Matemática · 1.ª–6.ª classe

Como reconhecer se um número é primo?

  • 9 min de leitura
  • 4 exemplos resolvidos
  • 5 exercícios com solução
  • Atualizado em

Resposta curta

Passos: se o número for 0 ou 1, não é primo; se for par e maior do que 2, é composto. Depois divida-o pelos primos 2, 3, 5, 7… por ordem, parando quando um deles o dividir exatamente (composto) ou quando o quadrado do primo testado ultrapassar o número (primo). Exemplo: 29 não é divisível por 2, 3 nem 5, logo é primo.

Quando se aplica

Este método serve para decidir se um número concreto é primo ou composto, sem ter de escrever todos os seus divisores. É o que se pede em perguntas como «91 é primo?» ou «Mostre que 143 não é um número primo».

Pré-requisitos

Precisa de conhecer os primeiros números primos (2, 3, 5, 7, 11, 13…) e os critérios de divisibilidade por 2, 3 e 5:

  • por 2: o último algarismo é par;
  • por 3: a soma dos algarismos é múltipla de 3;
  • por 5: o último algarismo é 0 ou 5.

Para o 7 não há um critério simples ao nível do ensino primário: faz-se a divisão ou consulta-se a tabuada do 7.

Método passo a passo

  1. Elimine os casos imediatos. O 0 e o 1 não são primos. O 2 é primo. Qualquer outro número par é composto.
  2. Teste o 3. Some os algarismos; se a soma for múltipla de 3, o número é composto (a não ser que seja o próprio 3).
  3. Teste o 5. Se terminar em 0 ou 5, é composto (a não ser que seja o próprio 5).
  4. Teste os primos seguintes (7, 11, 13…). Divida o número por cada um e veja se o resto é zero.
  5. Pare no momento certo. Só precisa de testar os primos cujo quadrado não ultrapassa o número.
  6. Conclua. Se algum primo dividiu exatamente, o número é composto. Se nenhum dividiu, é primo.

Até onde testar

Porquê parar cedo? Se um número n é composto, escreve-se como a × b com a ≤ b. Então a × a ≤ a × b = n: o menor fator tem o quadrado menor ou igual a n. Por isso, depois de passar o ponto em que p × p ultrapassa n, já não há nada a encontrar.

Se o número for menor do que…basta testar os primos até…
253
495
1217
16911
28913

Assim, para qualquer número até 120, os únicos testes necessários são 2, 3, 5 e 7.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Um número primo: 29

Enunciado: O número 29 é primo?

Resolução:

  1. 29 é ímpar, por isso o 2 não o divide.
  2. Soma dos algarismos: 2 + 9 = 11, que não é múltiplo de 3.
  3. Não termina em 0 nem em 5.
  4. O próximo primo é 7, mas 7 × 7 = 49 já passa de 29. Pode parar.

Resposta: 29 é primo. Verificação: 29 = 5 × 5 + 4 (resto 4) e 29 = 7 × 4 + 1 (resto 1), nunca resto zero.

Exemplo 2 — A armadilha do 91

Enunciado: O número 91 é primo?

Resolução:

  1. É ímpar: não é divisível por 2.
  2. 9 + 1 = 10, não é múltiplo de 3.
  3. Não termina em 0 nem em 5.
  4. Teste o 7: 7 × 13 = 91, divisão exata.

Resposta: 91 é composto, 91 = 7 × 13. Verificação: 7 × 13 = 70 + 21 = 91.

Exemplo 3 — Um primo maior: 97

Enunciado: O número 97 é primo?

Resolução:

  1. Ímpar: o 2 não divide.
  2. 9 + 7 = 16, não é múltiplo de 3.
  3. Não termina em 0 nem em 5.
  4. Divisão por 7: 7 × 13 = 91 e 97 − 91 = 6. Resto 6, não serve.
  5. O próximo primo é 11, mas 11 × 11 = 121 passa de 97. Pare.

Resposta: 97 é primo. Verificação: consta da lista dos primos até 100 (o último dessa lista).

Exemplo 4 — Nível de exame: 221

Enunciado: Mostre que 221 não é um número primo.

Resolução:

  1. Como 221 é menor do que 289 (17 × 17), basta testar os primos até 13.
  2. Ímpar: o 2 não divide.
  3. 2 + 2 + 1 = 5, não é múltiplo de 3.
  4. Não termina em 0 nem em 5.
  5. Por 7: 7 × 31 = 217 e 221 − 217 = 4. Resto 4.
  6. Por 11: 11 × 20 = 220 e 221 − 220 = 1. Resto 1.
  7. Por 13: 13 × 17 = 221. Resto zero.

Resposta: 221 = 13 × 17, logo é composto. Verificação: 13 × 17 = 130 + 91 = 221.

Erros frequentes

  • Parar o teste cedo demais. Muita gente testa 2, 3 e 5, vê que não dividem e declara 91 ou 119 primos. Continue até ao limite indicado na tabela.
  • Testar divisores que não são primos (4, 6, 8, 9, 10…). Se 6 dividisse o número, o 2 já o tinha dividido. Teste só primos.
  • Somar mal os algarismos no critério do 3. Escreva a soma por extenso (2 + 2 + 1 = 5) em vez de a fazer de cabeça.
  • Supor que terminar em 1, 3, 7 ou 9 garante um primo. 21, 27, 39 e 91 terminam assim e são compostos.
  • Esquecer o 2 e o 1. O 2 é primo; o 1 não é.
  • Continuar demasiado: testar até metade do número só desperdiça tempo, embora não dê resultado errado.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

O número 51 é primo?

Ver solução

Soma dos algarismos: 5 + 1 = 6, múltiplo de 3. Logo 51 é divisível por 3: 51 = 3 × 17. Composto.

2Exercício 2

O número 53 é primo?

Ver dica

Como 53 é menor do que 121, só precisa de testar 2, 3, 5 e 7; mas o 7 só conta se 7 × 7 não ultrapassar 53.

Ver solução

Ímpar; 5 + 3 = 8 (não é múltiplo de 3); não termina em 0 nem em 5. Como 7 × 7 = 49 ≤ 53, testa-se o 7: 7 × 7 = 49 e 53 − 49 = 4, resto 4. O próximo primo, 11, tem 11 × 11 = 121 > 53, por isso pára-se aqui. 53 é primo.

3Exercício 3

Mostre que 119 não é primo.

Ver solução

Ímpar; 1 + 1 + 9 = 11 (não múltiplo de 3); não termina em 0 nem em 5. Por 7: 7 × 17 = 119. 119 = 7 × 17, composto.

4Exercício 4

O número 101 é primo? Justifique.

Ver solução

Ímpar; 1 + 0 + 1 = 2 (não múltiplo de 3); não termina em 0 nem em 5. Por 7: 7 × 14 = 98 e 101 − 98 = 3, resto 3. Como 11 × 11 = 121 > 101, termina o teste. 101 é primo.

5Exercício 5

Dos números 83, 87, 89 e 91, quais são primos? Justifique cada um.

Ver solução

83: 8 + 3 = 11 (não múltiplo de 3); por 7: 7 × 11 = 77 e 83 − 77 = 6 — primo. 87: 8 + 7 = 15, múltiplo de 3, 87 = 3 × 29 — composto. 89: 8 + 9 = 17 (não múltiplo de 3); por 7: 7 × 12 = 84 e 89 − 84 = 5 — primo. 91 = 7 × 13 — composto. Primos: 83 e 89.

Perguntas frequentes

Porque é que se pode parar quando o quadrado do primo ultrapassa o número?

Se o número tem um divisor maior do que a sua «raiz», o outro fator do par tem de ser mais pequeno do que essa raiz. Portanto, se existir algum divisor, existe um já no intervalo que testou. Passado esse ponto, só estaria a repetir pares.

Porque só se testam divisores que são primos?

Qualquer divisor composto é produto de primos mais pequenos, e esses primos também dividiriam o número. Se 6 dividisse 84, o 2 e o 3 também dividiriam. Por isso, se nenhum primo divide, nenhum composto divide.

Existe um método mais rápido?

Para listas de números (por exemplo, todos os primos até 100) o crivo de Eratóstenes é mais rápido. Para um número só, aprender de cor os primos até 100 e os critérios de 2, 3 e 5 poupa muito tempo. Com números enormes só os computadores conseguem decidir.

Este método funciona com qualquer número?

Funciona sempre, mas torna-se longo quando o número é grande, porque há mais primos a testar. Nos exercícios do ensino primário os números costumam ser pequenos, e bastam poucos testes.

Resumo

  • Elimine primeiro o 0, o 1 e os pares maiores do que 2.
  • Teste a divisão pelos primos 2, 3, 5, 7, 11… por ordem crescente.
  • Pare quando o quadrado do primo ultrapassar o número ou quando um primo dividir exatamente.
  • Um divisor exato prova que é composto; nenhum divisor até ao limite prova que é primo.
  • Até 120, basta testar os primos 2, 3, 5 e 7.

Onde aprofundar

  • O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
  • O artigo «Quais são os critérios de divisibilidade?», para treinar o 2, o 3 e o 5.
  • O manual aberto OpenStax Prealgebra (em inglês), no capítulo sobre fatores e múltiplos.

Continue a estudar

1.ª–6.ª classe8 min

Como decompor um número em fatores primos?

Divide-se o número pelo menor número primo que o divida exatamente (2, 3, 5, 7…), depois divide-se o quociente da mesma forma, até o quociente ser 1. O número é o…

3 exemplos6 exercícios com solução

1.ª–6.ª classe11 min

Quais são os critérios de divisibilidade?

Um critério de divisibilidade é uma regra que diz se um número se divide exatamente por outro sem fazer a divisão. Por 2: termina em algarismo par. Por 3 e por 9: a…

4 exemplos5 exercícios com solução

1.ª–6.ª classe9 min

O que é um número natural?

Número natural é cada um dos números que usamos para contar: 1, 2, 3, 4, 5… e assim sem fim. O conjunto dos números naturais representa-se por ℕ. Quando se inclui o…

4 exemplos5 exercícios com solução

1.ª–6.ª classe10 min

O que são os números primos?

Um número primo é um número natural maior do que 1 que tem exatamente dois divisores: o 1 e ele próprio. O 7 é primo, porque só se divide exatamente por 1 e por 7; o 9…

4 exemplos5 exercícios com solução

Ver tudo de Matemática · Capítulo: Números naturais e sistema de numeração