Matemática · 1.ª–6.ª classe

Como fazer a prova dos nove?

  • 10 min de leitura
  • 5 exemplos resolvidos
  • 5 exercícios com solução
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Resposta curta

A prova dos nove é um teste rápido de uma conta. Troca-se cada número pelo seu «noves fora» (a soma dos algarismos, repetida até sobrar um só algarismo), faz-se a mesma operação com esses valores e compara-se com o «noves fora» do resultado. Se forem diferentes, há erro; se forem iguais, a conta provavelmente está certa, mas isso não é garantido.

O que é o «noves fora»

O noves fora de um número é o resto da sua divisão por 9. Calcula-se somando os algarismos e repetindo a soma até ficar um só algarismo:

  • 358: 3 + 5 + 8 = 16; 1 + 6 = 7. O noves fora de 358 é 7.
  • 476: 4 + 7 + 6 = 17; 1 + 7 = 8. O noves fora de 476 é 8.
  • 834: 8 + 3 + 4 = 15; 1 + 5 = 6. O noves fora de 834 é 6.

Como o nome sugere, pode «tirar nove» pelo caminho: cortar os algarismos 9 e os pares que somam 9 (4 e 5, 2 e 7, 1 e 8, 3 e 6) torna a soma mais curta. Um número cuja soma dê 9 tem noves fora igual a 0; use 9 e 0 como se fossem o mesmo valor.

Porque funciona

Cada 10, 100, 1 000… deixa resto 1 na divisão por 9. Por isso um número deixa o mesmo resto que a soma dos seus algarismos. E como somar, subtrair e multiplicar restos dá o resto do resultado, a conta feita com os noves fora tem de «bater certo» com o resultado.

Método passo a passo

  1. Faça a conta normalmente e guarde o resultado.
  2. Calcule o noves fora de cada número da conta (os dois termos).
  3. Faça a mesma operação com esses noves fora (soma, subtração, multiplicação…).
  4. Se o resultado tiver dois algarismos, tire noves fora outra vez.
  5. Calcule o noves fora do resultado da conta do passo 1.
  6. Compare os valores dos passos 4 e 5. Se forem diferentes, há um erro.

Como se aplica a cada operação

Soma: nf(a) + nf(b) deve dar nf(c) · Multiplicação: nf(a) × nf(b) deve dar nf(c) Subtração: nf(a) − nf(b) deve dar nf(c) (se der negativo, junte 9 a nf(a)) Divisão com resto D = d × q + r: nf(d) × nf(q) + nf(r) deve dar nf(D)

Nas fórmulas, «nf» quer dizer «noves fora» e «c» é o resultado da conta.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Prova de uma adição

Enunciado: Confirme com a prova dos nove que 358 + 476 = 834.

Resolução:

  1. nf de 358: 7 e nf de 476: 8.
  2. Soma dos noves fora: 7 + 8 = 15; tirando noves fora, 1 + 5 = 6.
  3. nf de 834: 8 + 3 + 4 = 15; 1 + 5 = 6.

Resposta: 6 = 6, a conta passa na prova. Verificação: 834 − 476 = 358.

Exemplo 2 — Prova de uma subtração

Enunciado: Confirme que 703 − 458 = 245.

Resolução:

  1. nf de 703: 7 + 0 + 3 = 10; 1 + 0 = 1.
  2. nf de 458: 4 + 5 + 8 = 17; 1 + 7 = 8.
  3. Subtração: 1 − 8 dá negativo, por isso junta-se 9 ao 1: 10 − 8 = 2.
  4. nf de 245: 2 + 4 + 5 = 11; 1 + 1 = 2.

Resposta: 2 = 2, a conta passa na prova. Verificação: 245 + 458 = 703.

Exemplo 3 — Prova de uma multiplicação

Enunciado: Confirme que 46 × 23 = 1 058.

Resolução:

  1. nf de 46: 4 + 6 = 10; 1 + 0 = 1.
  2. nf de 23: 2 + 3 = 5.
  3. Produto dos noves fora: 1 × 5 = 5.
  4. nf de 1 058: 1 + 0 + 5 + 8 = 14; 1 + 4 = 5.

Resposta: 5 = 5, a conta passa na prova. Verificação: 1 058 ÷ 23 = 46.

Exemplo 4 — A prova encontra um erro

Enunciado: Um aluno calculou 238 × 145 = 34 520. A prova dos nove confirma?

Resolução:

  1. nf de 238: 2 + 3 + 8 = 13; 1 + 3 = 4.
  2. nf de 145: 1 + 4 + 5 = 10; 1 + 0 = 1.
  3. Produto: 4 × 1 = 4.
  4. nf de 34 520: 3 + 4 + 5 + 2 + 0 = 14; 1 + 4 = 5.
  5. 4 é diferente de 5.

Resposta: não confirma; a conta tem um erro. Verificação: o valor certo é 34 510, e nf de 34 510: 3 + 4 + 5 + 1 + 0 = 13; 1 + 3 = 4, que coincide com o produto dos noves fora.

Exemplo 5 — Prova de uma divisão com resto

Enunciado: Confirme que 1 234 ÷ 12 dá quociente 102 e resto 10.

Resolução:

  1. A relação é D = d × q + r, ou seja, 1 234 = 12 × 102 + 10.
  2. nf de 12: 3; nf de 102: 1 + 0 + 2 = 3; nf de 10: 1.
  3. nf(d) × nf(q) + nf(r) = 3 × 3 + 1 = 10; 1 + 0 = 1.
  4. nf de 1 234: 1 + 2 + 3 + 4 = 10; 1 + 0 = 1.

Resposta: 1 = 1, a divisão passa na prova. Verificação: 12 × 102 = 1 224 e 1 224 + 10 = 1 234.

Atenção

A prova dos nove não garante que a conta está certa. Se 46 × 23 for escrito como 1 085 (algarismos trocados), o noves fora é 1 + 0 + 8 + 5 = 14, 1 + 4 = 5, igual ao esperado, e o erro passa despercebido. A prova também não deteta um zero a mais ou a menos, nem erros que sejam múltiplos de 9.

Erros frequentes

  • Achar que «bateu certo» quer dizer «está certo». Só significa que não encontrou erro por este processo.
  • Esquecer de tirar noves fora ao resultado da operação com os noves fora. 7 + 8 = 15 não se compara diretamente: tem de passar a 6.
  • Tratar 9 e 0 como valores diferentes. Um lado pode dar 9 e o outro 0; são equivalentes.
  • Subtrair ao contrário quando nf(a) é menor do que nf(b). Junte 9 ao primeiro antes de subtrair.
  • Somar mal os algarismos. Uma soma errada gera um falso erro (ou um falso acerto). Repita a soma.
  • Esquecer o resto na prova da divisão. O resto entra a somar: nf(d) × nf(q) + nf(r); sem ele, a prova falha mesmo com a divisão certa.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Use a prova dos nove para verificar 276 + 358 = 634.

Ver solução

nf de 276: 2 + 7 + 6 = 15, 1 + 5 = 6. nf de 358: 7. Soma: 6 + 7 = 13, 1 + 3 = 4. nf de 634: 6 + 3 + 4 = 13, 1 + 3 = 4. 4 = 4: passa na prova.

2Exercício 2

Use a prova dos nove para verificar 52 × 17 = 884.

Ver solução

nf de 52: 7; nf de 17: 8. Produto: 7 × 8 = 56, 5 + 6 = 11, 1 + 1 = 2. nf de 884: 8 + 8 + 4 = 20, 2 + 0 = 2. 2 = 2: passa na prova. Confirmação: 52 × 17 = 520 + 364 = 884.

3Exercício 3

Um aluno escreveu 789 × 12 = 9 478. Mostre com a prova dos nove que há um erro e indique o valor correto.

Ver dica

Lembre-se de que o noves fora 9 é o mesmo que 0.

Ver solução

nf de 789: 7 + 8 + 9 = 24, 2 + 4 = 6. nf de 12: 3. Produto: 6 × 3 = 18, 1 + 8 = 9, que equivale a 0. nf de 9 478: 9 + 4 + 7 + 8 = 28, 2 + 8 = 10, 1 + 0 = 1. Como 0 (ou 9) é diferente de 1, há um erro. O valor correto é 789 × 12 = 7 890 + 1 578 = 9 468, e nf de 9 468: 27, 2 + 7 = 9, que equivale a 0.

4Exercício 4

Confirme com a prova dos nove que 3 456 ÷ 25 dá quociente 138 e resto 6.

Ver solução

nf de 25: 7; nf de 138: 1 + 3 + 8 = 12, 1 + 2 = 3; nf de 6: 6. Calcula-se 7 × 3 + 6 = 27, 2 + 7 = 9, que equivale a 0. nf de 3 456: 3 + 4 + 5 + 6 = 18, 1 + 8 = 9, que equivale a 0. 0 = 0: passa na prova. Confirmação: 25 × 138 = 3 450 e 3 450 + 6 = 3 456.

5Exercício 5

Calculando 45 + 36, uma colega escreveu 18 (em vez de 81). A prova dos nove deteta o erro? O que mostra este caso?

Ver solução

nf de 45: 9, equivalente a 0. nf de 36: 9, equivalente a 0. Soma: 0 + 0 = 0. nf de 18: 1 + 8 = 9, equivalente a 0. Os valores coincidem, por isso a prova não deteta o erro (o resultado certo é 81, cujo noves fora também é 0). Mostra que a prova dos nove não deteta a troca de ordem dos algarismos.

Perguntas frequentes

Porque se chama «prova dos nove»?

Porque se tiram os noves de cada número (o «noves fora»). Fica-se apenas com o resto da divisão por 9, que é um valor de 0 a 8 (o 9 conta como 0), e é com esses restos que se verifica a conta.

A prova dos nove garante que a conta está certa?

Não. Se der valores diferentes, tem a certeza de que há erro. Se der valores iguais, a conta pode estar certa, mas pode ter erros que a prova não vê, como algarismos trocados ou zeros a mais.

Qual é a diferença entre a prova dos nove e a prova real?

A prova real refaz a conta com a operação inversa (por exemplo, tirar uma parcela ao total) e confirma o valor exato. A prova dos nove é mais rápida, mas menos segura. Pode usar as duas.

Funciona com a subtração e a divisão?

Sim. Na subtração, se o noves fora do aditivo for menor do que o do subtrativo, junte 9 antes de subtrair. Na divisão, usa-se a relação dividendo = divisor × quociente + resto, como no Exemplo 5.

Resumo

  • O noves fora de um número obtém-se somando os algarismos até restar um só (9 conta como 0).
  • Faz-se a mesma operação com os noves fora e compara-se com o noves fora do resultado.
  • Valores diferentes provam que há erro; valores iguais não provam que a conta está certa.
  • A prova não deteta algarismos trocados, zeros a mais ou a menos nem erros múltiplos de 9.
  • Na subtração, junte 9 se for preciso; na divisão, use D = d × q + r.

Onde aprofundar

  • O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
  • Os artigos sobre multiplicação de números com vários algarismos e sobre divisões com resto, para treinar contas a provar.
  • O manual aberto OpenStax Prealgebra (em inglês), para rever a divisibilidade e os restos.

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