Matemática · 7.ª–9.ª classe
Como subtrair números inteiros?
Resposta curta
Subtrair um número inteiro é somar o seu simétrico: a − b = a + (−b). Por isso 5 − (−3) = 5 + 3 = 8 e (−4) − 6 = (−4) + (−6) = −10. Mantenha o primeiro número, troque a subtração por uma adição, troque o sinal do número que se subtrai e aplique depois as regras da soma de inteiros.
Quando se aplica
Subtrai-se inteiros quando se pergunta «quanto falta?», «quanto mudou?» ou «qual é a diferença?» entre dois valores que podem ser negativos. Os casos mais comuns são:
- Variação de uma grandeza: valor final menos valor inicial (temperatura, saldo, altitude).
- Amplitude: maior valor menos menor valor (amplitude térmica de um dia).
- Distância entre dois pontos da reta numérica: maior menos menor.
- Resolver equações simples, como x − (−8) = 3.
Porque é que subtrair um negativo faz aumentar
Observe o padrão, em que o número que se subtrai vai descendo uma unidade de cada vez:
| Conta | Resultado |
|---|---|
| 5 − 2 | 3 |
| 5 − 1 | 4 |
| 5 − 0 | 5 |
| 5 − (−1) | 6 |
| 5 − (−2) | 7 |
Cada vez que o número subtraído diminui 1, o resultado aumenta 1. Para manter o padrão, 5 − (−2) tem de ser 7, ou seja, 5 + 2. Em linguagem corrente: tirar uma dívida a alguém deixa essa pessoa mais rica.
Regra dos parênteses
| Escrita | Passa a | Exemplo |
|---|---|---|
| a + (+b) | a + b | 4 + (+3) = 7 |
| a + (−b) | a − b | 4 + (−3) = 1 |
| a − (+b) | a − b | 4 − (+3) = 1 |
| a − (−b) | a + b | 4 − (−3) = 7 |
Método passo a passo
- Identifique os dois números e escreva o segundo entre parênteses, com o seu sinal: 7 − (−5).
- Copie o primeiro número tal como está.
- Troque a subtração por adição e troque o sinal do segundo número: 7 + (+5).
- Aplique as regras da soma: sinais iguais, somam-se os valores absolutos; sinais diferentes, subtrai-se o menor ao maior e fica o sinal do maior.
- Verifique somando o resultado ao número que subtraiu: tem de recuperar o primeiro número.
Atenção à ordem: a subtração não é comutativa. 9 − 4 = 5, mas 4 − 9 = −5.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Só números positivos
Enunciado: Calcule 9 − 4 e 4 − 9.
Resolução:
- 9 − 4 = 9 + (−4). Sinais diferentes: 9 − 4 = 5, e o 9 é positivo.
- 4 − 9 = 4 + (−9). Sinais diferentes: 9 − 4 = 5, mas agora o maior valor absoluto é −9.
Resposta: 9 − 4 = 5 e 4 − 9 = −5. Verificação: 5 + 4 = 9 e (−5) + 9 = 4.
Exemplo 2 — Com números negativos
Enunciado: Calcule (a) 7 − (−5); (b) (−6) − (−2); (c) (−3) − 8.
Resolução:
- (a) 7 − (−5) = 7 + 5 = 12.
- (b) (−6) − (−2) = (−6) + 2. Sinais diferentes: 6 − 2 = 4, com o sinal de −6.
- (c) (−3) − 8 = (−3) + (−8). Sinais iguais: 3 + 8 = 11, sinal −.
Resposta: (a) 12; (b) −4; (c) −11. Verificação: 12 + (−5) = 7; (−4) + (−2) = −6; (−11) + 8 = −3.
Exemplo 3 — Variação e amplitude
Enunciado: (a) Num dia, a temperatura máxima foi 12 °C e a mínima −5 °C. Qual foi a amplitude térmica? (b) Numa câmara frigorífica, a temperatura desceu de 6 °C para −18 °C. Qual foi a variação da temperatura?
Resolução:
- (a) Amplitude = máxima − mínima = 12 − (−5) = 12 + 5 = 17.
- (b) Variação = valor final − valor inicial = (−18) − 6 = (−18) + (−6) = −24.
Resposta: (a) a amplitude foi de 17 °C; (b) a variação foi de −24 °C, isto é, a temperatura desceu 24 graus. Verificação: (a) −5 + 17 = 12; (b) 6 + (−24) = −18.
Exemplo 4 — Nível de exame: expressões
Enunciado: Calcule (a) 8 − (−3) − 10 − (−6) − 15 e (b) −(5 − 9) − (−2 + 7).
Resolução:
- (a) Da esquerda para a direita: 8 + 3 = 11; 11 − 10 = 1; 1 + 6 = 7; 7 − 15 = −8.
- (b) Resolva primeiro os parênteses: 5 − 9 = −4 e −2 + 7 = 5. Então −(−4) − 5 = 4 − 5 = −1.
Resposta: (a) −8; (b) −1. Verificação: em (a), os termos positivos são 8, 3 e 6 (soma 17) e os negativos são −10 e −15 (soma −25), e 17 + (−25) = −8.
Erros frequentes
- Não trocar o sinal do segundo número. 5 − (−3) não é 2; é 5 + 3 = 8.
- Trocar o sinal do primeiro número em vez do segundo. O primeiro número fica sempre como está.
- Tratar (−3) − 8 como se fosse (−3) + 8. Aqui o 8 é positivo e vai ser subtraído, logo fica (−3) + (−8) = −11.
- Julgar que a subtração é comutativa. 3 − 7 = −4 e 7 − 3 = 4; trocar a ordem muda o sinal.
- Esquecer que «− antes de parênteses» troca todos os sinais lá dentro. Em −(5 − 9), calcule primeiro o parêntese (−4) e só depois troque o sinal.
- Calcular a variação ao contrário. Variação é sempre valor final menos valor inicial; se inverter, o sinal sai trocado.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Calcule: (a) 12 − 7; (b) 7 − 12; (c) 0 − 9.
Ver solução
(a) 5. (b) 7 − 12 = 7 + (−12) = −5. (c) 0 − 9 = 0 + (−9) = −9.
2Exercício 2
Calcule: (a) 6 − (−4); (b) (−5) − (−5); (c) (−8) − 3; (d) (−2) − (−9).
Ver solução
(a) 6 + 4 = 10. (b) (−5) + 5 = 0. (c) (−8) + (−3) = −11. (d) (−2) + 9 = 7.
3Exercício 3
O topo de um morro está a 120 m acima do nível do mar (altitude 120) e a entrada de uma mina está a 35 m abaixo (altitude −35). Qual é a diferença de altitude entre o topo e a mina?
Ver dica
Diferença = altitude mais alta menos altitude mais baixa.
Ver solução
120 − (−35) = 120 + 35 = 155 m. Verificação: (−35) + 155 = 120.
4Exercício 4
Calcule (−4) − (−10) − 7 − (−1).
Ver solução
(−4) + 10 = 6; 6 − 7 = −1; (−1) + 1 = 0.
5Exercício 5
Determine x em cada caso: (a) x − (−8) = 3; (b) (−6) − x = 4.
Ver dica
Use a verificação da subtração: diferença + número subtraído = primeiro número.
Ver solução
(a) x − (−8) = x + 8 = 3, logo x = 3 − 8 = −5. Verificação: (−5) − (−8) = (−5) + 8 = 3.
(b) Pela verificação, 4 + x = −6, logo x = −6 − 4 = −10. Verificação: (−6) − (−10) = (−6) + 10 = 4.
Perguntas frequentes
Porque é que subtrair um número negativo dá um resultado maior?
Porque tirar um valor negativo é desfazer uma perda. Numa tabela em que o número subtraído desce de 2 para 1, 0, −1, −2, o resultado sobe de 3 para 4, 5, 6, 7. O sinal «menos» antes de um negativo comporta-se, por isso, como uma adição.
A subtração de inteiros é comutativa?
Não. a − b e b − a são simétricos: 8 − 3 = 5 e 3 − 8 = −5. Por isso, em problemas de variação, é decisivo saber qual é o valor inicial e qual é o valor final.
Existe um método mais rápido do que transformar em adição?
Sim. Com a prática, elimina-se os parênteses diretamente: «− (−)» passa a «+», e «+ (−)» passa a «−». Mas, enquanto estiver a aprender, escreva a adição do simétrico: reduz muito os erros de sinal.
Como verificar se a subtração está certa?
Some o resultado ao número que subtraiu; deve obter o primeiro número. Em (−6) − (−2) = −4, confirma-se com (−4) + (−2) = −6.
Resumo
- a − b = a + (−b): subtrair é somar o simétrico.
- Mantém-se o primeiro número, troca-se o sinal do segundo, e aplicam-se as regras da soma.
- A subtração não é comutativa: a − b é o simétrico de b − a.
- Variação = valor final − valor inicial; amplitude = maior − menor.
- A prova faz-se somando: diferença + número subtraído = primeiro número.
Onde aprofundar
- O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
- O manual aberto OpenStax Prealgebra (em inglês), no capítulo sobre números inteiros.
- A Khan Academy, que tem lições de subtração de números negativos disponíveis em português.
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