Matemática · 1.ª–6.ª classe
Como decompor um número em fatores primos?
Resposta curta
Divide-se o número pelo menor número primo que o divida exatamente (2, 3, 5, 7…), depois divide-se o quociente da mesma forma, até o quociente ser 1. O número é o produto de todos os divisores usados. Exemplo: 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 22 × 3 × 5.
Quando se aplica
Decompor um número em fatores primos é escrevê-lo como um produto de números primos. Um número primo tem exatamente dois divisores, o 1 e ele próprio (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23…). O 1 não é primo e os números com mais de dois divisores (4, 6, 8, 9, 10…) chamam-se compostos.
Todo o número natural maior do que 1 pode ser escrito, de uma única maneira (a menos da ordem dos fatores), como produto de primos. É o chamado teorema fundamental da aritmética. Por isso a decomposição serve de "impressão digital" do número e é usada para:
- calcular o m.m.c. e o m.d.c. de dois ou mais números;
- simplificar frações;
- descobrir todos os divisores de um número;
- reconhecer quadrados perfeitos (todos os expoentes são pares).
O que precisa de saber antes
Para decidir rapidamente se um primo divide o número, use os critérios de divisibilidade:
| Divisível por | Critério | Exemplo |
|---|---|---|
| 2 | O último algarismo é par (0, 2, 4, 6, 8) | 138 |
| 3 | A soma dos algarismos é múltipla de 3 | 252: 2 + 5 + 2 = 9 |
| 5 | O último algarismo é 0 ou 5 | 765 |
| 7, 11, 13… | Não há critério curto; faz-se a divisão | 91 = 7 × 13 |
Método passo a passo
- Escreva o número e trace uma barra vertical à direita dele.
- Procure o menor primo que o divide (comece sempre pelo 2). Escreva esse primo à direita da barra e o quociente por baixo do número.
- Repita com o quociente, voltando a tentar 2, depois 3, 5, 7, 11… Pode repetir o mesmo primo as vezes que for preciso.
- Pare quando o quociente for 1.
- Escreva o produto de todos os primos da coluna da direita e agrupe os iguais com expoentes (2 × 2 × 3 = 22 × 3).
- Verifique multiplicando os fatores: tem de dar o número de partida.
Quando posso parar de procurar divisores?
Para saber se um número n é primo, basta tentar os primos cujo quadrado não ultrapassa n. Se nenhum deles divide n, então n é primo. Por exemplo, para 97 testam-se 2, 3, 5 e 7 (porque 11 × 11 = 121 já passa de 97): nenhum divide 97, logo 97 é primo.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Decompor 60
Enunciado: Decomponha 60 em fatores primos.
Resolução:
| Número | Divide-se por |
|---|---|
| 60 | 2 |
| 30 | 2 |
| 15 | 3 |
| 5 | 5 |
| 1 | — |
- 60 é par: 60 ÷ 2 = 30.
- 30 é par: 30 ÷ 2 = 15.
- 15 não é par; a soma dos algarismos (1 + 5 = 6) é múltipla de 3: 15 ÷ 3 = 5.
- 5 é primo: 5 ÷ 5 = 1.
Resposta: 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 22 × 3 × 5. Verificação: 4 × 3 × 5 = 60.
Exemplo 2 — Decompor 252
Enunciado: Decomponha 252 em fatores primos.
Resolução:
- 252 ÷ 2 = 126.
- 126 ÷ 2 = 63.
- 63 é ímpar, por isso já não se divide por 2. A soma dos algarismos é 9, logo divide-se por 3: 63 ÷ 3 = 21.
- 21 ÷ 3 = 7.
- 7 é primo: 7 ÷ 7 = 1.
Resposta: 252 = 22 × 32 × 7. Verificação: 4 × 9 × 7 = 252.
Exemplo 3 — Nível de exame: 1 260
Enunciado: Decomponha 1 260 em fatores primos e diga se é um quadrado perfeito.
Resolução:
- 1 260 ÷ 2 = 630; 630 ÷ 2 = 315.
- 315 é ímpar. Soma dos algarismos: 3 + 1 + 5 = 9, divide-se por 3: 315 ÷ 3 = 105; 105 ÷ 3 = 35.
- 35 termina em 5: 35 ÷ 5 = 7.
- 7 ÷ 7 = 1.
Resposta: 1 260 = 22 × 32 × 5 × 7. Os expoentes de 5 e de 7 são 1 (ímpares), portanto não é um quadrado perfeito. Verificação: 4 × 9 × 5 × 7 = 1 260.
Erros frequentes
- Parar cedo demais. Escrever 60 = 2 × 30 não é uma decomposição em primos, porque 30 ainda é composto. Continue até todos os fatores serem primos.
- Incluir o 1. O 1 não é primo e multiplicar por 1 não altera nada; não aparece na decomposição.
- Dividir por números compostos (4, 6, 9…) e esquecer de os decompor depois.
- Saltar o 2 num número par e começar logo no 3: o resultado até pode estar certo, mas perde-se o método e aumenta o risco de erro.
- Contar mal os expoentes: em 2 × 2 × 2 × 3 há três dois, ou seja, 23 × 3 (e não 22).
- Não verificar. Multiplique sempre os fatores no fim: demora dez segundos e apanha quase todos os erros.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Decomponha 36 em fatores primos.
Ver dica
Comece pelo 2; depois repare na soma dos algarismos do quociente.
Ver solução
36 ÷ 2 = 18; 18 ÷ 2 = 9; 9 ÷ 3 = 3; 3 ÷ 3 = 1. Logo 36 = 22 × 32. Verificação: 4 × 9 = 36.
2Exercício 2
Decomponha 90 em fatores primos.
Ver solução
90 ÷ 2 = 45; 45 ÷ 3 = 15; 15 ÷ 3 = 5; 5 ÷ 5 = 1. Logo 90 = 2 × 32 × 5. Verificação: 2 × 9 × 5 = 90.
3Exercício 3
Decomponha 420 em fatores primos.
Ver solução
420 ÷ 2 = 210; 210 ÷ 2 = 105; 105 ÷ 3 = 35; 35 ÷ 5 = 7; 7 ÷ 7 = 1. Logo 420 = 22 × 3 × 5 × 7. Verificação: 4 × 3 × 5 × 7 = 420.
4Exercício 4
Mostre que 51 não é um número primo e escreva-o como produto de primos.
Ver dica
Some os algarismos de 51.
Ver solução
5 + 1 = 6, que é múltiplo de 3, logo 51 é divisível por 3: 51 ÷ 3 = 17. Como 17 é primo, 51 = 3 × 17 (e por isso 51 não é primo).
5Exercício 5
Qual é o número cuja decomposição em fatores primos é 23 × 3 × 52?
Ver solução
23 = 8 e 52 = 25. Então 8 × 3 × 25 = 24 × 25 = 600. O número é 600.
6Exercício 6
Desafio: decomponha 1 001 em fatores primos. (Sugestão: experimente o 7.)
Ver solução
1 001 ÷ 7 = 143. 143 não é divisível por 2, 3, 5 nem 7; ao tentar o 11, 143 ÷ 11 = 13. Como 13 é primo, 1 001 = 7 × 11 × 13. Verificação: 7 × 11 = 77 e 77 × 13 = 1 001.
Perguntas frequentes
Quando se usa a decomposição em fatores primos?
Sempre que precisa de comparar ou combinar números pela sua estrutura multiplicativa: no cálculo do m.m.c. e do m.d.c., na simplificação de frações, na procura de divisores e na identificação de quadrados e cubos perfeitos.
Existe um método mais rápido?
Para números pequenos, a árvore de fatores (partir o número em dois fatores e continuar a partir cada um até só restarem primos) é igualmente válida e muitos alunos acham-na mais visual. O resultado é sempre o mesmo, só muda a apresentação. Com números muito grandes usam-se calculadoras e algoritmos de computador.
A decomposição pode dar resultados diferentes?
A ordem dos fatores pode mudar, mas o conjunto de primos e dos seus expoentes é sempre o mesmo. Se obteve outro resultado, houve um erro de cálculo: verifique multiplicando.
Como sei se um número é primo?
Se nenhum primo cujo quadrado não ultrapassa o número o dividir, o número é primo. Para 97, por exemplo, basta tentar 2, 3, 5 e 7.
Resumo
- Decompor é escrever o número como produto de primos.
- Divida sempre pelo menor primo possível e continue até o quociente ser 1.
- Agrupe fatores iguais com expoentes: 60 = 22 × 3 × 5.
- A decomposição é única (a menos da ordem).
- Verifique multiplicando os fatores no fim.
Onde aprofundar
- O manual escolar aprovado da sua classe e o programa oficial de Matemática (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
- O seu professor de Matemática, para a terminologia (fatores primos, números compostos) usada na sua escola.
- Artigos relacionados do MeuGuia Estudante sobre m.m.c. e m.d.c., que usam este método.
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