Matemática · 9.ª–12.ª classe

Como converter graus em radianos e radianos em graus?

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  • 4 exemplos resolvidos
  • 5 exercícios com solução
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Resposta curta

A conversão assenta em π rad = 180°. Para passar de graus para radianos, multiplique por π/180. Para passar de radianos para graus, multiplique por 180/π. Por exemplo, 90° = 90 × π/180 = π/2 rad e π/3 rad = π/3 × 180/π = 60°.

Quando se aplica

Os ângulos podem medir-se em graus ou em radianos. Nos primeiros anos de geometria usam-se graus; quando se estuda a circunferência trigonométrica, as funções seno e cosseno como funções de uma variável real, os gráficos e o comprimento de arcos, o radiano passa a ser a unidade natural. Por isso, muitos problemas dão o ângulo numa unidade e pedem-no na outra.

O que é um radiano

Um radiano é a amplitude do ângulo ao centro que numa circunferência determina um arco com o mesmo comprimento do raio. Como o perímetro de uma circunferência é 2πr, a volta completa corresponde a 2π radianos, ou seja, 360°. Daqui vem a equivalência fundamental, metade da volta:

Equivalência e conversões

π rad = 180° graus → radianos: multiplicar por π ÷ 180 radianos → graus: multiplicar por 180 ÷ π

Valores que convém conhecer

Graus0°30°45°60°90°180°270°360°
Radianos0π/6π/4π/3π/2π3π/22π

Método passo a passo

  1. Identifique a unidade de partida. Se o ângulo tem o símbolo °, está em graus; se tem π ou a palavra rad, está em radianos.
  2. Escolha o fator. De graus para radianos: π/180. De radianos para graus: 180/π.
  3. Multiplique e escreva o resultado.
  4. Simplifique a fração. Divida o numerador e o denominador pelo seu maior divisor comum (por exemplo, 225/180 = 5/4).
  5. Se o ângulo vier sem π, por exemplo 2 rad, o resultado em graus precisa de uma aproximação decimal, usando π ≈ 3,14159.
  6. Verifique: o valor em radianos de um ângulo é cerca de 57 vezes menor do que em graus, porque 1 rad ≈ 57,3°.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — De graus para radianos

Enunciado: Exprima 90° e 225° em radianos.

Resolução:

  1. 90° × π/180 = 90π/180 = π/2.
  2. 225° × π/180 = 225π/180. O maior divisor comum de 225 e 180 é 45, logo 225 ÷ 45 = 5 e 180 ÷ 45 = 4.

Resposta: 90° = π/2 rad e 225° = 5π/4 rad. Verificação: 5π/4 × 180/π = 5 × 45 = 225.

Exemplo 2 — De radianos para graus

Enunciado: Exprima π/6 rad e 3π/4 rad em graus.

Resolução:

  1. π/6 × 180/π = 180/6 = 30.
  2. 3π/4 × 180/π = 3 × 180/4 = 540/4 = 135.

Resposta: π/6 rad = 30° e 3π/4 rad = 135°.

Exemplo 3 — Radianos sem π

Enunciado: Um ângulo mede 2 rad. Qual é a sua amplitude em graus, aproximada às centésimas?

Resolução:

  1. 2 × 180/π = 360/π.
  2. Com π ≈ 3,14159, 360 ÷ 3,14159 ≈ 114,59.

Resposta: 2 rad ≈ 114,59°. Verificação: 1 rad ≈ 57,3° e 2 × 57,3 = 114,6.

Exemplo 4 — Nível de exame: comprimento de arco

Enunciado: Uma circunferência tem 12 cm de raio. Calcule o comprimento do arco correspondente a um ângulo ao centro de 150°.

Resolução:

  1. A fórmula do comprimento do arco, s = r × θ, exige θ em radianos.
  2. θ = 150 × π/180 = 150π/180 = 5π/6 rad (dividindo por 30).
  3. s = 12 × 5π/6 = 60π/6 = 10π cm.
  4. Com π ≈ 3,14, s ≈ 31,4 cm.

Resposta: o arco mede 10π cm ≈ 31,4 cm. Verificação: 150° é 150/360 = 5/12 da volta, e o perímetro é 2π × 12 = 24π, com 5/12 × 24π = 10π.

Erros frequentes

  • Usar o fator ao contrário. Se obtiver, para 60°, um número enorme como 10 800/π, trocou o fator. Lembre-se de que os radianos têm π, e que os graus de um ângulo pequeno dão radianos pequenos.
  • Escrever 180° = 2π. Está incorreto: 180° = π rad e 360° = 2π rad.
  • Não simplificar a fração (deixar 150π/180 em vez de 5π/6) ou simplificar mal, dividindo só o numerador.
  • Calculadora no modo errado. Se calcular sen(30) com a calculadora em radianos, obtém −0,988 em vez de 0,5. Confirme sempre DEG ou RAD.
  • Tratar o radiano como se fosse uma unidade de grau, e acrescentar o símbolo ° a um valor em radianos, como em π/2°.
  • Substituir π por 3 ou por 3,1 cedo demais e perder a precisão. Mantenha π na resposta exata e só aproxime no fim.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Converta 45° em radianos.

Ver solução

45 × π/180 = 45π/180 = π/4 rad.

2Exercício 2

Converta 300° em radianos.

Ver solução

300π/180 = 5π/3 (dividindo por 60). Resposta: 5π/3 rad.

3Exercício 3

Converta 7π/6 rad em graus.

Ver solução

7π/6 × 180/π = 7 × 180/6 = 7 × 30 = 210°.

4Exercício 4

Um ângulo mede 3 rad. Calcule a sua amplitude em graus, com duas casas decimais.

Ver dica

Aqui não há π no ângulo. Multiplique por 180/π e use π ≈ 3,14159.

Ver solução

3 × 180/π = 540/π ≈ 540 ÷ 3,14159 ≈ 171,89°.

5Exercício 5

Uma roda de um trator tem 3 m de raio. Quando roda 240°, que distância percorre um ponto da periferia ao longo do arco?

Ver dica

Converta 240° para radianos e aplique s = r × θ.

Ver solução

240° = 240π/180 = 4π/3 rad. s = 3 × 4π/3 = 4π m ≈ 12,57 m. Verificação: 240/360 = 2/3 da volta, perímetro 6π, e 2/3 × 6π = 4π.

Perguntas frequentes

Porque se usam radianos em vez de graus?

Porque tornam as fórmulas mais simples. O comprimento de um arco é s = r × θ sem fator extra, e na análise matemática as derivadas de seno e cosseno só têm a forma simples quando o ângulo está em radianos.

O radiano tem unidade?

É a razão entre dois comprimentos (arco ÷ raio), por isso é adimensional. Escreve-se rad por clareza, mas pode omitir-se quando se percebe pelo contexto, como em sen(π/2) = 1.

Quantos graus tem um radiano?

Tem 180/π graus, ou seja, aproximadamente 57,3°. Não é um número inteiro, porque o radiano está ligado ao raio e não à divisão da volta em 360 partes.

Como converto rapidamente de cabeça?

Memorize 180° = π e divida. Para 30°: 180 ÷ 6, logo π/6. Para 120°: 180 × 2/3, logo 2π/3. Com os ângulos notáveis da tabela, quase nunca precisa da calculadora.

Resumo

  • π rad = 180° e a volta completa é 2π rad = 360°.
  • Graus para radianos: multiplicar por π/180; radianos para graus: multiplicar por 180/π.
  • Simplifique sempre a fração que resulta da conversão.
  • Um radiano ≈ 57,3°, o ângulo cujo arco tem o comprimento do raio.
  • Para s = r × θ, o ângulo tem de estar em radianos.
  • Confirme o modo da calculadora (graus ou radianos) antes de calcular senos e cossenos.

Onde aprofundar

  • O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
  • A obra Fundamentos de Matemática Elementar, volume de Trigonometria (Gelson Iezzi e outros).
  • O manual aberto OpenStax Algebra and Trigonometry (em inglês), capítulo sobre ângulos e medidas em radianos.

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