Matemática · 7.ª–9.ª classe
Como resolver equações com parênteses?
Resposta curta
Primeiro elimine os parênteses, multiplicando o número que está à frente por cada termo lá dentro (propriedade distributiva), com atenção ao sinal. Depois resolva como uma equação do 1.º grau normal. Por exemplo, 2(x + 3) = 14 passa a 2x + 6 = 14, logo 2x = 8 e x = 4.
Quando se aplica
Aplica-se a equações em que há expressões entre parênteses multiplicadas por um número ou precedidas de um sinal, como 3(x − 2) = 2x + 5 ou 5x − (2x − 3) = 18. Os parênteses «escondem» termos com a incógnita, por isso têm de ser desfeitos antes de se separar x dos números.
Pré-requisitos
Precisa de saber multiplicar números com sinais (regra dos sinais), resolver equações simples do 1.º grau e reduzir termos semelhantes.
Propriedade distributiva e regra do sinal menos
a(b + c) = ab + ac a(b − c) = ab − ac −(b + c) = −b − c −(b − c) = −b + c
Método passo a passo
- Desfaça os parênteses: multiplique o fator exterior por todos os termos do interior. Se o fator for negativo, ou houver só um sinal «−» antes do parêntese, troque o sinal de cada termo.
- Reduza os termos semelhantes em cada membro.
- Separe: termos com x num membro, números no outro, trocando o sinal de quem muda de lado.
- Divida pelo coeficiente de x.
- Verifique substituindo na equação original (com os parênteses!).
A regra do sinal menos
Em 5x − (2x − 3), o «−» à frente do parêntese afeta os dois termos: −(2x) dá −2x e −(−3) dá +3. Por isso fica 5x − 2x + 3. Esta é a fonte de erro mais comum.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Parêntese multiplicado por um número
Enunciado: Resolva 2(x + 3) = 14.
Resolução:
- Distribua o 2: 2x + 6 = 14.
- Passe o 6: 2x = 14 − 6 = 8.
- Divida por 2: x = 4.
Resposta: x = 4. Verificação: 2 × (4 + 3) = 2 × 7 = 14.
Exemplo 2 — Parêntese e incógnita no outro membro
Enunciado: Resolva 3(x − 2) = 2x + 5.
Resolução:
- Distribua o 3: 3x − 6 = 2x + 5.
- Separe: 3x − 2x = 5 + 6.
- Reduza: x = 11.
Resposta: x = 11. Verificação: 1.º membro 3 × (11 − 2) = 3 × 9 = 27; 2.º membro 2 × 11 + 5 = 27.
Exemplo 3 — Sinal menos antes do parêntese
Enunciado: Resolva 5x − (2x − 3) = 18.
Resolução:
- Retire o parêntese trocando os sinais: 5x − 2x + 3 = 18.
- Reduza: 3x + 3 = 18.
- Passe o 3: 3x = 15.
- Divida por 3: x = 5.
Resposta: x = 5. Verificação: 5 × 5 − (2 × 5 − 3) = 25 − 7 = 18.
Exemplo 4 — Nível de exame, dois parênteses
Enunciado: Resolva 4(x + 1) − 3(x − 2) = 15.
Resolução:
- Distribua: 4x + 4 − 3x + 6 = 15 (note que −3 × (−2) = +6).
- Reduza: x + 10 = 15.
- Passe o 10: x = 5.
Resposta: x = 5. Verificação: 4 × 6 = 24 e 3 × 3 = 9; 24 − 9 = 15.
Exemplo 5 — Aplicação com dinheiro
Enunciado: No Roque Santeiro, um comerciante compra 3 caixas de sumo e paga ainda 200 Kz de transporte por caixa. Gastou 3 600 Kz no total. Qual é o preço de uma caixa, sem transporte?
Resolução:
- Seja x o preço de uma caixa. Cada caixa custa x + 200 com transporte: 3(x + 200) = 3 600.
- Distribua: 3x + 600 = 3 600.
- Passe o 600: 3x = 3 000, logo x = 1 000.
Resposta: cada caixa custa 1 000 Kz. Verificação: 3 × (1 000 + 200) = 3 × 1 200 = 3 600.
Erros frequentes
- Multiplicar só o primeiro termo. Em 2(x + 3), o 2 multiplica o x e o 3: dá 2x + 6, e não 2x + 3.
- Ignorar o sinal menos. −(2x − 3) é −2x + 3, e não −2x − 3. Troque o sinal de todos os termos do interior.
- Errar na regra dos sinais com fatores negativos: −3 × (−2) = +6. Escreva o sinal de cada produto antes de calcular.
- Desfazer o parêntese e esquecer-se do que está fora dele. No Exemplo 4, os dois parênteses têm de ser tratados antes de reduzir.
- Verificar com a equação já simplificada. Substitua na equação original; só assim apanha erros de distribuição.
- Passar termos de lado sem trocar o sinal, depois de ter desfeito bem os parênteses.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Resolva 3(x + 2) = 21.
Ver solução
3x + 6 = 21, logo 3x = 15 e x = 5. Verificação: 3 × 7 = 21.
2Exercício 2
Resolva 2(x − 4) = 10.
Ver solução
2x − 8 = 10, logo 2x = 18 e x = 9. Verificação: 2 × 5 = 10.
3Exercício 3
Resolva 6x − (x + 5) = 20.
Ver dica
O sinal «−» troca o sinal de x e de 5.
Ver solução
6x − x − 5 = 20, logo 5x − 5 = 20, 5x = 25 e x = 5. Verificação: 30 − 10 = 20.
4Exercício 4
Resolva 5(x − 1) = 3(x + 3).
Ver solução
5x − 5 = 3x + 9, logo 5x − 3x = 9 + 5, 2x = 14 e x = 7. Verificação: 5 × 6 = 30 e 3 × 10 = 30.
5Exercício 5
Resolva 2(3x − 1) − 4(x − 2) = 12.
Ver dica
Cuidado com −4 × (−2).
Ver solução
6x − 2 − 4x + 8 = 12, logo 2x + 6 = 12, 2x = 6 e x = 3. Verificação: 2 × (9 − 1) = 16 e 4 × (3 − 2) = 4; 16 − 4 = 12.
Perguntas frequentes
Quando se usa este método?
Sempre que a incógnita esteja dentro de parênteses e haja um fator ou um sinal à frente. Se o parêntese estiver sozinho e sem sinal, como em x + (3 + 2), basta retirá-lo sem mudar nada.
Existe um método mais rápido?
Quando o parêntese é multiplicado por um número que também divide o 2.º membro, pode dividir primeiro: em 2(x + 3) = 14, divida por 2 e fica x + 3 = 7, logo x = 4. Só resulta se o número dividir todos os termos do outro lado.
Porque é que −(x − 5) dá −x + 5?
Porque o sinal «−» equivale a multiplicar por −1. Então −1 × x = −x e −1 × (−5) = +5. Vale a pena confirmar com números: −(3 − 5) = −(−2) = 2 e −3 + 5 = 2.
O que fazer se tiver parênteses dentro de parênteses?
Comece pelos parênteses mais interiores e vá avançando para fora, reduzindo termos semelhantes em cada etapa. A ordem evita enganos de sinal.
Resumo
- Desfaça os parênteses com a propriedade distributiva: o fator multiplica todos os termos.
- Com «−» à frente, troque o sinal de todos os termos do parêntese.
- Depois, resolva como equação do 1.º grau: separar, reduzir, dividir.
- Respeite a regra dos sinais em produtos como −3 × (−2) = +6.
- Verifique sempre na equação original, com os parênteses.
Onde aprofundar
- Manual de Matemática da 7.ª, 8.ª ou 9.ª classe e programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
- Khan Academy, secção de Álgebra, sobre propriedade distributiva e equações de vários passos.
- OpenStax Elementary Algebra (em inglês), exercícios sobre equações com parênteses.
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