Matemática · 7.ª–9.ª classe

Como multiplicar números inteiros?

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  • 4 exemplos resolvidos
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Resposta curta

Multiplique primeiro os valores absolutos e depois decida o sinal: sinais iguais dão produto positivo e sinais diferentes dão produto negativo. Assim, (−4) × (−5) = 20, (−4) × 5 = −20 e 4 × (−5) = −20. Com vários fatores, conte os negativos: número par dá produto positivo, número ímpar dá negativo. Se um fator for zero, o produto é zero.

Quando se aplica

A multiplicação de inteiros aparece quando uma mesma quantidade, positiva ou negativa, se repete várias vezes: uma dívida que se repete por vários devedores, uma perda diária durante uma semana, uma temperatura que desce todas as horas, um elevador que desce o mesmo número de andares em cada viagem.

A regra dos sinais

×positivonegativo
positivopositivonegativo
negativonegativopositivo

Ou, em palavras: sinais iguais, resultado positivo; sinais diferentes, resultado negativo.

Porque é que (−) × (−) dá positivo

Veja o padrão, mantendo o segundo fator em −2 e fazendo o primeiro descer uma unidade de cada vez:

ContaResultado
3 × (−2)−6
2 × (−2)−4
1 × (−2)−2
0 × (−2)0
(−1) × (−2)2
(−2) × (−2)4

De linha para linha, o resultado sobe sempre 2. Para o padrão continuar, abaixo de zero os produtos têm de ser positivos. Outra forma de pensar: multiplicar por −1 troca o número pelo seu simétrico, e trocar duas vezes devolve o sinal original.

Propriedades que ajudam

a × 0 = 0 · a × 1 = a · a × (−1) = −a a × b = b × a (comutativa) · a × (b + c) = a × b + a × c (distributiva)

Não confunda com a soma: (−3) + (−4) = −7, mas (−3) × (−4) = 12. A regra «sinais iguais dão positivo» é da multiplicação (e da divisão), nunca da adição.

Método passo a passo

  1. Escreva cada fator com o seu sinal, com os negativos entre parênteses: (−6) × 7.
  2. Decida o sinal do produto. Dois fatores: iguais → +, diferentes → −. Vários fatores: conte os negativos; se o número for par, o sinal é +; se for ímpar, é −.
  3. Multiplique os valores absolutos como números naturais: 6 × 7 = 42.
  4. Junte o sinal ao resultado: −42.
  5. Respeite a ordem das operações em expressões: parênteses, potências, multiplicações e divisões, e só depois somas e subtrações.
  6. Verifique dividindo o produto por um dos fatores: (−42) ÷ 7 = −6.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — A regra dos sinais

Enunciado: Calcule (a) 6 × 7; (b) (−6) × 7; (c) (−6) × (−7); (d) 6 × (−7).

Resolução:

  1. O produto dos valores absolutos é sempre 6 × 7 = 42.
  2. (a) Sinais iguais (+ e +): +42.
  3. (b) Sinais diferentes: −42.
  4. (c) Sinais iguais (− e −): +42.
  5. (d) Sinais diferentes: −42.

Resposta: (a) 42; (b) −42; (c) 42; (d) −42. Verificação: (−42) ÷ 7 = −6, que é o fator inicial de (b).

Exemplo 2 — Vários fatores

Enunciado: Calcule (a) (−2) × 3 × (−5) × (−1); (b) (−2) × (−3) × (−1) × (−4).

Resolução:

  1. (a) Há três fatores negativos (−2, −5 e −1): número ímpar, logo o produto é negativo. Valores absolutos: 2 × 3 = 6; 6 × 5 = 30; 30 × 1 = 30.
  2. (b) Há quatro fatores negativos: número par, logo o produto é positivo. Valores absolutos: 2 × 3 = 6; 6 × 1 = 6; 6 × 4 = 24.

Resposta: (a) −30; (b) 24. Verificação: em (a), passo a passo, (−2) × 3 = −6; (−6) × (−5) = 30; 30 × (−1) = −30.

Exemplo 3 — Dívidas e temperaturas

Enunciado: (a) Cinco alunos devem, cada um, 250 Kz à cantina da escola. Qual é a dívida total? (b) A temperatura de uma câmara frigorífica desce 3 °C em cada hora, durante 4 horas. Qual é a variação total?

Resolução:

  1. (a) Cada dívida é −250. Cinco dívidas: (−250) × 5. Sinais diferentes: 250 × 5 = 1 250, com sinal negativo.
  2. (b) Cada hora a variação é −3. Em 4 horas: (−3) × 4 = −12.

Resposta: (a) a dívida total é −1 250 Kz; (b) a variação é −12 °C. Verificação: (a) somar cinco vezes −250 dá −1 250; (b) −3 − 3 − 3 − 3 = −12.

Exemplo 4 — Nível de exame: expressões e potências

Enunciado: (a) Calcule (−3) × [5 + (−8)] − (−2) × (−6). (b) Calcule (−2)3, (−2)4 e −24.

Resolução:

  1. (a) Primeiro o parêntese reto: 5 + (−8) = −3. Depois (−3) × (−3) = 9 e (−2) × (−6) = 12. Por fim 9 − 12 = −3.
  2. (b) (−2)3 = (−2) × (−2) × (−2) = 4 × (−2) = −8.
  3. (−2)4 = (−2) × (−2) × (−2) × (−2) = 4 × 4 = 16.
  4. −24 é o simétrico de 24, porque o expoente só afeta o 2: −(2 × 2 × 2 × 2) = −16.

Resposta: (a) −3; (b) −8, 16 e −16. Verificação: pela propriedade distributiva, (−3) × 5 + (−3) × (−8) = −15 + 24 = 9, igual a (−3) × (−3).

Erros frequentes

  • Dar resultado negativo a «menos vezes menos». (−3) × (−4) = 12, e não −12. Sinais iguais dão positivo.
  • Misturar a regra dos sinais com a da soma. (−3) + (−4) = −7, mas (−3) × (−4) = +12. Veja primeiro qual é a operação.
  • Confundir (−2)4 com −24. Com parênteses a base é −2 e o resultado é 16; sem parênteses, o sinal fica fora e o resultado é −16.
  • Errar a contagem dos fatores negativos num produto longo. Sublinhe os negativos antes de decidir se são em número par ou ímpar.
  • Esquecer a prioridade da multiplicação: 2 + (−3) × 4 = 2 − 12 = −10, e não (−1) × 4 = −4.
  • Pensar que multiplicar aumenta sempre. Multiplicar por um negativo muda o sinal, e por 0 anula tudo.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Calcule: (a) (−8) × 3; (b) (−9) × (−4); (c) 12 × (−5); (d) 0 × (−17).

Ver solução

(a) Sinais diferentes: −24. (b) Sinais iguais: 36. (c) Sinais diferentes: −60. (d) 0, porque zero vezes qualquer número é zero.

2Exercício 2

Calcule (−2) × (−3) × (−4).

Ver dica

Conte os fatores negativos.

Ver solução

Há três fatores negativos (ímpar), logo o produto é negativo. Valores absolutos: 2 × 3 × 4 = 24. Resultado: −24. Passo a passo: (−2) × (−3) = 6 e 6 × (−4) = −24.

3Exercício 3

Um comerciante do mercado perde 1 500 Kz por dia durante 6 dias seguidos. Qual é a variação total do seu dinheiro?

Ver solução

(−1 500) × 6: sinais diferentes, 1 500 × 6 = 9 000. Variação: −9 000 Kz.

4Exercício 4

Calcule (−5) × (4 − 9) + (−3) × (−2).

Ver dica

Resolva primeiro o parêntese.

Ver solução

4 − 9 = −5. Depois (−5) × (−5) = 25 e (−3) × (−2) = 6. Resultado: 25 + 6 = 31.

5Exercício 5

(a) Qual é o sinal do produto de 9 fatores negativos e 4 fatores positivos? (b) Calcule (−1)25 + (−1)100 + (−2)3.

Ver solução

(a) Há 9 fatores negativos (número ímpar), logo o produto é negativo. (b) (−1)25 = −1, pois o expoente é ímpar; (−1)100 = 1, pois o expoente é par; (−2)3 = −8. Soma: −1 + 1 + (−8) = −8.

Perguntas frequentes

Porque é que menos vezes menos dá mais?

Porque multiplicar por −1 troca um número pelo seu simétrico, e trocar duas vezes devolve o número original: (−1) × (−1) = 1. O padrão da tabela também mostra que, quando o primeiro fator desce de 1 para 0 e para −1, o produto passa de −2 a 0 e a 2.

A regra dos sinais é a mesma na divisão?

Sim, quando a divisão é exata: (−12) ÷ (−3) = 4, (−12) ÷ 3 = −4 e 12 ÷ (−3) = −4. A divisão por zero não tem significado.

Para que serve multiplicar por −1?

Para obter o simétrico: (−1) × 8 = −8 e (−1) × (−8) = 8. É útil para tirar o sinal de menos de uma expressão: −(a + b) = (−1) × (a + b).

Como verificar se o produto está certo?

Divida o produto por um dos fatores e confirme que obtém o outro: (−42) ÷ 7 = −6. Verifique também o sinal contando os fatores negativos: par dá positivo, ímpar dá negativo.

Resumo

  • Sinais iguais dão produto positivo; sinais diferentes dão produto negativo.
  • Com vários fatores, conte os negativos: par → positivo, ímpar → negativo.
  • Zero vezes qualquer número é zero; multiplicar por −1 dá o simétrico.
  • (−2)4 = 16, mas −24 = −16: os parênteses mudam a base.
  • A regra «sinais iguais dão positivo» é da multiplicação e da divisão, não da soma.

Onde aprofundar

  • O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
  • O manual aberto OpenStax Prealgebra (em inglês), no capítulo sobre números inteiros.
  • A Khan Academy, que tem lições de multiplicação de números negativos disponíveis em português.

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