Matemática · 4.ª–9.ª classe
Como dividir frações?
Resposta curta
Para dividir frações, mantenha a primeira, troque o ÷ por × e inverta a segunda (o numerador passa a denominador e vice-versa); depois multiplique e simplifique. Exemplo: 2/3 ÷ 4/5 = 2/3 × 5/4 = 10/12 = 5/6. Os inteiros escrevem-se com denominador 1.
Quando se aplica
Divide-se uma fração por outra quando se quer saber quantas vezes uma quantidade cabe noutra. Quantos quartos cabem em meio? Dois, e por isso 1/2 ÷ 1/4 = 2. A regra de «inverter e multiplicar» dá o mesmo: 1/2 × 4/1 = 4/2 = 2.
O método serve para todos os casos: fração ÷ fração, fração ÷ inteiro, inteiro ÷ fração e números mistos. O que muda é só a preparação inicial: converter inteiros e mistos em frações.
O que é o inverso de um número
O inverso (ou recíproco) de a/b é b/a. Um número multiplicado pelo seu inverso dá sempre 1: 3/4 × 4/3 = 12/12 = 1.
| Número | Inverso | Porquê |
|---|---|---|
| 3/4 | 4/3 | troca-se numerador e denominador |
| 5 | 1/5 | 5 = 5/1, logo o inverso é 1/5 |
| 1/8 | 8 | 8/1 = 8 |
| 2 1/2 | 2/5 | 2 1/2 = 5/2, logo o inverso é 2/5 |
| 0 | não existe | 0/1 invertido daria 1/0, que não tem sentido |
Por este último motivo, nunca se divide por zero, e uma fração com numerador 0 não pode ser divisor.
Método passo a passo
- Converta os inteiros em n/1 e os números mistos em frações impróprias.
- Reescreva a divisão como multiplicação: mantenha a primeira fração, troque ÷ por × e inverta a segunda.
- Simplifique em cruz, mas só depois de ter feito a troca para ×.
- Multiplique os numeradores e os denominadores.
- Simplifique o resultado e, se for imprópria, escreva também o número misto.
- Verifique: multiplique o resultado pelo divisor; tem de voltar a dar o dividendo.
Divisão de frações
a/b ÷ c/d = a/b × d/c = (a × d)/(b × c) com b, c e d diferentes de 0
Atenção
Só se inverte a segunda fração (o divisor). A primeira mantém-se tal como está.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Fração dividida por fração
Enunciado: Calcule 3/4 ÷ 3/8.
Resolução:
- Mantenha 3/4, troque ÷ por × e inverta 3/8, que passa a 8/3: 3/4 × 8/3.
- Corte o 3 com o 3 (÷ 3) e o 8 com o 4 (÷ 4): fica 1/1 × 2/1.
- Multiplique: 2/1 = 2.
Resposta: 2. Verificação: 2 × 3/8 = 6/8 = 3/4. Em palavras: 3/8 cabe duas vezes em 3/4.
Exemplo 2 — Fração dividida por inteiro
Enunciado: Calcule 5/6 ÷ 10.
Resolução:
- Escreva 10 = 10/1. O seu inverso é 1/10.
- 5/6 ÷ 10/1 = 5/6 × 1/10.
- Corte o 5 com o 10 (÷ 5): fica 1/6 × 1/2 = 1/12.
Resposta: 1/12. Verificação: 1/12 × 10 = 10/12 = 5/6. Dividir por 10 uma quantidade fez o valor diminuir, como esperado.
Exemplo 3 — Números mistos
Enunciado: Calcule 2 1/2 ÷ 1 1/4.
Resolução:
- Converta: 2 1/2 = (2 × 2 + 1)/2 = 5/2 e 1 1/4 = (1 × 4 + 1)/4 = 5/4.
- Reescreva: 5/2 ÷ 5/4 = 5/2 × 4/5.
- Corte os 5 entre si e o 4 com o 2 (÷ 2): fica 1/1 × 2/1 = 2.
Resposta: 2. Verificação: 2 × 1 1/4 = 2 × 1,25 = 2,5 = 2 1/2.
Exemplo 4 — Nível de exame: inteiro dividido por fração, com resto
Enunciado: Um vendedor de Huambo tem 7 litros de óleo de palma e quer encher garrafas de 3/4 de litro. Quantas garrafas cheias consegue encher e quanto óleo sobra?
Resolução:
- Pergunta-se quantas vezes 3/4 cabe em 7: 7 ÷ 3/4 = 7/1 × 4/3 = 28/3.
- A divisão de 28 por 3 dá quociente 9 e resto 1, logo 28/3 é igual a 9 1/3. Cabem 9 garrafas inteiras, e fica 1/3 de garrafa.
- Óleo que sobra: 1/3 de 3/4 L = 1/3 × 3/4 = 1/4 L.
Resposta: 9 garrafas cheias e sobra 1/4 de litro. Verificação: 9 × 3/4 = 27/4 = 6 3/4 L e 7 − 6 3/4 = 1/4 L.
Erros frequentes
- Inverter a primeira fração, ou as duas. Em 2/3 ÷ 4/5, inverter a primeira daria 3/2 × 4/5 = 12/10 = 6/5, mas o certo é 5/6. Inverte-se apenas o divisor.
- Inverter e esquecer de trocar o sinal, ficando com 2/3 ÷ 5/4. A inversão só se justifica com a multiplicação.
- Cortar em cruz antes de trocar para ×. Em 6/5 ÷ 3/10, cortar o 6 com o 10 daria 3/5 ÷ 3/5 = 1, mas a resposta certa é 6/5 × 10/3 = 60/15 = 4.
- Não inverter o inteiro. Em 5/6 ÷ 10, o divisor 10 = 10/1 passa a 1/10; deixá-lo como 10 daria 50/6, um valor absurdo para dividir por 10.
- Pensar que dividir diminui sempre. Dividir por uma fração menor do que 1 aumenta o valor: 3/4 ÷ 3/8 = 2, que é maior do que 3/4.
- Esquecer a unidade e o resto nos problemas, como no caso das garrafas: «9 1/3 garrafas» não é uma resposta com sentido; interprete o resultado.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Calcule 3/5 ÷ 9/10.
Ver solução
3/5 × 10/9. Corte o 3 com o 9 (÷ 3) e o 10 com o 5 (÷ 5): fica 1/1 × 2/3 = 2/3. Verificação: 2/3 × 9/10 = 18/30 = 3/5.
2Exercício 2
Calcule 4/7 ÷ 8.
Ver solução
4/7 × 1/8. Corte o 4 com o 8 (÷ 4): fica 1/7 × 1/2 = 1/14. Verificação: 1/14 × 8 = 8/14 = 4/7.
3Exercício 3
Calcule 5 ÷ 2/3 e escreva o resultado como número misto.
Ver dica
5 = 5/1 e o inverso de 2/3 é 3/2.
Ver solução
5/1 × 3/2 = 15/2 = 7 1/2 (porque a divisão de 15 por 2 dá quociente 7 e resto 1). Resposta: 7 1/2. Verificação: 7 1/2 × 2/3 = 15/2 × 2/3 = 5.
4Exercício 4
Calcule 3 1/3 ÷ 1 2/3.
Ver solução
3 1/3 = 10/3 e 1 2/3 = 5/3. Então 10/3 ÷ 5/3 = 10/3 × 3/5. Corte os 3 entre si e o 10 com o 5: fica 2/1 × 1/1 = 2. Verificação: 2 × 5/3 = 10/3.
5Exercício 5
Um saco de arroz de 12 kg é repartido em pacotes de 3/4 de kg. Quantos pacotes se obtêm? Se cada pacote for vendido a 450 Kz, quanto rendem todos?
Ver solução
12 ÷ 3/4 = 12/1 × 4/3 = 48/3 = 16 pacotes. Rendimento: 16 × 450 = 7 200 Kz. Verificação: 16 × 3/4 = 12 kg.
Perguntas frequentes
Porque é que se inverte a segunda fração?
Porque dividir por uma quantidade equivale a multiplicar pelo seu inverso. Dividir por 1/4 pergunta «quantos quartos cabem?», e em cada unidade cabem 4 quartos, por isso multiplica-se por 4. O inverso de 1/4 é precisamente 4/1.
Qual é o inverso de um número inteiro ou de um misto?
O inverso de um inteiro n é 1/n: o de 4 é 1/4. Para um misto, converta primeiro em fração imprópria e depois troque numerador e denominador: 1 1/2 = 3/2 tem inverso 2/3.
Existe um método mais rápido?
Quando os numeradores e os denominadores se dividem exatamente, pode dividir-se «em linha»: 6/10 ÷ 3/5 = (6 ÷ 3)/(10 ÷ 5) = 2/2 = 1. Quando não se dividem, esse atalho cria frações dentro de frações; o método de inverter e multiplicar é o que funciona sempre.
Dividir por uma fração dá sempre um número maior?
Só quando a fração é menor do que 1. Dividir 6 por 1/2 dá 12, mas dividir 6 por 3/2 dá 6 × 2/3 = 4, que é menor. Compare sempre o divisor com 1 para prever o sentido do resultado.
Resumo
- Dividir frações é multiplicar a primeira pelo inverso da segunda.
- Inverte-se só o divisor; o dividendo mantém-se, e o ÷ passa a ×.
- Inteiros são n/1 (inverso 1/n) e mistos convertem-se em frações impróprias antes de inverter.
- Corte em cruz só depois de trocar para a multiplicação.
- Verifique multiplicando o quociente pelo divisor, e nunca divida por zero.
Onde aprofundar
- O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
- A Khan Academy, nos exercícios de divisão de frações e números mistos.
- O manual aberto OpenStax Prealgebra (em inglês), secção sobre a divisão de frações.
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