Matemática · 7.ª–9.ª classe

Como comparar e ordenar números inteiros?

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  • 4 exemplos resolvidos
  • 5 exercícios com solução
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Resposta curta

Qualquer número positivo é maior do que zero e do que qualquer negativo. Entre dois positivos é maior o de maior valor absoluto; entre dois negativos é maior o de menor valor absoluto, isto é, o que está mais perto de zero: −2 > −7. Para ordenar vários números, marque-os na reta numérica, onde crescem da esquerda para a direita.

Quando se aplica

Compara-se e ordena-se números inteiros sempre que há quantidades que podem ser positivas ou negativas: temperaturas acima e abaixo de zero, altitudes e profundidades em relação ao nível do mar, saldos de conta (um saldo negativo é uma dívida), pontuações em jogos, andares de um edifício com caves.

Para o fazer bem, convém ter presentes quatro ideias:

  • Reta numérica. Os números inteiros estão alinhados, com o zero ao meio, os positivos à direita e os negativos à esquerda. Quanto mais à direita, maior é o número.
  • Valor absoluto. É a distância de um número ao zero, sem sinal. Escreve-se |−7| = 7 e |5| = 5. O valor absoluto nunca é negativo.
  • Simétrico. O simétrico de 4 é −4; o de −9 é 9. O simétrico de zero é zero.
  • Símbolos. > lê-se «maior que», < lê-se «menor que», ≥ «maior ou igual» e ≤ «menor ou igual». A abertura do símbolo fica virada para o número maior.

Regras de comparação

SituaçãoRegraExemplo
Positivo e negativoo positivo é maior3 > −8
Zero e positivoo positivo é maior5 > 0
Zero e negativoo zero é maior0 > −6
Dois positivosmaior valor absoluto9 > 4
Dois negativosmenor valor absoluto−3 > −10

A última linha é a que mais custa: −3 > −10 porque 3 está mais perto de zero do que 10, logo −3 fica mais à direita na reta.

Método passo a passo

  1. Simplifique cada número, se vier em forma de expressão: −(−2) = 2, |−6| = 6, −|3| = −3.
  2. Se são apenas dois números, use a tabela: veja se têm o mesmo sinal ou sinais diferentes.
  3. Se são vários, separe-os em três grupos: negativos, zero (se existir) e positivos.
  4. Ordene cada grupo. Nos positivos, o menor é o de menor valor absoluto. Nos negativos, o menor é o de maior valor absoluto (o mais «fundo»).
  5. Junte os grupos pela ordem pedida: crescente (do menor para o maior) é negativos, zero, positivos; decrescente é o inverso.
  6. Escreva com os símbolos < (crescente) ou > (decrescente) e verifique se não ficou nenhum número de fora.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Comparar pares

Enunciado: Compare, usando < ou >: (a) −3 e 5; (b) −8 e −2; (c) 0 e −4; (d) −15 e −150.

Resolução:

  1. (a) Sinais diferentes: o negativo é menor, logo −3 < 5.
  2. (b) Ambos negativos: |−8| = 8 e |−2| = 2. Tem menor valor o que tem maior valor absoluto: −8 < −2.
  3. (c) O zero é maior do que qualquer negativo: 0 > −4.
  4. (d) Ambos negativos: |−15| = 15 e |−150| = 150. O de menor valor absoluto é o maior: −15 > −150.

Resposta: (a) −3 < 5; (b) −8 < −2; (c) 0 > −4; (d) −15 > −150. Verificação: na reta numérica, −150 fica muito à esquerda de −15, e −8 fica à esquerda de −2.

Exemplo 2 — Ordem crescente

Enunciado: Ordene por ordem crescente: −5, 3, −1, 0, 7, −9.

Resolução:

  1. Negativos: −5, −1 e −9. O mais pequeno é o de maior valor absoluto: −9 < −5 < −1.
  2. Zero: 0.
  3. Positivos: 3 e 7, com 3 < 7.
  4. Juntando: negativos, zero, positivos.

Resposta: −9 < −5 < −1 < 0 < 3 < 7. Verificação: a lista inicial tinha 6 números e a final também tem 6.

Exemplo 3 — Saldos em kwanzas

Enunciado: Cinco amigos conferem os saldos: Maria −2 500 Kz, João 1 800 Kz, Ana −800 Kz, Pedro 0 Kz e Luísa −4 000 Kz. Ordene do saldo mais baixo ao mais alto e diga quem deve mais.

Resolução:

  1. Negativos: −2 500, −800 e −4 000. Pelo valor absoluto (2 500, 800 e 4 000), a ordem crescente é −4 000 < −2 500 < −800.
  2. Depois vêm o zero (Pedro) e o positivo (João).

Resposta: Luísa (−4 000) < Maria (−2 500) < Ana (−800) < Pedro (0) < João (1 800). Quem deve mais é a Luísa. Verificação: a Ana tem apenas 800 Kz de dívida, bem menos do que os 2 500 Kz da Maria; por isso −800 > −2 500, ainda que 800 seja menor do que 2 500.

Exemplo 4 — Nível de exame: expressões

Enunciado: Ordene por ordem decrescente: |−6|, −5, −(−2), −|3| e 0.

Resolução:

  1. Simplifique: |−6| = 6; −5 fica −5; −(−2) = 2; −|3| = −3; 0 fica 0.
  2. Os números são 6, −5, 2, −3 e 0. Positivos: 6 > 2. Zero. Negativos: −3 > −5, porque 3 está mais perto de zero do que 5.
  3. Ordem decrescente: positivos, zero, negativos.

Resposta: 6 > 2 > 0 > −3 > −5, isto é, |−6| > −(−2) > 0 > −|3| > −5. Verificação: cinco expressões à entrada, cinco à saída, e cada número é maior do que o seguinte.

Erros frequentes

  • Pensar que −9 é maior do que −2 porque 9 é maior do que 2. Nos negativos a ordem inverte-se: quanto maior o valor absoluto, menor é o número. Confirme com a reta ou com a ideia de dívida (dever 9 é pior do que dever 2).
  • Esquecer o zero ao ordenar. O zero fica entre o último negativo e o primeiro positivo.
  • Trocar crescente com decrescente. Crescente é do menor para o maior (da esquerda para a direita na reta); decrescente é o oposto.
  • Ordenar sem simplificar expressões como −(−2) ou −|3|. Calcule primeiro o valor de cada uma.
  • Ler o símbolo ao contrário. O lado aberto de > e < fica virado para o número maior.
  • Perder números pelo caminho, sobretudo repetidos ou com sinais. Conte os elementos no início e no fim.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Compare, usando < ou >: (a) −6 e −2; (b) 4 e −9; (c) 0 e −1; (d) −10 e −100.

Ver solução

(a) Ambos negativos, 6 > 2 em valor absoluto: −6 < −2. (b) Positivo contra negativo: 4 > −9. (c) 0 > −1. (d) 10 < 100 em valor absoluto: −10 > −100.

2Exercício 2

Ordene por ordem crescente: 8, −3, −12, 0, 5, −7.

Ver solução

Negativos: −12 < −7 < −3. Zero. Positivos: 5 < 8. Resultado: −12 < −7 < −3 < 0 < 5 < 8.

3Exercício 3

Três mergulhadores estão a −12 m, −7 m e −20 m em relação à superfície (0 m). Ordene-os do mais profundo para o menos profundo e indique qual está mais perto da superfície.

Ver dica

O mais profundo é o que tem o menor número.

Ver solução

Do mais profundo para o menos profundo: −20 m, −12 m, −7 m, isto é, −20 < −12 < −7. O mais perto da superfície é o que está a −7 m, que é o maior dos três.

4Exercício 4

Quantos números inteiros x verificam −3 ≤ x < 2? Indique-os, bem como o menor e o maior.

Ver dica

O símbolo ≤ inclui o extremo; o símbolo < não o inclui.

Ver solução

O −3 está incluído (≤) e o 2 está excluído (<). Os valores são −3, −2, −1, 0 e 1: 5 números inteiros. O menor é −3 e o maior é 1.

5Exercício 5

Ordene por ordem crescente: |−4|, −(−1), −|−6|, −2 e |0|.

Ver dica

Simplifique primeiro cada expressão.

Ver solução

Simplificando: |−4| = 4; −(−1) = 1; −|−6| = −6; −2; |0| = 0. Ordem crescente: −6 < −2 < 0 < 1 < 4, ou seja, −|−6| < −2 < |0| < −(−1) < |−4|.

Perguntas frequentes

O zero é positivo ou negativo?

Nem uma coisa nem outra. O zero separa os negativos dos positivos: é maior do que qualquer número negativo e menor do que qualquer número positivo. Por isso aparece sempre entre eles quando se ordena.

Porque é que −10 é menor do que −2, se 10 é maior do que 2?

Porque o sinal negativo indica que o número está à esquerda do zero, e quanto mais se afasta do zero para a esquerda, menor é o número. Em dinheiro, −10 Kz é uma dívida de 10 Kz, pior do que uma dívida de 2 Kz.

Existe um método mais rápido para ordenar muitos números?

Sim: separe-os em negativos, zero e positivos, ordene cada grupo e junte-os. Nos negativos ordene pelos valores absolutos e inverta: o de maior valor absoluto é o mais pequeno. Isto é mais rápido do que comparar todos os pares.

Como verificar se a ordenação está correta?

Confirme duas coisas: que o número de elementos é o mesmo no princípio e no fim, e que cada número é menor do que o seguinte (em ordem crescente). Pode ainda marcar os números numa reta e ver se aparecem da esquerda para a direita.

Resumo

  • Numa reta numérica, quanto mais à direita, maior é o número.
  • Positivo > zero > negativo, qualquer que seja o valor absoluto.
  • Entre dois positivos, ganha o maior valor absoluto; entre dois negativos, ganha o menor valor absoluto.
  • Para ordenar vários números: simplifique, separe em negativos, zero e positivos, ordene cada grupo e junte.
  • Crescente é do menor para o maior; decrescente é o inverso.

Onde aprofundar

  • O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
  • O manual aberto OpenStax Prealgebra (em inglês), no capítulo sobre números inteiros.
  • A Khan Academy, que tem lições sobre números negativos e a reta numérica disponíveis em português.

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