Matemática · 9.ª–12.ª classe

Como resolver equações trigonométricas?

  • 8 min de leitura
  • 4 exemplos resolvidos
  • 5 exercícios com solução
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Resposta curta

Para resolver uma equação trigonométrica, isole a função (sen x, cos x ou tg x), escreva o valor como a mesma função de um ângulo conhecido e aplique a fórmula geral: x = α + 2kπ ou x = π − α + 2kπ para o seno; x = ± α + 2kπ para o cosseno; x = α + kπ para a tangente. Depois, escolha as soluções do intervalo pedido.

Quando se aplica

Uma equação é trigonométrica quando a incógnita aparece dentro de seno, cosseno ou tangente, como 2 sen x = 1. Ao contrário das equações algébricas, costuma ter infinitas soluções, porque as funções são periódicas. Por isso, o enunciado indica muitas vezes um intervalo, como [0, 2π], e pede só as soluções aí contidas.

Valores notáveis

x0π/6π/4π/3π/2
sen x01/2√2/2√3/21
cos x1√3/2√2/21/20
tg x0√3/31√3não existe

Fórmulas gerais (k é um número inteiro)

sen x = sen α ⟺ x = α + 2kπ ou x = π − α + 2kπ cos x = cos α ⟺ x = α + 2kπ ou x = − α + 2kπ tg x = tg α ⟺ x = α + kπ

Método passo a passo

  1. Isole a função trigonométrica: passe os termos para o outro lado até ter sen x = k, cos x = k ou tg x = k.
  2. Verifique se é possível. Sendo −1 ≤ sen x ≤ 1 e −1 ≤ cos x ≤ 1, as equações sen x = 2 ou cos x = −1,5 são impossíveis.
  3. Encontre o ângulo de referência α, o ângulo agudo com o mesmo valor absoluto (pela tabela de valores notáveis).
  4. Use o sinal para saber os quadrantes: seno positivo é 1.º e 2.º quadrantes; cosseno positivo é 1.º e 4.º; tangente positiva é 1.º e 3.º. Para sinal negativo, os outros dois.
  5. Escreva a solução geral com a fórmula adequada e +2kπ ou +kπ.
  6. Selecione as soluções do intervalo: substitua k = 0, 1, −1, … e fique com as que pertencem ao intervalo pedido.
  7. Se a equação for do 2.º grau em sen x ou cos x, faça uma substituição t = sen x (ou cos x), resolva em t, rejeite valores fora de [−1, 1] e resolva depois cada equação simples.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Seno com valor notável

Enunciado: Resolva sen x = 1/2 no intervalo [0, 2π].

Resolução:

  1. Como sen π/6 = 1/2, o ângulo de referência é π/6.
  2. Seno positivo: 1.º e 2.º quadrantes.
  3. Soluções: x = π/6 e x = π − π/6 = 5π/6.

Resposta: x = π/6 ou x = 5π/6. Verificação: sen 5π/6 = sen π/6 = 1/2.

Exemplo 2 — Cosseno negativo

Enunciado: Resolva cos x = −√2/2 em [0, 2π].

Resolução:

  1. Como cos π/4 = √2/2, o ângulo de referência é π/4.
  2. Cosseno negativo: 2.º e 3.º quadrantes.
  3. 2.º quadrante: π − π/4 = 3π/4. 3.º quadrante: π + π/4 = 5π/4.

Resposta: x = 3π/4 ou x = 5π/4.

Exemplo 3 — Solução geral

Enunciado: Resolva 2 sen x − √3 = 0 em R (todas as soluções reais).

Resolução:

  1. Isole: 2 sen x = √3, logo sen x = √3/2.
  2. Como sen π/3 = √3/2, aplica-se a fórmula com α = π/3.
  3. x = π/3 + 2kπ ou x = π − π/3 + 2kπ = 2π/3 + 2kπ, com k inteiro.

Resposta: x = π/3 + 2kπ ou x = 2π/3 + 2kπ, k ∈ Z. Verificação: com k = 0, sen 2π/3 = √3/2 e 2 × √3/2 − √3 = 0.

Exemplo 4 — Nível de exame: equação do 2.º grau

Enunciado: Resolva 2 cos2 x − cos x − 1 = 0 em [0, 2π].

Resolução:

  1. Seja t = cos x. A equação fica 2t2 − t − 1 = 0.
  2. Fórmula resolvente: t = (1 ± √(1 + 8)) ÷ 4 = (1 ± 3) ÷ 4, logo t = 1 ou t = −1/2.
  3. Ambos estão em [−1, 1]; nenhum se rejeita.
  4. cos x = 1: x = 0 ou x = 2π, no intervalo.
  5. cos x = −1/2: referência π/3, cosseno negativo, logo x = 2π/3 ou x = 4π/3.

Resposta: x ∈ {0, 2π/3, 4π/3, 2π}. Verificação: para x = 2π/3, 2 × (1/4) + 1/2 − 1 = 0.

Erros frequentes

  • Dar só uma solução. Quase todas as equações de seno e cosseno têm duas soluções por volta; a segunda vem do outro quadrante.
  • Esquecer o 2kπ (ou kπ) quando o enunciado pede a solução geral em R.
  • Dividir por sen x ou por cos x dos dois lados e perder soluções. Prefira pôr em evidência e igualar a zero cada fator.
  • Não rejeitar valores impossíveis: se t = sen x der 2 ou −3, não há solução para essa parte.
  • Usar os valores errados da tabela (por exemplo, sen π/3 = 1/2). Reveja a tabela de valores notáveis.
  • Misturar graus e radianos na mesma resposta. Se o enunciado está em radianos, responda em radianos.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Resolva cos x = 1/2 em [0, 2π].

Ver solução

Referência: π/3. Cosseno positivo: 1.º e 4.º quadrantes. Soluções: x = π/3 ou x = 2π − π/3 = 5π/3.

2Exercício 2

Resolva tg x = 1 em [0, 2π] e dê também a solução geral.

Ver solução

tg π/4 = 1, logo x = π/4 + kπ (solução geral). Em [0, 2π]: k = 0 dá π/4 e k = 1 dá 5π/4.

3Exercício 3

Resolva 2 sen x + 1 = 0 em [0, 2π].

Ver solução

sen x = −1/2. Referência π/6; seno negativo: 3.º e 4.º quadrantes. x = π + π/6 = 7π/6 ou x = 2π − π/6 = 11π/6.

4Exercício 4

Resolva sen x (2 cos x − 1) = 0 em [0, 2π].

Ver dica

Um produto é zero quando um dos fatores é zero.

Ver solução

Ou sen x = 0, com x = 0, π, 2π; ou 2 cos x − 1 = 0, ou seja cos x = 1/2, com x = π/3 ou 5π/3. Conjunto solução: {0, π/3, π, 5π/3, 2π}.

5Exercício 5

Resolva 2 sen2 x + sen x − 1 = 0 em [0, 2π].

Ver dica

Faça t = sen x e resolva a equação do 2.º grau.

Ver solução

2t2 + t − 1 = 0 dá t = (−1 ± 3) ÷ 4, ou seja t = 1/2 ou t = −1. Se sen x = 1/2, então x = π/6 ou 5π/6. Se sen x = −1, então x = 3π/2. Verificação: para t = −1, 2 − 1 − 1 = 0.

Perguntas frequentes

Porque é que há infinitas soluções?

Porque seno e cosseno se repetem a cada volta de 2π, e a tangente a cada π. Se x é solução, x + 2π também é. Por isso se escreve a solução geral com k inteiro e se restringe ao intervalo quando o enunciado o pede.

Como sei em que quadrantes procurar?

Pelo sinal do valor: seno é positivo em cima do eixo dos xx (1.º e 2.º quadrantes), cosseno é positivo à direita do eixo dos yy (1.º e 4.º) e a tangente é positiva quando seno e cosseno têm o mesmo sinal (1.º e 3.º).

Posso usar a calculadora?

Sim, mas a tecla sen-1 só devolve uma solução (a do intervalo principal, entre −90° e 90° para o seno). A outra tem de ser obtida com a fórmula geral, por isso entenda primeiro o método.

O que fazer quando a equação tem seno e cosseno juntos?

Tente pôr em evidência, ou use sen2 x + cos2 x = 1 para ficar só com uma função, ou divida por cos x para obter tg x (verificando antes se cos x = 0 também é solução).

Resumo

  • Reduza a equação a sen x = k, cos x = k ou tg x = k e confirme que k é possível.
  • Use o ângulo de referência da tabela e o sinal para escolher os quadrantes.
  • Seno: x = α + 2kπ ou π − α + 2kπ; cosseno: x = ± α + 2kπ; tangente: x = α + kπ.
  • Equações do 2.º grau resolvem-se com a substituição t = sen x ou t = cos x, rejeitando |t| > 1.
  • Termine selecionando as soluções do intervalo pedido, em radianos ou graus conforme o enunciado.

Onde aprofundar

  • O manual de Matemática da 11.ª ou 12.ª classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
  • A obra Fundamentos de Matemática Elementar, volume de Trigonometria (Gelson Iezzi e outros).
  • O manual aberto OpenStax Algebra and Trigonometry (em inglês), capítulo sobre equações trigonométricas.

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