Matemática · 7.ª–9.ª classe
Como dividir números inteiros?
Resposta curta
Para dividir números inteiros, divida primeiro os valores absolutos (sem sinais) e depois aplique a regra dos sinais: sinais iguais dão quociente positivo; sinais diferentes dão quociente negativo. Por exemplo, (−24) ÷ (−6) = 4 e 24 ÷ (−6) = −4. A divisão por zero é impossível e 0 ÷ n = 0, desde que n ≠ 0.
Quando se aplica
Divide-se números inteiros quando é preciso repartir em partes iguais, descobrir «quantas vezes cabe» um valor noutro ou calcular uma taxa (por dia, por hora, por pessoa) em situações em que os valores podem ser negativos: dívidas, prejuízos, temperaturas, altitudes.
Pré-requisitos
- Saber a tabuada e dividir números naturais.
- Conhecer a regra dos sinais da multiplicação, porque a divisão é a operação inversa: se a ÷ b = q, então q × b = a.
- Saber o que é o valor absoluto (a distância de um número a zero): |−24| = 24.
A regra dos sinais na divisão
| Dividendo | Divisor | Quociente | Exemplo |
|---|---|---|---|
| + | + | + | 20 ÷ 5 = 4 |
| − | − | + | (−20) ÷ (−5) = 4 |
| + | − | − | 20 ÷ (−5) = −4 |
| − | + | − | (−20) ÷ 5 = −4 |
Casos especiais
- 0 ÷ n = 0, para qualquer n diferente de zero. Repartir zero por qualquer número de pessoas dá zero a cada uma.
- n ÷ 0 não tem resultado. Não existe nenhum número que, multiplicado por 0, dê 9; por isso 9 ÷ 0 é impossível.
- n ÷ 1 = n e n ÷ (−1) = −n: dividir por −1 apenas troca o sinal.
- A divisão de inteiros só dá outro inteiro quando é exata, isto é, quando o divisor «cabe» um número inteiro de vezes no dividendo. Caso contrário, o resultado é uma fração ou uma dízima: (−7) ÷ 2 = −3,5.
Método passo a passo
- Identifique o dividendo e o divisor e confirme que o divisor não é zero.
- Determine o sinal do quociente: iguais → positivo; diferentes → negativo.
- Divida os valores absolutos como faria com números naturais.
- Escreva o resultado com o sinal encontrado no passo 2.
- Verifique por multiplicação: quociente × divisor tem de dar o dividendo.
Se a expressão tiver várias operações, lembre-se de que a multiplicação e a divisão têm prioridade sobre a adição e a subtração, e que se efetuam da esquerda para a direita.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Os quatro casos de sinais
Enunciado: Calcule (a) 48 ÷ 6; (b) (−48) ÷ 6; (c) 48 ÷ (−6); (d) (−48) ÷ (−6).
Resolução:
- Em todos os casos, os valores absolutos são 48 e 6, e 48 ÷ 6 = 8.
- (a) Sinais iguais (+ e +): quociente positivo, +8.
- (b) Sinais diferentes (− e +): quociente negativo, −8.
- (c) Sinais diferentes (+ e −): quociente negativo, −8.
- (d) Sinais iguais (− e −): quociente positivo, +8.
Resposta: (a) 8; (b) −8; (c) −8; (d) 8. Verificação: 8 × 6 = 48; (−8) × 6 = −48; (−8) × (−6) = 48; 8 × (−6) = −48.
Exemplo 2 — Zero e os números 1 e −1
Enunciado: Calcule, se possível: (a) 0 ÷ (−9); (b) 9 ÷ 0; (c) (−15) ÷ 1; (d) (−15) ÷ (−1).
Resolução:
- (a) Zero a dividir por um número diferente de zero dá zero.
- (b) O divisor é zero: a operação é impossível.
- (c) Dividir por 1 não altera o número: −15.
- (d) Sinais iguais, valores absolutos 15 ÷ 1 = 15, logo +15.
Resposta: (a) 0; (b) impossível; (c) −15; (d) 15. Verificação: 0 × (−9) = 0; (−15) × 1 = −15; 15 × (−1) = −15.
Exemplo 3 — Prejuízo repartido por dias
Enunciado: Uma cantina escolar teve, em 5 dias seguidos, um prejuízo total de 45 000 kwanzas, sempre com o mesmo valor por dia. Qual foi a variação diária do saldo?
Resolução:
- Um prejuízo é uma variação negativa: variação total = −45 000 Kz.
- Variação diária = (−45 000) ÷ 5.
- Sinais diferentes: o quociente é negativo. Valores absolutos: 45 000 ÷ 5 = 9 000.
Resposta: a variação diária foi de −9 000 Kz (o saldo desceu 9 000 Kz por dia). Verificação: (−9 000) × 5 = −45 000.
Exemplo 4 — Nível de exame: expressão com várias divisões
Enunciado: Calcule (−72) ÷ 8 − 36 ÷ (−4) × 2 + (−20) ÷ (−5).
Resolução:
- Divisões e multiplicações primeiro, da esquerda para a direita:
- (−72) ÷ 8 = −9.
- 36 ÷ (−4) = −9 e depois (−9) × 2 = −18.
- (−20) ÷ (−5) = 4.
- A expressão fica −9 − (−18) + 4 = −9 + 18 + 4.
- −9 + 18 = 9 e 9 + 4 = 13.
Resposta: 13. Verificação: os termos positivos são 18 e 4 (soma 22) e o negativo é −9, e 22 + (−9) = 13.
Erros frequentes
- Dar quociente negativo a dois sinais negativos. Em (−12) ÷ (−4), os sinais são iguais, logo o resultado é +3. Não confunda com a soma, em que (−12) + (−4) = −16.
- Aplicar a regra da soma («fica o sinal do maior»). Na divisão não importa qual dos números é maior; só conta se os sinais são iguais ou diferentes.
- Dividir por zero. Se o divisor for zero, escreva «impossível»; se o dividendo for zero e o divisor não, o resultado é 0.
- Trocar dividendo e divisor. A divisão não é comutativa: 24 ÷ 6 = 4, mas 6 ÷ 24 = 0,25.
- Dividir só uma parcela do divisor. 12 ÷ (3 + 3) é 12 ÷ 6 = 2, e não 12 ÷ 3 + 12 ÷ 3 = 8. A divisão distribui-se sobre a soma do dividendo, não do divisor.
- Esquecer a ordem da esquerda para a direita. 24 ÷ 4 × 2 é 6 × 2 = 12, e não 24 ÷ 8 = 3.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Calcule: (a) 63 ÷ (−9); (b) (−81) ÷ (−9); (c) (−100) ÷ 25; (d) 0 ÷ (−7).
Ver solução
(a) Sinais diferentes: −7. (b) Sinais iguais: 9. (c) Sinais diferentes, 100 ÷ 25 = 4: −4. (d) 0.
2Exercício 2
Calcule (−120) ÷ 8 ÷ (−3).
Ver dica
Da esquerda para a direita, uma divisão de cada vez.
Ver solução
(−120) ÷ 8 = −15; depois (−15) ÷ (−3) = 5. Verificação: 5 × (−3) × 8 = (−15) × 8 = −120.
3Exercício 3
Determine x em cada caso: (a) x ÷ (−4) = 9; (b) 54 ÷ x = −6.
Ver dica
Use a operação inversa: dividendo = quociente × divisor.
Ver solução
(a) x = 9 × (−4) = −36. Verificação: (−36) ÷ (−4) = 9. (b) O divisor é x = 54 ÷ (−6) = −9. Verificação: 54 ÷ (−9) = −6.
4Exercício 4
Calcule a média das temperaturas −8 °C, 3 °C, −5 °C, 10 °C e −10 °C (some e divida pelo número de valores).
Ver solução
Soma: −8 + 3 + (−5) + 10 + (−10) = −10. Média = (−10) ÷ 5 = −2 °C. Verificação: 5 × (−2) = −10.
5Exercício 5
Calcule [(−48) ÷ 6 + 15 ÷ (−3)] ÷ (−13).
Ver solução
Dentro dos parênteses retos: (−48) ÷ 6 = −8 e 15 ÷ (−3) = −5, logo −8 + (−5) = −13. Depois (−13) ÷ (−13) = 1.
Perguntas frequentes
Porque é que um negativo a dividir por um negativo dá positivo?
Porque a divisão é a inversa da multiplicação. Se (−12) ÷ (−4) = q, então q × (−4) = −12. Só um q positivo dá um produto negativo quando multiplicado por −4, e q = 3 funciona: 3 × (−4) = −12.
O que acontece quando o divisor é zero?
Não há resultado. Se 9 ÷ 0 = q, teria de ser q × 0 = 9, o que é impossível, porque qualquer número vezes zero dá zero. Por isso, na prova ou no exame, escreva «impossível» ou «não definido».
Existe um método mais rápido para vários fatores?
Sim. Numa expressão só com multiplicações e divisões, conte os sinais negativos: se forem em número par, o resultado é positivo; se forem em número ímpar, é negativo. Depois calcule com os valores absolutos.
O resultado da divisão de dois inteiros é sempre um inteiro?
Não. (−20) ÷ 4 = −5 é inteiro, mas (−7) ÷ 2 = −3,5 não é. Quando a divisão não é exata, o resultado pertence aos números racionais e pode escrever-se como fração, −7/2, ou como decimal.
Resumo
- Sinais iguais → quociente positivo; sinais diferentes → quociente negativo.
- Divida os valores absolutos e depois escreva o sinal.
- 0 ÷ n = 0 (com n ≠ 0), mas n ÷ 0 é impossível.
- A divisão não é comutativa e, numa cadeia de operações, faz-se da esquerda para a direita.
- Verifique sempre: quociente × divisor = dividendo.
Onde aprofundar
- O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
- O manual aberto OpenStax Prealgebra (em inglês), no capítulo sobre números inteiros.
- A Khan Academy, que tem lições sobre multiplicação e divisão de números negativos disponíveis em português.
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