Matemática · 9.ª–12.ª classe
Como resolver triângulos retângulos?
Resposta curta
Resolver um triângulo retângulo é calcular todos os lados e todos os ângulos a partir dos dados conhecidos. Use o teorema de Pitágoras para lados, as razões seno, cosseno e tangente para ligar lados e ângulos agudos, e lembre-se de que os dois ângulos agudos somam 90°.
Quando se aplica
O método serve para qualquer triângulo com um ângulo reto (90°). Para o resolver, precisa de conhecer pelo menos dois elementos além do ângulo reto, e um deles tem de ser um lado: dois lados, ou um lado e um ângulo agudo. Só com os dois ângulos agudos não é possível: há infinitos triângulos semelhantes com esses ângulos, de tamanhos diferentes.
Os nomes dos lados
Num triângulo retângulo, a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto e é sempre o maior. Os outros dois são os catetos. Em relação a um ângulo agudo escolhido, α:
- o cateto oposto é o que está em frente a α;
- o cateto adjacente é o que forma α com a hipotenusa.
O mesmo cateto é oposto para um ângulo e adjacente para o outro, por isso identifique sempre primeiro o ângulo de referência.
Ferramentas para resolver
Pitágoras: c2 = a2 + b2 (c é a hipotenusa) sen α = oposto ÷ hipotenusa cos α = adjacente ÷ hipotenusa tg α = oposto ÷ adjacente Ângulos agudos: α + β = 90°
Método passo a passo
- Desenhe o triângulo e escreva os dados e as incógnitas. Marque o ângulo reto e a hipotenusa.
- Calcule o ângulo que falta, se possível: se conhece um ângulo agudo α, o outro é β = 90° − α.
- Escolha a razão certa. Veja que dois elementos entram na relação: o que conhece e o que procura. Se são oposto e hipotenusa, use o seno; adjacente e hipotenusa, o cosseno; oposto e adjacente, a tangente.
- Escreva a equação e isole a incógnita. Se a incógnita é um lado, é uma multiplicação ou divisão; se é um ângulo, use a função inversa (sen-1, cos-1 ou tg-1) na calculadora.
- Calcule o terceiro lado com Pitágoras (ou com outra razão) quando só tiver um lado calculado.
- Verifique: a hipotenusa é maior do que cada cateto, e c2 = a2 + b2 confirma-se com os valores obtidos. Confirme também que a calculadora está em graus.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Conhecidos os dois catetos
Enunciado: Num triângulo retângulo, os catetos medem 6 cm e 8 cm. Calcule a hipotenusa e os ângulos agudos.
Resolução:
- Hipotenusa: c2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100, logo c = 10 cm.
- Seja A o ângulo oposto ao cateto de 6 cm. Então tg A = 6 ÷ 8 = 0,75.
- A = tg-1(0,75) ≈ 36,9°.
- O outro ângulo: B = 90° − 36,9° = 53,1°.
Resposta: hipotenusa 10 cm; ângulos de aproximadamente 36,9° e 53,1°. Verificação: cos B = 6 ÷ 10 = 0,6 e cos 53,1° ≈ 0,6.
Exemplo 2 — Hipotenusa e ângulo
Enunciado: Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede 20 cm e um dos ângulos agudos mede 30°. Calcule os catetos e o outro ângulo.
Resolução:
- O outro ângulo agudo: 90° − 30° = 60°.
- Cateto oposto aos 30°: sen 30° = oposto ÷ 20, logo oposto = 20 × 0,5 = 10 cm.
- Cateto adjacente: cos 30° = adjacente ÷ 20, logo adjacente = 20 × 0,866 ≈ 17,32 cm.
Resposta: catetos de 10 cm e cerca de 17,32 cm; outro ângulo de 60°. Verificação: 102 + 17,322 ≈ 100 + 300 = 400 = 202.
Exemplo 3 — Cateto e ângulo
Enunciado: Um cateto adjacente a um ângulo de 40° mede 15 m. Calcule o outro cateto e a hipotenusa.
Resolução:
- Cateto oposto: tg 40° = oposto ÷ 15, logo oposto = 15 × tg 40° ≈ 15 × 0,8391 ≈ 12,59 m.
- Hipotenusa: cos 40° = 15 ÷ hipotenusa, logo hipotenusa = 15 ÷ cos 40° ≈ 15 ÷ 0,7660 ≈ 19,58 m.
Resposta: cateto oposto ≈ 12,59 m e hipotenusa ≈ 19,58 m. Verificação: a hipotenusa é maior do que os dois catetos, e √(152 + 12,592) = √(225 + 158,5) ≈ 19,58.
Exemplo 4 — Nível de exame: a escada
Enunciado: Uma escada de 5 m está encostada a um muro de uma casa em Huambo e forma 65° com o chão. A que altura do muro chega o topo da escada e a que distância da parede está o pé da escada?
Resolução:
- A escada é a hipotenusa (5 m). A altura é o cateto oposto ao ângulo de 65° com o chão.
- Altura: sen 65° = altura ÷ 5, logo altura = 5 × 0,9063 ≈ 4,53 m.
- Distância: cos 65° = distância ÷ 5, logo distância = 5 × 0,4226 ≈ 2,11 m.
Resposta: o topo chega a cerca de 4,53 m de altura e o pé está a cerca de 2,11 m da parede. Verificação: 4,532 + 2,112 ≈ 20,5 + 4,5 = 25 = 52.
Erros frequentes
- Trocar oposto e adjacente. Antes de escolher a razão, marque o ângulo de referência e pinte o cateto que está em frente dele.
- Aplicar Pitágoras com a hipotenusa no sítio errado. A hipotenusa fica sozinha de um lado: c2 = a2 + b2. Para calcular um cateto, subtraia: a2 = c2 − b2.
- Esquecer a raiz quadrada no fim: 62 + 82 = 100 não é a hipotenusa, é o seu quadrado.
- Calculadora em radianos quando os ângulos estão em graus. Confirme o modo DEG antes de começar.
- Usar a razão errada para a incógnita, por exemplo seno quando os dados são os dois catetos. Liste os dois lados envolvidos e escolha pelas iniciais: oposto/hipotenusa, adjacente/hipotenusa, oposto/adjacente.
- Arredondar cedo. Guarde valores com 4 casas até ao fim e arredonde só a resposta final.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Os catetos de um triângulo retângulo medem 5 cm e 12 cm. Calcule a hipotenusa e os dois ângulos agudos.
Ver dica
Comece por Pitágoras e depois use a tangente.
Ver solução
Hipotenusa: c2 = 25 + 144 = 169, logo c = 13 cm. Ângulo oposto ao cateto de 5: tg A = 5 ÷ 12 ≈ 0,4167, logo A ≈ 22,6°. O outro ângulo é 90° − 22,6° = 67,4°.
2Exercício 2
A hipotenusa mede 10 cm e um ângulo agudo mede 60°. Calcule os catetos.
Ver solução
Cateto oposto ao ângulo de 60°: 10 × sen 60° ≈ 10 × 0,866 = 8,66 cm. Cateto adjacente: 10 × cos 60° = 10 × 0,5 = 5 cm. Verificação: 8,662 + 52 ≈ 75 + 25 = 100.
3Exercício 3
O cateto oposto a um ângulo de 35° mede 7 m. Calcule o cateto adjacente e a hipotenusa.
Ver solução
Cateto adjacente: tg 35° = 7 ÷ adjacente, logo adjacente = 7 ÷ 0,7002 ≈ 10,00 m. Hipotenusa: sen 35° = 7 ÷ hipotenusa, logo hipotenusa = 7 ÷ 0,5736 ≈ 12,20 m.
4Exercício 4
Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede 17 cm e um cateto mede 8 cm. Calcule o outro cateto e os ângulos agudos.
Ver dica
Para o cateto use a2 = c2 − b2; para o ângulo oposto ao cateto de 8, use o seno.
Ver solução
Outro cateto: 172 − 82 = 289 − 64 = 225, logo 15 cm. Ângulo oposto ao cateto de 8: sen A = 8 ÷ 17 ≈ 0,4706, logo A ≈ 28,1°. O outro ângulo: 90° − 28,1° = 61,9°.
5Exercício 5
O Sol está a 50° acima do horizonte e um poste projeta no chão uma sombra de 12 m. Qual é a altura do poste?
Ver dica
O poste é o cateto oposto e a sombra é o cateto adjacente ao ângulo de 50°.
Ver solução
tg 50° = altura ÷ 12, logo altura = 12 × tg 50° ≈ 12 × 1,1918 ≈ 14,30 m.
Perguntas frequentes
Quantos dados são precisos para resolver um triângulo retângulo?
Além do ângulo reto, são precisos dois dados, sendo pelo menos um deles um lado. Dois lados, ou um lado e um ângulo agudo, chegam. Dois ângulos sozinhos só dão a forma do triângulo, não o tamanho.
Quando uso Pitágoras e quando uso trigonometria?
Use Pitágoras quando conhece dois lados e quer o terceiro. Use seno, cosseno ou tangente quando há um ângulo agudo envolvido, seja como dado seja como incógnita.
Posso usar a lei dos senos neste tipo de triângulo?
Pode, porque o ângulo reto tem seno igual a 1 e a lei fica equivalente à definição do seno. Mas as razões do triângulo retângulo são mais simples e é o que o seu programa pede neste ponto.
Como sei se a resposta é razoável?
A hipotenusa tem de ser o maior lado, o lado oposto ao maior ângulo agudo tem de ser o maior cateto e os dois ângulos agudos têm de somar 90°.
Resumo
- Resolver um triângulo retângulo é encontrar os três lados e os dois ângulos agudos.
- São necessários dois dados além do ângulo reto, dos quais pelo menos um é um lado.
- Ferramentas: Pitágoras, sen = oposto/hipotenusa, cos = adjacente/hipotenusa, tg = oposto/adjacente e α + β = 90°.
- Escolha a razão pelos dois lados envolvidos, a partir do ângulo de referência.
- Para obter um ângulo, use a função inversa na calculadora em modo graus.
- Verifique sempre com Pitágoras e com a regra de que a hipotenusa é o maior lado.
Onde aprofundar
- O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
- A obra Fundamentos de Matemática Elementar, volume de Trigonometria (Gelson Iezzi e outros), para mais exercícios.
- O manual aberto OpenStax Algebra and Trigonometry (em inglês), secção sobre triângulos retângulos.
Continue a estudar
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