Matemática · 4.ª–9.ª classe
Como simplificar frações?
Resposta curta
Para simplificar uma fração, divida o numerador e o denominador pelo mesmo número, maior que 1, que divida ambos. Repita até não haver mais divisores comuns, ou divida de uma só vez pelo máximo divisor comum (MDC). Exemplo: 12/18, dividido por 6 em cima e em baixo, dá 2/3.
Quando se aplica
Simplificar serve para escrever uma fração na forma mais pequena possível, sem mudar o seu valor. Faz-se no final de quase todos os cálculos com frações (somas, produtos, problemas) e quando o enunciado pede a fração irredutível, isto é, a que já não pode ser simplificada porque numerador e denominador não têm divisor comum além de 1.
A razão por que funciona: dividir numerador e denominador pelo mesmo número não muda o valor, porque equivale a dividir a fração por 1 (6/6 = 1). Assim, 12/18 e 2/3 são frações equivalentes.
Pré-requisitos
Precisa de saber a tabuada e os critérios de divisibilidade:
| Divisor | Critério |
|---|---|
| 2 | o número termina em 0, 2, 4, 6 ou 8 |
| 3 | a soma dos algarismos é múltipla de 3 |
| 5 | termina em 0 ou 5 |
| 9 | a soma dos algarismos é múltipla de 9 |
| 10 | termina em 0 |
Método passo a passo
- Procure um divisor comum de numerador e denominador (2, 3, 5… ou o maior que descobrir).
- Divida os dois termos por esse número.
- Repita com a nova fração, até os dois números não terem divisor comum além de 1.
- Confirme que é irredutível: se o MDC dos dois termos for 1, terminou.
- Verifique multiplicando de volta: o resultado, multiplicado em cima e em baixo pelo número usado, tem de devolver a fração inicial.
Método mais rápido: usar o MDC
Decomponha os dois números em fatores primos e multiplique os fatores comuns (com o menor expoente). Esse produto é o MDC. Dividir por ele simplifica a fração de uma só vez.
Dica
Se os dois números são pares, comece por dividir por 2: nunca erra e vai reduzindo o tamanho dos números. Se terminam em 0, divida por 10.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Divisões sucessivas
Enunciado: Simplifique 12/18.
Resolução:
- Ambos são pares: 12 ÷ 2 = 6 e 18 ÷ 2 = 9, logo 12/18 = 6/9.
- 6 e 9 são múltiplos de 3: 6 ÷ 3 = 2 e 9 ÷ 3 = 3, logo 6/9 = 2/3.
- 2 e 3 não têm divisor comum além de 1.
Resposta: 12/18 = 2/3. Verificação: 2 × 6 = 12 e 3 × 6 = 18.
Exemplo 2 — Com o MDC
Enunciado: Simplifique 90/150 até à fração irredutível.
Resolução:
- Fatores primos: 90 = 2 × 32 × 5 e 150 = 2 × 3 × 52.
- Fatores comuns com menor expoente: 2, 3 e 5, logo MDC = 2 × 3 × 5 = 30.
- 90 ÷ 30 = 3 e 150 ÷ 30 = 5.
Resposta: 90/150 = 3/5. Verificação: 3 × 30 = 90 e 5 × 30 = 150.
Exemplo 3 — Fração irredutível?
Enunciado: A fração 28/45 pode ser simplificada?
Resolução:
- 28 = 22 × 7.
- 45 = 32 × 5.
- Não há nenhum fator primo comum, logo MDC = 1.
Resposta: não pode: 28/45 já é irredutível. Que os dois números sejam «grandes» ou «feios» não quer dizer que haja simplificação.
Exemplo 4 — Nível de exame: simplificar antes de multiplicar
Enunciado: Calcule (12 × 15) / (25 × 18) e dê o resultado na forma irredutível.
Resolução:
- Em vez de multiplicar tudo (180/450), simplifique em cruz: 12/18 = 2/3 (dividindo por 6).
- 15/25 = 3/5 (dividindo por 5).
- Fica 2/3 × 3/5 = 6/15.
- Simplifique: 6/15 = 2/5 (dividindo por 3).
Resposta: 2/5. Verificação: 180 ÷ 90 = 2 e 450 ÷ 90 = 5, o que dá o mesmo valor.
Exemplo 5 — Aplicação
Enunciado: Num teste, 18 dos 24 alunos de uma turma tiveram positiva. Que fração da turma teve positiva, na forma irredutível?
Resolução: 18/24, com MDC 6: 18 ÷ 6 = 3 e 24 ÷ 6 = 4.
Resposta: 3/4 da turma. Verificação: 3/4 de 24 = 18.
Erros frequentes
- Parar cedo demais. Dividir 48/72 por 2 dá 24/36, que ainda se simplifica. Confirme sempre se ainda há divisor comum.
- Dividir só o numerador ou só o denominador. Tem de ser os dois, pelo mesmo número.
- Subtrair em vez de dividir. Retirar 6 de 12/18 e obter 6/12 muda o valor da fração; só a divisão o preserva.
- «Cortar» parcelas de uma soma. Em (2 + 6)/(2 + 10) não se pode cancelar os 2: só se cancelam fatores, nunca parcelas.
- Achar que um número primo grande permite simplificar. Sem divisor comum, a fração é irredutível.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Simplifique 8/20.
Ver solução
Dividindo por 4: 8 ÷ 4 = 2 e 20 ÷ 4 = 5. Resultado: 2/5.
2Exercício 2
Simplifique 45/60.
Ver solução
MDC = 15: 45 ÷ 15 = 3 e 60 ÷ 15 = 4. Resultado: 3/4.
3Exercício 3
Simplifique 72/96 até à forma irredutível.
Ver dica
Pode dividir por 2 várias vezes ou procurar o MDC.
Ver solução
72 = 23 × 32 e 96 = 25 × 3, logo MDC = 23 × 3 = 24. Então 72 ÷ 24 = 3 e 96 ÷ 24 = 4. Resultado: 3/4.
4Exercício 4
Simplifique 126/210.
Ver solução
126 = 2 × 32 × 7 e 210 = 2 × 3 × 5 × 7. MDC = 2 × 3 × 7 = 42. 126 ÷ 42 = 3 e 210 ÷ 42 = 5. Resultado: 3/5.
5Exercício 5
Calcule (14 × 27) / (21 × 18) e simplifique.
Ver solução
14/21 = 2/3 (dividindo por 7) e 27/18 = 3/2 (dividindo por 9). O produto é 2/3 × 3/2 = 6/6 = 1. Verificação: 14 × 27 = 378 e 21 × 18 = 378.
Perguntas frequentes
Quando devo simplificar uma fração?
Sempre que tenha oportunidade: no fim do cálculo, e também durante ele, antes de multiplicar, porque os números ficam menores e há menos hipóteses de erro. Se o enunciado pedir «fração irredutível», é obrigatório.
Existe um método mais rápido do que dividir por 2, 3, 5…?
Sim: calcular o MDC por decomposição em fatores primos e dividir uma só vez. Com números pequenos, as divisões sucessivas são igualmente rápidas e mais fáceis de verificar.
Simplificar altera o valor da fração?
Não. 12/18 e 2/3 valem exatamente o mesmo; só mudou a escrita. Pode confirmar com a divisão: 12 ÷ 18 = 0,666… e 2 ÷ 3 = 0,666…
Que erros são mais comuns ao simplificar?
Parar antes da forma irredutível, cancelar parcelas de uma soma e dividir apenas um dos termos.
Resumo
- Simplificar é dividir numerador e denominador pelo mesmo número maior que 1.
- O valor da fração mantém-se; obtém-se uma fração equivalente.
- Termina-se na fração irredutível, quando o MDC dos termos é 1.
- Dividir de uma só vez pelo MDC é o caminho mais curto.
- Só se cancelam fatores, nunca parcelas de uma soma ou diferença.
Onde aprofundar
- O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
- A Khan Academy, nos cursos de frações e de máximo divisor comum.
- O manual aberto OpenStax Prealgebra (em inglês), capítulo sobre frações.
Continue a estudar
Como reduzir frações ao mesmo denominador?
Para reduzir frações ao mesmo denominador, calcule o mínimo múltiplo comum (mmc) dos denominadores e use-o como novo denominador. Depois, em cada fração, multiplique…
4 exemplos5 exercícios com solução✓ Estudado
O que é uma fração?
Uma fração representa uma ou mais partes iguais de um todo que foi dividido em partes iguais. Escreve-se a/b: o denominador b diz em quantas partes iguais o todo foi…
4 exemplos5 exercícios com solução✓ Estudado
Como comparar frações?
Para comparar duas frações, reduza-as ao mesmo denominador e compare os numeradores: é maior a que tiver o maior numerador. Se os denominadores já forem iguais, compare…
4 exemplos5 exercícios com solução✓ Estudado
Como somar frações com denominadores diferentes?
Para somar frações com denominadores diferentes, reduza-as primeiro ao mesmo denominador (o mmc dos denominadores), some depois os numeradores mantendo o denominador e…
5 exemplos5 exercícios com solução✓ Estudado