Matemática · 7.ª–9.ª classe
Como resolver problemas com equações do 1.º grau?
Resposta curta
Leia o problema, escolha a incógnita (x) para o que se pede, traduza as relações do enunciado numa equação, resolva-a e responda por extenso com a unidade. Exemplo: um número mais o seu dobro é 36 gera x + 2x = 36, logo 3x = 36 e o número é 12. Verifique no texto do problema.
Quando se aplica
Aplica-se a problemas em que há um valor desconhecido ligado aos dados por uma igualdade: preços e trocos, idades, distâncias, perímetros, números consecutivos, repartições de dinheiro. A dificuldade quase nunca está em resolver a equação, mas em escrevê-la a partir do texto. Por isso o método tem uma fase de tradução cuidadosa.
Pré-requisitos
Saber resolver equações do 1.º grau, com parênteses e fracionários, e conhecer expressões como «dobro» (2x), «triplo» (3x), «metade» (x/2), «mais 5» (x + 5) e «número seguinte» (x + 1).
Dicionário de tradução
| Em português | Em linguagem matemática |
|---|---|
| um número | x |
| o dobro / o triplo de x | 2x / 3x |
| a metade de x | x/2 |
| x aumentado de 4 | x + 4 |
| 4 unidades a menos do que x | x − 4 |
| dois números consecutivos | x e x + 1 |
| é / fica / dá / igual a | = |
Método passo a passo
- Leia o problema duas vezes e sublinhe o que se pede.
- Defina a incógnita com uma frase: «Seja x a idade do filho, em anos.»
- Exprima as outras grandezas em função de x.
- Escreva a equação que traduz a igualdade do enunciado.
- Resolva a equação.
- Verifique no enunciado (e não só na equação): o valor faz sentido e cumpre a condição do texto?
- Responda por extenso, com a unidade.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Um número e o seu dobro
Enunciado: A soma de um número com o seu dobro é 36. Qual é o número?
Resolução:
- Seja x o número. O dobro é 2x.
- Equação: x + 2x = 36.
- Reduza: 3x = 36, logo x = 12.
Resposta: o número é 12. Verificação: 12 + 24 = 36.
Exemplo 2 — Compras no mercado
Enunciado: Maria comprou 4 kg de feijão e pagou ainda 500 Kz pelo transporte. No total pagou 4 500 Kz. Quanto custa um quilo de feijão?
Resolução:
- Seja x o preço de 1 kg, em kwanzas.
- Equação: 4x + 500 = 4 500.
- Passe o 500: 4x = 4 000.
- Divida por 4: x = 1 000.
Resposta: 1 kg custa 1 000 Kz. Verificação: 4 × 1 000 + 500 = 4 500.
Exemplo 3 — Perímetro de um retângulo
Enunciado: O comprimento de um retângulo excede a largura em 5 m. O perímetro é 38 m. Calcule as dimensões.
Resolução:
- Seja x a largura, em metros. O comprimento é x + 5.
- O perímetro é 2 × (largura + comprimento): 2(x + x + 5) = 38.
- Reduza: 2(2x + 5) = 38, logo 4x + 10 = 38.
- 4x = 28, logo x = 7. O comprimento é 7 + 5 = 12.
Resposta: largura 7 m, comprimento 12 m. Verificação: 2 × (7 + 12) = 2 × 19 = 38.
Exemplo 4 — Nível de exame: idades
Enunciado: O pai tem 24 anos mais do que o filho. Daqui a 6 anos, a idade do pai será o dobro da idade do filho. Que idades têm hoje?
Resolução:
- Seja x a idade atual do filho. O pai tem x + 24.
- Daqui a 6 anos: filho x + 6; pai x + 24 + 6 = x + 30.
- Equação: x + 30 = 2(x + 6).
- Distribua: x + 30 = 2x + 12.
- Separe: 30 − 12 = 2x − x, logo x = 18.
- O pai tem 18 + 24 = 42.
Resposta: o filho tem 18 anos e o pai 42 anos. Verificação: daqui a 6 anos têm 24 e 48, e 48 = 2 × 24.
Erros frequentes
- Começar a calcular sem definir a incógnita. Escreva sempre «Seja x …» e diga o que x representa e em que unidade.
- Traduzir mal «a mais» e «a menos». «O comprimento excede a largura em 5» é comprimento = x + 5, e não x − 5.
- Esquecer de aplicar a condição aos dois lados do tempo. Em problemas de idades, some os anos a todas as pessoas, não só a uma.
- Dar só o valor de x quando o problema pede outra coisa (por exemplo, o comprimento, que é x + 5).
- Verificar apenas na equação. Se a equação estiver mal montada, a verificação nela passa; confirme no texto.
- Misturar unidades, como metros com centímetros ou kwanzas com milhares de kwanzas.
Exercícios propostos
1Exercício 1
O triplo de um número, diminuído de 7, é 20. Qual é o número?
Ver solução
3x − 7 = 20, logo 3x = 27 e x = 9. Verificação: 3 × 9 − 7 = 20.
2Exercício 2
A soma de três números consecutivos é 63. Quais são?
Ver dica
Chame x ao menor; os outros são x + 1 e x + 2.
Ver solução
x + (x + 1) + (x + 2) = 63, logo 3x + 3 = 63, 3x = 60 e x = 20. Os números são 20, 21 e 22. Verificação: 20 + 21 + 22 = 63.
3Exercício 3
Um candongueiro cobra 200 Kz por passageiro e numa viagem recebeu 3 400 Kz. Quantos passageiros levava?
Ver solução
200x = 3 400, logo x = 3 400 ÷ 200 = 17 passageiros. Verificação: 200 × 17 = 3 400.
4Exercício 4
Numa turma de 40 alunos há mais 4 raparigas do que rapazes. Quantos rapazes e quantas raparigas há?
Ver solução
Seja x o número de rapazes; as raparigas são x + 4. Equação: x + x + 4 = 40, logo 2x = 36 e x = 18. Há 18 rapazes e 22 raparigas. Verificação: 18 + 22 = 40 e 22 − 18 = 4.
5Exercício 5
A Ana tem o triplo do dinheiro do Bruno. Se a Ana der 500 Kz ao Bruno, ficam com a mesma quantia. Quanto tem cada um?
Ver dica
Depois da troca, a Ana tem 3x − 500 e o Bruno x + 500.
Ver solução
3x − 500 = x + 500, logo 2x = 1 000 e x = 500. O Bruno tem 500 Kz e a Ana 1 500 Kz. Verificação: 1 500 − 500 = 1 000 e 500 + 500 = 1 000.
Perguntas frequentes
Quando se usa este método?
Quando o problema fala de uma quantidade desconhecida e de relações como «a mais», «o dobro» ou «no total». Se consegue ligar a incógnita aos dados por uma igualdade, uma equação do 1.º grau resolve.
Existe um método mais rápido?
Em problemas muito simples, pode raciocinar de trás para a frente. Nos de idades, perímetros ou repartições, a equação é mais segura porque obriga a escrever cada relação.
Como escolher a incógnita?
Em regra, chame x à grandeza menor ou àquela de que as outras dependem (a idade do filho, e não a do pai). Assim, as restantes escrevem-se sem frações nem sinais negativos.
E se a solução der negativa ou fracionária?
Veja se faz sentido no contexto. Um número de pessoas ou uma idade não pode ser −3 nem 2,5; nesse caso, reveja a tradução do enunciado, pois deve haver um erro na equação.
Resumo
- Defina a incógnita por escrito, com a unidade.
- Traduza as relações do texto: dobro = 2x, a mais 5 = x + 5, total = soma.
- Resolva a equação e responda ao que foi perguntado.
- Verifique no enunciado, e não apenas na equação.
- Soluções sem sentido (idades negativas, pessoas fracionadas) indicam equação mal montada.
Onde aprofundar
- Manual de Matemática da 7.ª, 8.ª ou 9.ª classe e programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
- Khan Academy, secção de Álgebra, problemas de palavras com equações lineares.
- OpenStax Elementary Algebra (em inglês), capítulo sobre problemas de palavras.
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