Matemática · 1.ª–6.ª classe
Quais são os critérios de divisibilidade?
Resposta curta
Um critério de divisibilidade é uma regra que diz se um número se divide exatamente por outro sem fazer a divisão. Por 2: termina em algarismo par. Por 3 e por 9: a soma dos algarismos é múltipla de 3 ou de 9. Por 5: termina em 0 ou 5. Por 10: termina em 0. Por 4 e por 8: olha-se para os dois ou três últimos algarismos.
O que são e para que servem
Dizer que 36 é divisível por 4 quer dizer que 36 ÷ 4 dá um número inteiro (9) e o resto é zero. Os critérios de divisibilidade permitem descobrir isso olhando para os algarismos, sem dividir. Servem para decompor números em fatores primos, simplificar frações, calcular o m.d.c. e o m.m.c. e reconhecer números primos.
Critério de classificação: o que se observa no número
Pode organizar os critérios pelo sítio onde se olha:
- Só o último algarismo: 2, 5 e 10.
- Os últimos algarismos: 4 (dois últimos), 8 (três últimos) e 25 (dois últimos).
- A soma de todos os algarismos: 3 e 9.
- Uma combinação de critérios: 6 (divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo).
- Soma alternada dos algarismos: 11.
Quadro-resumo
| Divisível por | Critério | Exemplo (sim) | Exemplo (não) |
|---|---|---|---|
| 2 | último algarismo é 0, 2, 4, 6 ou 8 | 1 358 | 2 475 |
| 3 | soma dos algarismos é múltipla de 3 | 4 212 (4 + 2 + 1 + 2 = 9) | 1 342 (soma 10) |
| 4 | os dois últimos algarismos formam um múltiplo de 4 (ou são 00) | 3 724 (24 = 4 × 6) | 3 726 (26 não é múltiplo de 4) |
| 5 | termina em 0 ou 5 | 8 645 | 8 643 |
| 6 | divisível por 2 e por 3 | 1 134 (par; soma 9) | 2 534 (par; soma 14) |
| 8 | os três últimos algarismos formam um múltiplo de 8 (ou são 000) | 5 128 (128 = 8 × 16) | 5 124 (124 = 8 × 15 + 4) |
| 9 | soma dos algarismos é múltipla de 9 | 7 218 (soma 18) | 7 217 (soma 17) |
| 10 | termina em 0 | 4 570 | 4 575 |
| 11 | soma dos algarismos de ordem ímpar menos a dos de ordem par dá 0 ou múltiplo de 11 | 2 541 | 2 543 |
| 25 | termina em 00, 25, 50 ou 75 | 3 275 | 3 270 |
Na linha do 11, conta-se a ordem da direita para a esquerda. Em 2 541, os algarismos de ordem ímpar são 1 e 5 (soma 6) e os de ordem par são 4 e 2 (soma 6); a diferença é 0, logo 2 541 é divisível por 11 (11 × 231 = 2 541). O critério do 11 só aparece em alguns programas: confirme no seu manual.
Porque é que estes critérios funcionam
Um número é igual à parte da esquerda × 10 mais o último algarismo. Como 10 = 2 × 5, a parte da esquerda × 10 é sempre divisível por 2 e por 5, e só o último algarismo decide. Do mesmo modo, 100 = 4 × 25, por isso para o 4 e o 25 só contam os dois últimos algarismos; e 1 000 = 8 × 125, por isso para o 8 só contam os três últimos. Quanto ao 3 e ao 9: 10, 100, 1 000… deixam sempre resto 1 quando divididos por 3 ou por 9, e por isso cada número tem o mesmo resto que a soma dos seus algarismos.
Como memorizar
- 2, 5, 10: «olhe para o fim».
- 4, 8, 25: «olhe para o fim com mais algarismos».
- 3, 9: «some tudo».
- 6: é «2 e 3» juntos.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Aplicar todos os critérios a um número
Enunciado: Diga por quais dos números 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 e 10 é divisível 4 536.
Resolução:
- Por 2: termina em 6, par. Sim.
- Por 3: 4 + 5 + 3 + 6 = 18, múltiplo de 3. Sim.
- Por 4: 36 = 4 × 9. Sim.
- Por 5: termina em 6. Não.
- Por 6: divisível por 2 e por 3. Sim.
- Por 8: 536 = 8 × 67. Sim.
- Por 9: soma 18, múltiplo de 9. Sim.
- Por 10: não termina em 0. Não.
Resposta: é divisível por 2, 3, 4, 6, 8 e 9; não é por 5 nem por 10. Verificação: 4 536 = 8 × 567 = 9 × 504, divisões exatas.
Exemplo 2 — Um número que acaba em 5
Enunciado: Estude a divisibilidade de 7 245 por 2, 3, 4, 5, 6, 9 e 10.
Resolução:
- Por 2: termina em 5, ímpar. Não.
- Por 3: 7 + 2 + 4 + 5 = 18. Sim.
- Por 4: 45 não é múltiplo de 4. Não.
- Por 5: termina em 5. Sim.
- Por 6: falha o 2. Não.
- Por 9: soma 18, múltiplo de 9. Sim.
- Por 10: não termina em 0. Não.
Resposta: 7 245 é divisível por 3, 5 e 9. Verificação: 7 245 ÷ 5 = 1 449 e 7 245 ÷ 9 = 805.
Exemplo 3 — Descobrir o algarismo que falta
Enunciado: Que algarismos pode ter o , para que 52 seja divisível por 3? E para que seja divisível por 6?
Resolução:
- A soma dos algarismos é 5 + 2 + * = 7 + *.
- Como * vai de 0 a 9, a soma 7 + * varia entre 7 e 16. Os múltiplos de 3 nesse intervalo são 9, 12 e 15, logo * = 2, 5 ou 8.
- Para ser divisível por 6 tem de ser também par: dos números 522, 525 e 528, ficam 522 e 528.
Resposta: por 3: * = 2, 5 ou 8; por 6: * = 2 ou 8. Verificação: 522 = 6 × 87 e 528 = 6 × 88.
Exemplo 4 — Problema: repartir por turmas
Enunciado: Um armazém recebeu 1 260 sacos de fuba. É possível repartir os sacos em partes iguais por 4, 5, 6, 8, 9 ou 10 escolas, sem sobrar nenhum?
Resolução:
- Por 4: termina em 60 e 60 = 4 × 15. Sim.
- Por 5 e por 10: termina em 0. Sim.
- Por 6: é par e 1 + 2 + 6 + 0 = 9, múltiplo de 3. Sim.
- Por 9: soma 9. Sim.
- Por 8: 260 não é múltiplo de 8 (8 × 32 = 256, resto 4). Não.
Resposta: pode repartir por 4, 5, 6, 9 e 10 escolas, mas não por 8. Verificação: 1 260 ÷ 4 = 315; ÷ 5 = 252; ÷ 6 = 210; ÷ 9 = 140; ÷ 10 = 126.
Erros frequentes
- Usar a soma dos algarismos para o 4, o 5 ou o 10. A soma só serve para o 3 e para o 9. Para os outros olha-se para o fim do número.
- Esquecer que o 6 pede os dois critérios. Um número par com soma 14 (como 2 534) não é divisível por 6.
- Olhar só para o último algarismo no critério do 4. 312 e 314 são ambos pares, mas só 312 é divisível por 4 (12 = 4 × 3); o 14 não é múltiplo de 4. Olhe sempre para os dois últimos algarismos.
- Confundir 3 com 9. Soma 12 chega para o 3, mas não para o 9; para o 9 a soma tem de ser 9, 18, 27…
- Somar mal os algarismos. Repita a soma ou escreva-a por extenso antes de decidir.
Exercícios propostos
1Exercício 1
O número 348 é divisível por 2, 3, 4 e 5?
Ver solução
Por 2: termina em 8, sim. Por 3: 3 + 4 + 8 = 15, sim. Por 4: 48 = 4 × 12, sim. Por 5: termina em 8, não. Divisível por 2, 3 e 4; não por 5. Confirmação: 348 ÷ 4 = 87.
2Exercício 2
Estude 2 025 quanto à divisibilidade por 3, 5, 9 e 25.
Ver solução
Por 3: 2 + 0 + 2 + 5 = 9, sim. Por 5: termina em 5, sim. Por 9: soma 9, sim. Por 25: termina em 25, sim. É divisível pelos quatro. Confirmação: 2 025 ÷ 25 = 81.
3Exercício 3
Que algarismos pode ocupar o lugar do * em 7*4 para o número ser divisível por 3?
Ver dica
Some 7 + 4 e veja que valores de * levam a soma a um múltiplo de 3.
Ver solução
7 + 4 = 11; é preciso que 11 + * seja 12, 15 ou 18. Logo * = 1, 4 ou 7. Os números são 714, 744 e 774. Confirmação: 714 ÷ 3 = 238.
4Exercício 4
Qual é o menor número de três algarismos divisível, ao mesmo tempo, por 2, por 3 e por 5?
Ver dica
Divisível por 2 e por 5 significa terminar em 0.
Ver solução
Tem de terminar em 0 e ter soma dos algarismos múltipla de 3. Teste 100 (soma 1), 110 (soma 2), 120 (soma 3, sim). Resposta: 120. Confirmação: 120 = 30 × 4.
5Exercício 5
Mostre que 8 712 é divisível por 8 e por 9 e conclua que é divisível por 72.
Ver dica
Lembre-se de que 72 = 8 × 9 e que 8 e 9 não têm nenhum divisor comum além do 1.
Ver solução
Por 8: os três últimos algarismos formam 712 e 712 = 8 × 89. Por 9: 8 + 7 + 1 + 2 = 18, múltiplo de 9. Como 8 e 9 não têm divisores comuns além do 1, o número é divisível pelo produto 8 × 9 = 72. Confirmação: 72 × 121 = 8 712.
Perguntas frequentes
Quantos critérios de divisibilidade existem ao todo?
Não há um número fixo. Nas classes do ensino primário estudam-se normalmente os do 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 e 10, e alguns programas juntam o do 11 e o do 25. Confirme no manual da sua classe quais constam do programa.
Qual é a classificação mais usada?
A mais prática é pela parte do número que se observa: o último algarismo (2, 5, 10), os últimos dois ou três (4, 25, 8) ou a soma de todos (3, 9). Há ainda o 6, que combina o 2 e o 3.
Como posso memorizar a lista?
Associe cada critério a um gesto: «olhar o fim» para 2, 5 e 10; «olhar mais algarismos do fim» para 4 e 8; «somar» para 3 e 9. E lembre-se que o 6 é a união do 2 com o 3.
Existe critério para o 7?
Existe, mas é pouco usado na escola. Separa-se o último algarismo, duplica-se e subtrai-se ao resto do número; se o resultado for múltiplo de 7, o número também é. Por exemplo, 133: 13 − 2 × 3 = 7, logo 133 é múltiplo de 7 (133 = 7 × 19). Confirme no manual se o seu programa o inclui.
Resumo
- Os critérios de divisibilidade dizem se um número se divide exatamente por outro sem fazer a divisão.
- 2, 5, 10: vê-se o último algarismo; 4, 8, 25: os dois ou três últimos.
- 3 e 9: soma dos algarismos múltipla de 3 ou de 9.
- 6 = divisível por 2 e por 3.
- Em caso de dúvida, confirme dividindo: o resto tem de ser zero.
Onde aprofundar
- O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
- O artigo sobre como reconhecer se um número é primo, onde estes critérios são usados.
- O manual aberto OpenStax Prealgebra (em inglês), secção sobre divisibilidade e fatores.
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