (15 não é primo). Em p, p + 2 e p + 4 há sempre um múltiplo de 3, e esse só pode ser primo se for o próprio 3. Isso só acontece quando p = 3. Resposta: não; o único terno é 3, 5, 7.
Perguntas frequentes
Porque é que o 1 não é número primo?
O 1 tem apenas um divisor, ele próprio, e a definição de primo exige exatamente dois. Além disso, se o 1 fosse primo, a decomposição de um número em fatores primos deixava de ser única, porque se poderia juntar qualquer quantidade de uns ao produto.
Qual é o maior número primo?
Não existe um maior. Euclides demonstrou, há mais de dois mil anos, que há sempre outro primo maior do que qualquer primo que se indique. Os recordes de «maior primo conhecido» são encontrados por computadores e vão sendo superados.
Qual é a diferença entre números primos e números primos entre si?
Um número primo é uma propriedade de um só número (dois divisores). «Primos entre si» é uma propriedade de um par ou grupo de números cujo único divisor comum é 1. Assim, 8 e 15 são primos entre si, embora nenhum deles seja primo.
Como sei se um número grande é primo?
Teste a divisão pelos primos 2, 3, 5, 7, 11... em ordem crescente. Se nenhum deles dividir o número, é primo. Veja o artigo «Como reconhecer se um número é primo?» para saber onde parar.
Resumo
- Um número primo tem exatamente dois divisores: 1 e ele próprio.
- Os números com mais de dois divisores são compostos; o 1 não é primo nem composto.
- O 2 é o único primo par; os restantes primos são ímpares.
- Até 100 há 25 números primos, do 2 ao 97.
- Todo o natural maior do que 1 é primo ou produto de primos; por isso os primos servem para o m.d.c., o m.m.c. e as frações.
Onde aprofundar
- O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
- O livro Elementos, de Euclides, onde aparece a demonstração de que há infinitos primos.
- O manual aberto OpenStax Prealgebra (em inglês), com exercícios sobre fatores e números primos.
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