Matemática · 4.ª–9.ª classe
Como comparar frações?
Resposta curta
Para comparar duas frações, reduza-as ao mesmo denominador e compare os numeradores: é maior a que tiver o maior numerador. Se os denominadores já forem iguais, compare logo os numeradores; se os numeradores forem iguais, é maior a fração de menor denominador. Atalho: a/b > c/d quando a × d > c × b. Exemplo: 3/4 > 2/3, porque 3 × 3 = 9 é maior do que 2 × 4 = 8.
Quando se aplica
Compara-se frações para ordenar quantidades (qual é a maior parte?), para decidir qual de duas medidas é maior, para comparar resultados em provas ou para saber quem consumiu mais de um produto. Comparar frações não é como comparar números naturais: 1/8 é menor do que 1/5, embora 8 seja maior do que 5.
A ideia essencial
Uma fração diz quantas partes (numerador) se tomam de um todo dividido em partes iguais (denominador). Só se podem comparar partes do mesmo tamanho. Por isso, quando os denominadores são diferentes, é preciso primeiro escolher um tamanho de parte comum.
Os três casos
| Situação | Regra | Exemplo |
|---|---|---|
| Mesmo denominador | é maior o maior numerador | 5/8 > 3/8 |
| Mesmo numerador | é maior o menor denominador | 3/5 > 3/7 |
| Tudo diferente | reduzir ao mesmo denominador ou usar produtos cruzados | 5/6 e 7/9: ver abaixo |
Método passo a passo
- Observe os denominadores e os numeradores. Se um dos casos fáceis acontecer, resolva logo.
- Calcule o mmc dos denominadores (o menor múltiplo comum).
- Reduza cada fração a esse denominador: multiplique numerador e denominador pelo mesmo número.
- Compare os numeradores. O maior numerador corresponde à maior fração.
- Escreva a conclusão com o sinal correto (<, > ou =) e com as frações originais.
- Verifique com os decimais (divida numerador por denominador) ou com uma referência, como 1/2 ou 1.
Atalho: produtos cruzados
Para duas frações a/b e c/d, calcule a × d e c × b. Se a × d for maior, então a/b é maior. Isto funciona porque equivale a escrever as duas frações com denominador b × d.
Atalho: comparar com 1/2 ou com 1
Uma fração é menor do que 1/2 se o dobro do numerador for menor do que o denominador (4/9: 8 < 9). É maior do que 1 se o numerador for maior do que o denominador (9/8). Duas frações podem ficar ordenadas só por esta referência.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Mesmo denominador e mesmo numerador
Enunciado: Compare 5/8 com 3/8 e depois 3/5 com 3/7.
Resolução:
- Primeiro par: denominadores iguais (8). Comparam-se os numeradores: 5 > 3, logo 5/8 > 3/8.
- Segundo par: numeradores iguais (3). Dividir em 5 partes dá partes maiores do que dividir em 7, por isso 3/5 > 3/7.
Resposta: 5/8 > 3/8 e 3/5 > 3/7. Verificação: 3/5 = 0,6 e 3/7 ≈ 0,43; 0,6 é maior.
Exemplo 2 — Denominadores diferentes (mmc)
Enunciado: Compare 5/6 com 7/9.
Resolução:
- mmc(6, 9) = 18.
- 5/6 = 15/18 (multiplicou-se por 3) e 7/9 = 14/18 (multiplicou-se por 2).
- Como 15 > 14, tem-se 15/18 > 14/18.
Resposta: 5/6 > 7/9. Verificação: 5/6 ≈ 0,833 e 7/9 ≈ 0,778.
Exemplo 3 — Ordenar três frações
Enunciado: Ordene por ordem crescente 2/3, 3/5 e 7/10.
Resolução:
- mmc(3, 5, 10) = 30.
- 2/3 = 20/30; 3/5 = 18/30; 7/10 = 21/30.
- Os numeradores por ordem crescente são 18, 20 e 21.
Resposta: 3/5 < 2/3 < 7/10. Verificação: em decimais, 0,6 < 0,667 < 0,7.
Exemplo 4 — Nível de exame: problema com produtos cruzados
Enunciado: Numa escola de Luanda, na turma A passaram 17 de 25 alunos e, na turma B, passaram 21 de 30. Qual das turmas teve melhor aproveitamento?
Resolução:
- As frações são 17/25 (turma A) e 21/30 (turma B).
- Produtos cruzados: 17 × 30 = 510 e 21 × 25 = 525.
- Como 525 > 510, a fração da turma B é maior.
Resposta: a turma B teve melhor aproveitamento: 21/30 > 17/25. Verificação: 17/25 = 0,68 e 21/30 = 0,70.
Erros frequentes
- Achar que denominador maior significa fração maior. 1/8 é menor do que 1/5: quanto mais partes se faz, menores são as partes.
- Comparar só os numeradores quando os denominadores diferem. 3/10 e 2/3: 3 > 2, mas 3/10 = 0,3 é menor do que 2/3 ≈ 0,67.
- Cruzar os produtos do lado errado. Para a/b e c/d, os produtos são a × d e c × b (numerador de uma com denominador da outra). Fazer a × c e b × d não compara nada.
- Mudar só o denominador ao reduzir. Para passar 5/6 a denominador 18, multiplica-se também o numerador por 3: 15/18.
- Dizer que frações equivalentes são diferentes. 2/4 e 3/6 valem o mesmo (ambas iguais a 1/2); o sinal correto é =.
- Esquecer de comparar a parte inteira nos números mistos. 2 1/5 é maior do que 1 4/5, mesmo que 1/5 seja menor do que 4/5; compare primeiro os inteiros.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Compare 4/9 com 7/9.
Ver solução
Denominadores iguais, 4 < 7. Logo 4/9 < 7/9.
2Exercício 2
Compare 5/12 com 5/8.
Ver dica
Os numeradores são iguais; repare nos denominadores.
Ver solução
Mesmo numerador: é maior a fração de menor denominador (8 < 12). Logo 5/12 < 5/8. Verificação: 5/12 ≈ 0,417 e 5/8 = 0,625.
3Exercício 3
Compare 3/4 com 5/7 usando produtos cruzados.
Ver solução
3 × 7 = 21 e 5 × 4 = 20. Como 21 > 20, 3/4 > 5/7. Verificação: 0,75 > 0,714.
4Exercício 4
Ordene por ordem crescente 5/6, 2/3, 3/4 e 7/12.
Ver dica
mmc(6, 3, 4, 12) = 12.
Ver solução
Com denominador 12: 5/6 = 10/12; 2/3 = 8/12; 3/4 = 9/12; 7/12 = 7/12. Ordem dos numeradores: 7, 8, 9, 10. Resposta: 7/12 < 2/3 < 3/4 < 5/6.
5Exercício 5
A Maria bebeu 3/5 de uma garrafa de sumo e o João bebeu 5/8 de outra garrafa igual. Quem bebeu mais? Que fração da garrafa separa os dois?
Ver solução
mmc(5, 8) = 40. 3/5 = 24/40 e 5/8 = 25/40. Como 25 > 24, o João bebeu mais. A diferença é 25/40 − 24/40 = 1/40 da garrafa.
Perguntas frequentes
Qual é a forma mais rápida de comparar duas frações?
Depende. Se os denominadores ou os numeradores forem iguais, resolve-se de cabeça. Caso contrário, os produtos cruzados são os mais rápidos para duas frações; para três ou mais, convém reduzir tudo ao mmc e ordenar os numeradores.
Posso comparar convertendo para decimais?
Sim, dividindo o numerador pelo denominador (3/4 = 0,75). É um bom método de verificação, mas tenha cuidado com dízimas que se repetem, como 5/6 = 0,8333..., onde o arredondamento pode enganar quando os valores estão muito próximos.
Como comparo uma fração com um número inteiro?
Escreva o inteiro como fração com o mesmo denominador (2 = 10/5) e compare os numeradores, ou use o inteiro 1 como referência: se o numerador é maior do que o denominador, a fração é maior do que 1.
Como se comparam números mistos?
Compare primeiro as partes inteiras; se forem iguais, compare as partes fracionárias. Em alternativa, converta tudo em frações impróprias e use um dos métodos acima.
Resumo
- Só se comparam partes do mesmo tamanho: reduza ao mesmo denominador e compare os numeradores.
- Com o mesmo denominador é maior o maior numerador; com o mesmo numerador é maior o menor denominador.
- Produtos cruzados: a/b > c/d quando a × d > c × b.
- Compare com 1/2 ou com 1 para ordenar sem calcular tudo.
- Confirme com decimais, mas atenção às dízimas repetidas.
Onde aprofundar
- O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
- A secção sobre ordenar e comparar frações do manual aberto OpenStax Prealgebra (em inglês).
- Os exercícios de comparação de frações da Khan Academy, disponíveis em português.
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