Matemática · 9.ª–12.ª classe
O que é o seno, o cosseno e a tangente num triângulo retângulo?
Resposta curta
Num triângulo retângulo, o seno de um ângulo agudo é o quociente entre o cateto oposto e a hipotenusa; o cosseno é o quociente entre o cateto adjacente e a hipotenusa; a tangente é o quociente entre o cateto oposto e o cateto adjacente. São razões entre lados e dependem apenas do ângulo, não do tamanho do triângulo.
Definição e características
Considere um triângulo retângulo e escolha um dos ângulos agudos, a que chamaremos α. Os lados recebem nomes em relação a esse ângulo:
- hipotenusa: o lado maior, oposto ao ângulo reto;
- cateto oposto: o cateto que está do lado contrário a α;
- cateto adjacente: o cateto que toca em α (além da hipotenusa).
Razões trigonométricas
sen α = cateto oposto ÷ hipotenusa cos α = cateto adjacente ÷ hipotenusa tan α = cateto oposto ÷ cateto adjacente
Uma forma de decorar é a regra SOH-CAH-TOA: Seno = Oposto/Hipotenusa, Cosseno = Adjacente/Hipotenusa, Tangente = Oposto/Adjacente.
Porque só dependem do ângulo
Se ampliar ou reduzir um triângulo mantendo os ângulos, os lados mudam todos na mesma proporção (triângulos semelhantes). Logo os quocientes não mudam. Por isso podemos associar a cada ângulo agudo um valor fixo de seno, cosseno e tangente.
Propriedades que convém conhecer
- Como a hipotenusa é o maior lado, sen α e cos α estão sempre entre 0 e 1 num ângulo agudo.
- tan α = sen α ÷ cos α.
- sen2 α + cos2 α = 1 (resulta do teorema de Pitágoras).
- Os dois ângulos agudos são complementares (somam 90°) e sen α = cos(90° − α).
Valores notáveis
| Ângulo | sen | cos | tan |
|---|---|---|---|
| 30° | 1/2 | √3/2 | √3/3 |
| 45° | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 |
Exemplos do quotidiano
Estas razões servem para medir o que não se consegue medir diretamente: a altura de um prédio em Luanda a partir da sombra, a inclinação de uma rampa de acesso, o comprimento de um cabo que prende um poste. Basta um ângulo e um comprimento.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Triângulo 3, 4, 5
Enunciado: Um triângulo retângulo tem catetos de 3 cm e 4 cm. Calcule o seno, o cosseno e a tangente do ângulo A, oposto ao cateto de 3 cm.
Resolução:
- Hipotenusa: √(32 + 42) = √25 = 5 cm.
- Cateto oposto a A: 3. Cateto adjacente: 4.
- sen A = 3/5, cos A = 4/5, tan A = 3/4.
Resposta: sen A = 0,6; cos A = 0,8; tan A = 0,75. Verificação: sen2 A + cos2 A = 9/25 + 16/25 = 1.
Exemplo 2 — Triângulo 5, 12, 13
Enunciado: Num triângulo retângulo de catetos 5 e 12 e hipotenusa 13, calcule sen B e cos B, em que B é o ângulo oposto ao cateto de 12.
Resolução:
- Para B, o cateto oposto é 12 e o adjacente é 5.
- sen B = 12/13 e cos B = 5/13.
- tan B = 12/5.
Resposta: sen B = 12/13, cos B = 5/13, tan B = 12/5. Verificação: 144/169 + 25/169 = 169/169 = 1.
Exemplo 3 — A escada
Enunciado: Uma escada de 5 m está encostada a uma parede e forma 60° com o chão. A que altura toca na parede? A que distância da parede está o pé da escada?
Resolução:
- A escada é a hipotenusa (5 m). A altura é o cateto oposto ao ângulo de 60°; a distância ao chão é o cateto adjacente.
- Altura = 5 × sen 60° = 5 × √3/2 ≈ 5 × 0,866 = 4,33 m.
- Distância = 5 × cos 60° = 5 × 1/2 = 2,5 m.
Resposta: toca a cerca de 4,33 m de altura e o pé está a 2,5 m da parede. Verificação: 4,332 + 2,52 ≈ 18,75 + 6,25 = 25 = 52.
Exemplo 4 — A sombra do poste
Enunciado: Um poste vertical projeta no chão uma sombra de 6 m quando os raios solares fazem 45° com o chão. Qual é a altura do poste?
Resolução:
- O poste é o cateto oposto ao ângulo de 45°; a sombra é o cateto adjacente.
- tan 45° = altura ÷ 6.
- Como tan 45° = 1, altura = 6 × 1 = 6 m.
Resposta: o poste tem 6 m. Verificação: com 45° os dois catetos são iguais, porque o triângulo é isósceles.
Erros frequentes
- Trocar cateto oposto e adjacente. Eles dependem do ângulo escolhido: para o outro ângulo agudo os papéis trocam. Marque sempre o ângulo primeiro.
- Dividir pelo cateto em vez de pela hipotenusa no seno e no cosseno. A hipotenusa está no denominador de ambos.
- Obter seno ou cosseno maior que 1. Se acontecer, inverteu a fração: a hipotenusa é o maior lado.
- Aplicar as razões a triângulos que não têm ângulo reto. Para esses, usam-se outros métodos (lei dos senos e dos cossenos, nas classes finais).
- Pensar que sen α aumenta com o tamanho do triângulo. É uma razão: depende só do ângulo.
- Calculadora em modo errado. Para ângulos em graus, ponha-a em DEG.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Um triângulo retângulo tem catetos 6 e 8. Calcule sen, cos e tan do ângulo oposto ao cateto de 6.
Ver solução
Hipotenusa = √(36 + 64) = 10. sen = 6/10 = 0,6; cos = 8/10 = 0,8; tan = 6/8 = 0,75.
2Exercício 2
Num triângulo retângulo, sen α = 5/13. Qual é o valor de cos α?
Ver dica
Use sen2 α + cos2 α = 1, ou imagine catetos 5 e 12.
Ver solução
cos2 α = 1 − 25/169 = 144/169, logo cos α = 12/13 (positivo, pois α é agudo).
3Exercício 3
Calcule sen 30° + cos 60° e sen2 45° + cos2 45°.
Ver solução
sen 30° + cos 60° = 1/2 + 1/2 = 1. sen2 45° + cos2 45° = 1/2 + 1/2 = 1, pois (√2/2)2 = 2/4 = 1/2.
4Exercício 4
Um papagaio de papel está preso por um fio de 40 m esticado que faz 30° com o chão. A que altura está o papagaio (ignore a altura da mão)?
Ver solução
O fio é a hipotenusa; a altura é o cateto oposto. Altura = 40 × sen 30° = 40 × 1/2 = 20 m.
5Exercício 5
Num triângulo retângulo, tan α = 3/4 e o cateto adjacente mede 12 cm. Calcule o cateto oposto, a hipotenusa e sen α.
Ver solução
Cateto oposto = 12 × 3/4 = 9 cm. Hipotenusa = √(81 + 144) = √225 = 15 cm. sen α = 9/15 = 3/5 = 0,6.
Perguntas frequentes
Qual é a diferença entre seno, cosseno e tangente?
Todas comparam lados do mesmo triângulo, mas lados diferentes. O seno e o cosseno comparam um cateto com a hipotenusa; a tangente compara os dois catetos entre si.
Para que servem na prática?
Para calcular distâncias e alturas inacessíveis, como a largura de um rio, a altura de uma torre ou a inclinação de um telhado, a partir de um ângulo e de uma medida conhecida.
Porque é que o seno de um ângulo agudo nunca passa de 1?
Porque o cateto é sempre menor do que a hipotenusa. Uma fração com numerador menor que o denominador é menor que 1.
Como memorizar os valores de 30°, 45° e 60°?
Decore a tabela pela lógica: o seno cresce de 30° para 60° (1/2, √2/2, √3/2) e o cosseno faz o inverso. A tangente de 45° é 1.
Resumo
- sen = oposto ÷ hipotenusa; cos = adjacente ÷ hipotenusa; tan = oposto ÷ adjacente.
- «Oposto» e «adjacente» dependem do ângulo escolhido.
- Para ângulos agudos, sen e cos ficam entre 0 e 1.
- tan α = sen α ÷ cos α e sen2 α + cos2 α = 1.
- Valores de 30°, 45° e 60° aparecem constantemente em exames.
Onde aprofundar
- O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
- O manual aberto OpenStax Precalculus (em inglês), capítulo sobre trigonometria de triângulos retângulos.
- As Aprendizagens Essenciais de Matemática de Portugal, se estudar com materiais portugueses.
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