Matemática · 1.ª–6.ª classe

O que é a propriedade distributiva?

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Resposta curta

A propriedade distributiva diz que multiplicar um número por uma soma (ou por uma diferença) dá o mesmo resultado que multiplicar esse número por cada parcela e depois somar (ou subtrair) os produtos. Em símbolos: a × (b + c) = a × b + a × c. Exemplo: 6 × 13 dá o mesmo que 6 × 10 + 6 × 3, ou seja, 60 + 18 = 78.

Definição e características

«Distribuir» é repartir: o número que está de fora dos parênteses reparte-se por cada parcela de dentro. Há duas versões que vai usar no dia a dia:

Propriedade distributiva da multiplicação

Em relação à adição: a × (b + c) = a × b + a × c Em relação à subtração: a × (b − c) = a × b − a × c (com b maior ou igual a c, nos números naturais)

Como a multiplicação é comutativa, também vale com o fator do outro lado: (b + c) × a = b × a + c × a.

Características

  • Liga duas operações: a multiplicação e a adição (ou a subtração).
  • Funciona nos dois sentidos. Da esquerda para a direita chama-se expandir (desfazer os parênteses); da direita para a esquerda chama-se pôr em evidência (ou colocar o fator comum em evidência).
  • É a razão pela qual o algoritmo escrito da multiplicação funciona: 23 × 14 = 23 × (10 + 4) = 230 + 92 = 322.

Como se distingue de propriedades parecidas

PropriedadeO que garanteExemplo
Comutativaa ordem dos fatores não altera o produto3 × 5 e 5 × 3 dão ambos 15
Associativao agrupamento dos fatores não altera o produto(2 × 3) × 4 e 2 × (3 × 4) dão ambos 24
Distributivaa multiplicação reparte-se pela soma ou diferença4 × (5 + 2) e 4 × 5 + 4 × 2 dão ambos 28

O que a propriedade não permite

  • A adição não se distribui pela multiplicação. 2 + 3 × 4 vale 14, mas (2 + 3) × (2 + 4) vale 30.
  • Um número não se divide por uma soma parcela a parcela. 12 ÷ (2 + 4) vale 2, mas 12 ÷ 2 + 12 ÷ 4 vale 9. Já uma soma dividida por um número pode distribuir-se: (12 + 8) ÷ 4 = 12 ÷ 4 + 8 ÷ 4 = 5.

Como aplicar, passo a passo

  1. Escolha o número a decompor. Procure um fator difícil e parta-o numa soma de números fáceis (dezenas e unidades) ou numa diferença com um número «redondo»: 15 = 10 + 5 ou 98 = 100 − 2.
  2. Multiplique o outro fator por cada parcela, uma de cada vez.
  3. Some (ou subtraia) os produtos parciais, respeitando o sinal que estava dentro dos parênteses.
  4. Verifique com outro caminho (por exemplo, a multiplicação direta ou a operação inversa).

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Calcular de cabeça com uma soma

Enunciado: Calcule 7 × 15 usando a propriedade distributiva.

Resolução:

  1. Decomponha 15 em 10 + 5, para ficar 7 × (10 + 5).
  2. Multiplique 7 por cada parcela: 7 × 10 = 70 e 7 × 5 = 35.
  3. Some: 70 + 35 = 105.

Resposta: 7 × 15 = 105. Verificação: 15 × 7 são sete parcelas de 15; 15 + 15 + 15 = 45, mais 45 dá 90, mais 15 dá 105.

Exemplo 2 — No mercado

Enunciado: A Sofia compra 4 sacos de farinha a 350 Kz cada. Quanto paga, no total?

Resolução:

  1. Decomponha 350 em 300 + 50, ficando 4 × (300 + 50).
  2. 4 × 300 = 1 200 e 4 × 50 = 200.
  3. Some: 1 200 + 200 = 1 400.

Resposta: a Sofia paga 1 400 Kz. Verificação: 350 + 350 = 700 e 700 + 700 = 1 400.

Exemplo 3 — Com uma diferença

Enunciado: Calcule 12 × 98 de cabeça.

Resolução:

  1. 98 está perto de 100: escreva 98 como 100 − 2, ficando 12 × (100 − 2).
  2. 12 × 100 = 1 200 e 12 × 2 = 24.
  3. Subtraia: 1 200 − 24 = 1 176.

Resposta: 12 × 98 = 1 176. Verificação: 1 176 + 24 = 1 200, que é 12 × 100.

Exemplo 4 — Nível de exame: pôr em evidência

Enunciado: Calcule 6 × 47 + 6 × 53 sem fazer os dois produtos.

Resolução:

  1. O fator 6 repete-se nas duas parcelas: é o fator comum.
  2. Ponha-o em evidência: 6 × 47 + 6 × 53 = 6 × (47 + 53).
  3. 47 + 53 = 100.
  4. 6 × 100 = 600.

Resposta: 600. Verificação: 6 × 47 = 282, 6 × 53 = 318 e 282 + 318 = 600.

Importância e aplicações

  • Cálculo mental e trocos. Quem decompõe os números calcula contas de compras sem papel nem calculadora.
  • Áreas. Um terreno retangular de 5 m de largura e 12 m de comprimento pode dividir-se em duas partes de 8 m e 4 m de comprimento. As áreas somam 5 × 8 + 5 × 4 = 40 + 20 = 60 m², o mesmo que 5 × 12.
  • Multiplicação escrita. Cada linha parcial do algoritmo é um produto distribuído.
  • Álgebra. Mais tarde, expressões como 3 × (x + 2) resolvem-se com esta mesma propriedade: 3x + 6.

Erros frequentes

  • Multiplicar só a primeira parcela. Quem calcula 3 × (4 + 5) como 3 × 4 + 5 obtém 17; o certo é 3 × 4 + 3 × 5, que dá 27.
  • Trocar o sinal da subtração. Em 12 × (10 − 2), o resultado é 120 − 24 = 96 e não 120 + 24. Mantém-se o sinal de dentro dos parênteses.
  • Distribuir a adição pela multiplicação. Só a multiplicação se distribui; 2 + 3 × 4 não se transforma em (2 + 3) × (2 + 4).
  • Distribuir um número dividido por uma soma. 12 ÷ (2 + 4) não é 12 ÷ 2 + 12 ÷ 4.
  • Decompor mal o número. Escrever 15 como 10 + 6 muda o valor; confirme que a soma das parcelas dá o número de partida.
  • Esquecer-se de multiplicar todas as parcelas quando há três ou mais dentro dos parênteses.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Calcule 9 × 12 usando a propriedade distributiva.

Ver dica

Escreva 12 como 10 + 2.

Ver solução

9 × 12 = 9 × (10 + 2) = 9 × 10 + 9 × 2 = 90 + 18 = 108.

2Exercício 2

Calcule 15 × 102 de cabeça.

Ver solução

102 = 100 + 2. Então 15 × 102 = 15 × 100 + 15 × 2 = 1 500 + 30 = 1 530.

3Exercício 3

Calcule 25 × 98 de cabeça.

Ver dica

Escreva 98 como 100 − 2.

Ver solução

25 × 98 = 25 × (100 − 2) = 25 × 100 − 25 × 2 = 2 500 − 50 = 2 450.

4Exercício 4

Calcule 28 × 15 + 28 × 5 pondo o fator comum em evidência.

Ver solução

O fator comum é 28: 28 × 15 + 28 × 5 = 28 × (15 + 5) = 28 × 20 = 560. Verificação: 28 × 15 = 420, 28 × 5 = 140 e 420 + 140 = 560.

5Exercício 5

Um aluno calculou 8 × (20 + 7) fazendo 8 × 20 + 7 e obteve 167. Onde errou? Qual é o valor correto?

Ver solução

Multiplicou o 8 apenas pela primeira parcela. O 8 tem de multiplicar também o 7: 8 × (20 + 7) = 8 × 20 + 8 × 7 = 160 + 56 = 216. Verificação: 8 × 27 = 216.

Perguntas frequentes

Qual é a diferença entre a propriedade distributiva e a comutativa?

A comutativa troca a ordem dos fatores (3 × 5 é o mesmo que 5 × 3). A distributiva reparte um fator pelas parcelas de uma soma ou diferença. Só a distributiva envolve duas operações ao mesmo tempo.

Onde se aplica a propriedade distributiva na prática?

Em compras e trocos, no cálculo de áreas por partes, na multiplicação escrita e, mais tarde, na álgebra, ao desfazer ou fatorizar expressões com letras. Quando calcula 6 × 19 como 6 × 20 − 6, está a usá-la.

A propriedade distributiva vale para a divisão?

Em parte. Uma soma dividida por um número pode distribuir-se: (12 + 8) ÷ 4 é 12 ÷ 4 + 8 ÷ 4. Mas um número dividido por uma soma não: 12 ÷ (2 + 4) não é 12 ÷ 2 + 12 ÷ 4.

Que erros se cometem mais com a propriedade distributiva?

O mais comum é multiplicar apenas a primeira parcela e deixar a segunda como estava. Verifique sempre que o fator de fora aparece tantas vezes quantas as parcelas de dentro.

Resumo

  • a × (b + c) = a × b + a × c: a multiplicação distribui-se pela soma e pela diferença.
  • Pode usar-se para expandir (desfazer parênteses) ou para pôr em evidência (fator comum).
  • Decomponha números difíceis em parcelas fáceis (15 = 10 + 5) ou em «redondo menos pouco» (98 = 100 − 2).
  • A adição não se distribui pela multiplicação, e um número não se divide por uma soma parcela a parcela.
  • É a base do cálculo mental, da multiplicação escrita e da álgebra.

Onde aprofundar

  • O manual escolar da sua classe e o programa oficial de Matemática do ensino primário (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
  • O seu professor, para ver como a escola nomeia as propriedades da multiplicação (comutativa, associativa e distributiva).
  • Artigos relacionados do MeuGuia Estudante sobre a tabuada e sobre expressões numéricas.

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