Matemática · 9.ª–12.ª classe

Como calcular razões trigonométricas de ângulos agudos?

  • 7 min de leitura
  • 5 exemplos resolvidos
  • 5 exercícios com solução
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Resposta curta

Para calcular as razões trigonométricas de um ângulo agudo, identifique os lados (oposto, adjacente, hipotenusa) e aplique sen = oposto/hipotenusa, cos = adjacente/hipotenusa, tan = oposto/adjacente. Se só conhece uma razão, obtenha as outras com sen2 + cos2 = 1 e tan = sen/cos; se só conhece o ângulo, use os valores notáveis ou a calculadora.

Quando se aplica

Há três situações típicas:

  1. Conhece os lados de um triângulo retângulo e quer as razões de um ângulo.
  2. Conhece uma razão (por exemplo, sen A = 3/5) e quer as outras duas.
  3. Conhece o ângulo e quer o valor da razão.

Em todas é útil lembrar as relações fundamentais:

Relações fundamentais (ângulo agudo)

sen2 α + cos2 α = 1 · tan α = sen α ÷ cos α · sen α = cos(90° − α)

Método passo a passo

Caso 1: a partir dos lados

  1. Desenhe o triângulo e marque o ângulo pedido.
  2. Nomeie os lados em relação a esse ângulo: oposto, adjacente, hipotenusa.
  3. Se faltar um lado, calcule-o com o teorema de Pitágoras.
  4. Escreva as frações sen, cos e tan e simplifique.

Caso 2: a partir de uma razão

  1. Escreva a razão como fração de lados (sen A = 3/5 sugere oposto 3 e hipotenusa 5).
  2. Complete o triângulo com Pitágoras.
  3. Leia as outras razões no triângulo.

Caso 3: a partir do ângulo

  1. Se o ângulo for 30°, 45° ou 60°, use os valores exatos: sen 30° = 1/2, cos 30° = √3/2, tan 30° = √3/3; sen 45° = cos 45° = √2/2, tan 45° = 1; sen 60° = √3/2, cos 60° = 1/2, tan 60° = √3.
  2. Noutros ângulos, use a calculadora em modo DEG e arredonde só no fim.
  3. Verifique que sen e cos estão entre 0 e 1.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — A partir dos lados

Enunciado: Num triângulo retângulo os catetos medem 9 cm e 12 cm. Calcule as razões trigonométricas do ângulo A, oposto ao cateto de 9 cm.

Resolução:

  1. Hipotenusa = √(81 + 144) = √225 = 15 cm.
  2. Para A: oposto = 9, adjacente = 12.
  3. sen A = 9/15 = 3/5; cos A = 12/15 = 4/5; tan A = 9/12 = 3/4.

Resposta: sen A = 0,6; cos A = 0,8; tan A = 0,75. Verificação: 0,36 + 0,64 = 1.

Exemplo 2 — A partir de uma razão

Enunciado: Sabe-se que α é agudo e cos α = 5/13. Calcule sen α e tan α.

Resolução:

  1. cos α = 5/13: adjacente 5, hipotenusa 13.
  2. Oposto = √(132 − 52) = √(169 − 25) = √144 = 12.
  3. sen α = 12/13 e tan α = 12/5.

Resposta: sen α = 12/13 e tan α = 12/5 = 2,4. Verificação: tan α = sen α ÷ cos α = (12/13) ÷ (5/13) = 12/5.

Exemplo 3 — Tangente conhecida, com raiz

Enunciado: Se tan β = 2 e β é agudo, calcule sen β e cos β, racionalizando os denominadores.

Resolução:

  1. tan β = 2 = 2/1: oposto 2, adjacente 1.
  2. Hipotenusa = √(4 + 1) = √5.
  3. sen β = 2/√5 = 2√5/5; cos β = 1/√5 = √5/5.

Resposta: sen β = 2√5/5 ≈ 0,894 e cos β = √5/5 ≈ 0,447. Verificação: (4 × 5)/25 + 5/25 = 20/25 + 5/25 = 1.

Exemplo 4 — Nível de exame: ângulos complementares

Enunciado: Sem calculadora, calcule o valor de E = sen 20° − cos 70° + tan 45° × sen 30°.

Resolução:

  1. Como 20° + 70° = 90°, sen 20° = cos 70°, logo sen 20° − cos 70° = 0.
  2. tan 45° = 1 e sen 30° = 1/2, portanto o produto é 1/2.
  3. E = 0 + 1/2.

Resposta: E = 1/2.

Exemplo 5 — Com a calculadora

Enunciado: Calcule sen 40°, cos 40° e tan 40° com duas casas decimais e confirme a relação tan = sen/cos.

Resolução:

  1. Em modo DEG: sen 40° ≈ 0,643; cos 40° ≈ 0,766; tan 40° ≈ 0,839.
  2. sen ÷ cos = 0,643 ÷ 0,766 ≈ 0,839.

Resposta: sen 40° ≈ 0,64; cos 40° ≈ 0,77; tan 40° ≈ 0,84.

Erros frequentes

  • Calcular com a calculadora em radianos. Para 30° em modo RAD, sen não dá 0,5. Confirme o modo antes de começar.
  • Esquecer de simplificar ou de racionalizar quando o enunciado o pede: 2/√5 e 2√5/5 são iguais, mas só a segunda é a forma pedida.
  • Obter a hipotenusa somando em vez de usar Pitágoras: a hipotenusa é √(a2 + b2), não a + b.
  • Usar o cateto errado como adjacente quando muda de ângulo. Refaça a identificação cada vez que mudar de ângulo.
  • Dar a raiz negativa ao calcular cos a partir de sen em ângulos agudos. Em ângulos agudos, todas as razões são positivas.
  • Arredondar valores intermédios, o que acumula erro no resultado final.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Num triângulo retângulo, os catetos medem 5 e 12. Calcule as três razões do ângulo oposto ao cateto de 5.

Ver solução

Hipotenusa = 13. sen = 5/13; cos = 12/13; tan = 5/12.

2Exercício 2

Se sen A = 4/5 e A é agudo, calcule cos A e tan A.

Ver solução

Oposto 4, hipotenusa 5, adjacente = √(25 − 16) = 3. cos A = 3/5 e tan A = 4/3.

3Exercício 3

Calcule o valor exato de sen 60° × cos 30° − tan 45°.

Ver solução

(√3/2) × (√3/2) = 3/4. Então 3/4 − 1 = −1/4.

4Exercício 4

Mostre que, para qualquer ângulo agudo, (sen α + cos α)2 = 1 + 2 sen α cos α.

Ver dica

Desenvolva o quadrado e use sen2 + cos2 = 1.

Ver solução

(sen α + cos α)2 = sen2 α + 2 sen α cos α + cos2 α = (sen2 α + cos2 α) + 2 sen α cos α = 1 + 2 sen α cos α.

5Exercício 5

Sabendo que tan γ = 3/4 (γ agudo), calcule sen γ, cos γ e o valor de 2 sen γ − cos γ.

Ver solução

Oposto 3, adjacente 4, hipotenusa 5. sen γ = 3/5, cos γ = 4/5. Então 2 × 3/5 − 4/5 = 6/5 − 4/5 = 2/5.

Perguntas frequentes

Quando se usa este método?

Sempre que o problema dá lados de um triângulo retângulo ou uma razão trigonométrica e pede as restantes. É a base para resolver triângulos e problemas de alturas e distâncias.

Existe um método mais rápido?

Com uma razão conhecida, desenhar um triângulo com os lados pedidos é mais rápido (e menos propenso a erros) do que manipular fórmulas. Com os ângulos notáveis, decorar a tabela poupa tempo.

Que erros são mais comuns?

Calculadora em radianos, troca de oposto e adjacente e erros ao simplificar raízes. Veja a lista de erros acima.

Como sei se o resultado está certo?

Confirme que sen2 + cos2 = 1, que sen e cos estão entre 0 e 1 e que tan = sen ÷ cos.

Resumo

  • Identifique o ângulo, depois nomeie os lados: oposto, adjacente, hipotenusa.
  • Com dois lados, use Pitágoras para obter o terceiro.
  • Com uma razão, construa o triângulo correspondente e leia as outras.
  • Para 30°, 45° e 60° use valores exatos; para os restantes, calculadora em DEG.
  • Verifique sempre com sen2 + cos2 = 1.

Onde aprofundar

  • O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
  • O manual aberto OpenStax Precalculus (em inglês), secção sobre ângulos agudos e razões.
  • Os exercícios de trigonometria dos exames de anos anteriores, disponibilizados pela sua escola.

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