Matemática · 1.ª–6.ª classe
Como fazer subtrações com empréstimo?
Resposta curta
Subtraia coluna a coluna, da direita para a esquerda. Quando o algarismo de cima é menor do que o de baixo, «peça emprestada» uma dezena à coluna da esquerda: o algarismo de cima ganha 10 e a coluna que emprestou perde 1. Exemplo: 52 − 27: em 2 − 7 pede-se uma dezena, 12 − 7 = 5; depois 4 − 2 = 2. O resultado é 25.
Quando se aplica
A subtração tem três termos. Em 52 − 27 = 25, o 52 é o aditivo (também chamado minuendo), o 27 é o subtrativo (ou subtraendo) e o 25 é a diferença ou resto.
O empréstimo é necessário sempre que, numa coluna, o algarismo do aditivo é menor do que o do subtrativo. Em 52 − 27, na coluna das unidades temos 2 − 7, que não se pode fazer com números naturais. A solução é «desfazer» uma dezena do 5: uma dezena vale 10 unidades, e essas 10 unidades juntam-se às 2 que já lá estão.
O que acontece, de facto, no empréstimo
O aditivo 52 é 5 dezenas e 2 unidades. Depois de pedir emprestada uma dezena, fica 4 dezenas e 12 unidades, que continua a ser o mesmo número (40 + 12 = 52). Só mudámos a forma de o escrever, para que a coluna das unidades já permita subtrair 7.
| dezenas | unidades | |
|---|---|---|
| aditivo | 4 (era 5) | 12 (era 2) |
| subtrativo | 2 | 7 |
| diferença | 2 | 5 |
Método passo a passo
- Alinhe os números pela direita (aditivo em cima, subtrativo em baixo).
- Comece pelas unidades. Compare o algarismo de cima com o de baixo.
- Se o de cima for igual ou maior, subtraia e escreva a diferença.
- Se o de cima for menor, peça emprestada uma dezena (uma unidade da ordem seguinte): risque o algarismo da esquerda e escreva-o menos 1; ao algarismo de cima junte 10 (escreva-o à frente, por exemplo 2 passa a 12).
- Subtraia e escreva a diferença. Passe à coluna seguinte e repita.
- Se o algarismo da esquerda for 0, não pode emprestar: continue para a esquerda até encontrar um algarismo diferente de zero. Ele empresta uma unidade; os zeros intermédios ficam 9 e o último ganha 10.
- Faça a prova real: diferença + subtrativo = aditivo.
Outra maneira: contar a partir do número pequeno
Para contas pequenas, pode pensar «quanto falta de 27 até 52?». De 27 a 30 são 3; de 30 a 52 são 22; ao todo 3 + 22 = 25.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Um empréstimo
Enunciado: Calcule 52 − 27.
Resolução:
- Unidades: 2 < 7. Pede-se uma dezena ao 5, que passa a 4, e o 2 passa a 12.
- 12 − 7 = 5.
- Dezenas: 4 − 2 = 2.
Resposta: 52 − 27 = 25. Verificação: 25 + 27 = 52.
Exemplo 2 — Zero na casa do meio
Enunciado: Calcule 703 − 458.
Resolução:
- Unidades: 3 < 8. A casa das dezenas tem 0 e não pode emprestar.
- Recorre-se às centenas: o 7 passa a 6 e o 0 das dezenas passa a 10.
- As dezenas emprestam então uma ao 3 das unidades: ficam 9 dezenas e as unidades passam a 13.
- Unidades: 13 − 8 = 5. Dezenas: 9 − 5 = 4. Centenas: 6 − 4 = 2.
Resposta: 703 − 458 = 245. Verificação: 245 + 458 = 703.
Exemplo 3 — Vários zeros seguidos
Enunciado: Calcule 5 000 − 1 764.
Resolução:
- Os três zeros não podem emprestar; empresta o 5 dos milhares, que passa a 4.
- As centenas ficam 9, as dezenas ficam 9 e as unidades ficam 10 (cada casa empresta uma à da direita e fica 9, exceto a última, que fica com 10).
- Unidades: 10 − 4 = 6. Dezenas: 9 − 6 = 3. Centenas: 9 − 7 = 2. Milhares: 4 − 1 = 3.
Resposta: 5 000 − 1 764 = 3 236. Verificação: 3 236 + 1 764 = 5 000.
Exemplo 4 — Empréstimo em três colunas
Enunciado: Calcule 4 321 − 2 874.
Resolução:
- Unidades: 1 < 4. O 2 das dezenas passa a 1 e o 1 passa a 11. 11 − 4 = 7.
- Dezenas: 1 < 7. O 3 das centenas passa a 2 e o 1 passa a 11. 11 − 7 = 4.
- Centenas: 2 < 8. O 4 dos milhares passa a 3 e o 2 passa a 12. 12 − 8 = 4.
- Milhares: 3 − 2 = 1.
Resposta: 4 321 − 2 874 = 1 447. Verificação: 1 447 + 2 874 = 4 321.
Exemplo 5 — Problema do camião
Enunciado: Um camião transportava 12 500 kg de milho e descarregou 4 875 kg no Huambo. Quantos quilogramas ficaram no camião?
Resolução:
- É uma situação de «tirar»: 12 500 − 4 875.
- Unidades e dezenas são zeros: o 5 das centenas passa a 4, as dezenas ficam 9 e as unidades 10.
- Unidades: 10 − 5 = 5. Dezenas: 9 − 7 = 2.
- Centenas: 4 < 8; o 2 dos milhares passa a 1 e o 4 passa a 14. 14 − 8 = 6.
- Milhares: 1 < 4; o 1 das dezenas de milhar passa a 0 e o 1 passa a 11. 11 − 4 = 7.
Resposta: ficaram 7 625 kg. Verificação: 7 625 + 4 875 = 12 500.
Erros frequentes
- Subtrair sempre o menor do maior, em cada coluna. Em 52 − 27, fazer 7 − 2 = 5 e 5 − 2 = 3 dá 35, que está errado (o certo é 25). A ordem dos termos conta: de cima menos de baixo.
- Pedir emprestado e não reduzir o vizinho. Se o 5 não passa a 4, a conta fica 10 unidades acima do valor correto.
- Pedir emprestado quando não é preciso. Se o algarismo de cima é igual ou maior do que o de baixo, subtrai-se diretamente.
- Esquecer os noves. Com zeros seguidos, os zeros do meio ficam 9, e só o último ganha 10.
- Juntar 1 em vez de 10 ao algarismo que recebe o empréstimo. A dezena emprestada vale 10 unidades.
- Não fazer a prova real. Somar a diferença ao subtrativo apanha quase todos os erros.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Calcule 83 − 46.
Ver solução
Unidades: 3 < 6. O 8 passa a 7 e o 3 passa a 13. 13 − 6 = 7. Dezenas: 7 − 4 = 3. 37. Prova real: 37 + 46 = 83.
2Exercício 2
Calcule 600 − 245.
Ver solução
O 6 passa a 5; as dezenas ficam 9; as unidades ficam 10. Unidades: 10 − 5 = 5. Dezenas: 9 − 4 = 5. Centenas: 5 − 2 = 3. 355. Prova real: 355 + 245 = 600.
3Exercício 3
Calcule 3 052 − 1 786.
Ver dica
O zero das centenas obriga a recorrer aos milhares.
Ver solução
Unidades: 2 < 6; o 5 das dezenas passa a 4 e o 2 passa a 12; 12 − 6 = 6. Dezenas: 4 < 8; o zero das centenas não empresta, por isso o 3 dos milhares passa a 2, as centenas ficam 10 e emprestam uma às dezenas, ficando 9; as dezenas passam a 14; 14 − 8 = 6. Centenas: 9 − 7 = 2. Milhares: 2 − 1 = 1. 1 266. Prova real: 1 266 + 1 786 = 3 052.
4Exercício 4
Calcule 20 000 − 7 805.
Ver solução
Os quatro algarismos finais são 0 0 0 0: o 2 passa a 1, as quatro casas seguintes ficam 9, 9, 9 e 10. Contando por ordens: unidades 10 − 5 = 5; dezenas 9 − 0 = 9; centenas 9 − 8 = 1; milhares 9 − 7 = 2; dezenas de milhar 1 − 0 = 1. 12 195. Prova real: 12 195 + 7 805 = 20 000.
5Exercício 5
Uma escola tinha 3 200 cadernos e distribuiu 1 475 pelos alunos novos. Quantos cadernos ficaram? Faça a prova real.
Ver solução
Cadernos que ficaram = 3 200 − 1 475. Unidades: 0 − 5, empresta-se pela cadeia de zeros: o 2 das centenas passa a 1, as dezenas ficam 9 e as unidades 10. Unidades: 10 − 5 = 5. Dezenas: 9 − 7 = 2. Centenas: 1 < 4; o 3 dos milhares passa a 2 e o 1 passa a 11; 11 − 4 = 7. Milhares: 2 − 1 = 1. Ficaram 1 725 cadernos. Prova real: 1 725 + 1 475 = 3 200.
Perguntas frequentes
Porque é que se «pede emprestado» 10 e não 1?
O que se empresta é uma unidade da ordem seguinte, e essa unidade vale 10 da ordem atual: uma dezena vale 10 unidades, uma centena vale 10 dezenas. Escreve-se 1 a menos na coluna que empresta e junta-se 10 à coluna que recebe.
Posso subtrair um número maior de um número menor?
Com números naturais, não: 25 − 52 não tem resultado natural. Mais tarde, no estudo dos números inteiros, aprende-se que essa conta dá um número negativo. Por agora, o aditivo tem de ser maior ou igual ao subtrativo.
Como faço quando há zeros no aditivo?
Procure à esquerda o primeiro algarismo diferente de zero, que empresta uma unidade. Cada zero pelo caminho passa a 9 (depois de emprestar à casa seguinte), e o último ganha 10. É o caso de 5 000 − 1 764, resolvido acima.
Há uma forma de subtrair sem pedir emprestado?
Sim: pode contar a partir do subtrativo até ao aditivo ou decompor a conta. Por exemplo, 52 − 27 = 52 − 20 − 7 = 32 − 7 = 25. Para números grandes, a conta em coluna com empréstimo continua a ser a mais segura.
Resumo
- Subtraia da direita para a esquerda, de cima menos de baixo.
- Se o algarismo de cima for menor, peça uma unidade à coluna da esquerda: esta fica menos 1 e a de cima ganha 10.
- Com zeros pelo caminho, procure à esquerda um algarismo não nulo: os zeros do meio passam a 9 e o último a 10.
- Os termos chamam-se aditivo, subtrativo e diferença.
- Prova real: diferença + subtrativo = aditivo.
Onde aprofundar
- O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
- O artigo sobre adições com transporte, a operação inversa.
- O manual aberto OpenStax Prealgebra (em inglês), secção sobre a subtração de números inteiros não negativos.
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