Matemática · 7.ª–9.ª classe
Como resolver equações do 1.º grau?
Resposta curta
Para resolver uma equação do 1.º grau, isole a incógnita: junte os termos com x num membro e os números no outro, trocando o sinal a quem muda de lado, e depois divida pelo coeficiente de x. Por exemplo, 3x − 5 = 16 dá 3x = 21 e x = 7. Confirme sempre substituindo na equação.
Quando se aplica
O método serve para equações em que a incógnita aparece com expoente 1, como 2x + 7 = 19 ou 5x + 4 = 2x + 19. Não serve, tal como está, para x2 (equações do 2.º grau). Antes de começar, convém saber operar com números inteiros e com fracionários, e conhecer o princípio de equivalência: ao somar, subtrair, multiplicar ou dividir os dois membros pelo mesmo número (nunca zero), a equação mantém a mesma solução.
Regras de ouro
Quem muda de membro, muda de sinal. Quem multiplica passa a dividir (e vice-versa).
Método passo a passo
- Elimine os denominadores, se existirem: multiplique todos os termos pelo m.m.c. dos denominadores.
- Elimine os parênteses com a propriedade distributiva (tema próprio em outro artigo).
- Separe: passe os termos com x para o 1.º membro e os números para o 2.º, trocando o sinal de cada termo que muda de lado.
- Reduza os termos semelhantes de cada membro (some os x com os x e os números com os números).
- Divida os dois membros pelo coeficiente de x para obter x = valor.
- Verifique substituindo o valor na equação original.
Pré-requisitos
Saber somar números com sinais diferentes (−5 + 8 = 3), simplificar fracionários e calcular o m.m.c. de dois números pequenos.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Um só passo
Enunciado: Resolva x + 7 = 15.
Resolução:
- O 7 está a somar no 1.º membro; passa para o 2.º a subtrair.
- x = 15 − 7 = 8.
Resposta: x = 8. Verificação: 8 + 7 = 15.
Exemplo 2 — Dois passos
Enunciado: Resolva 3x − 5 = 16.
Resolução:
- Passe o −5 para o 2.º membro, com sinal trocado: 3x = 16 + 5.
- Reduza: 3x = 21.
- Divida por 3: x = 21 ÷ 3 = 7.
Resposta: x = 7. Verificação: 3 × 7 − 5 = 21 − 5 = 16.
Exemplo 3 — Incógnita nos dois membros
Enunciado: Resolva 5x + 4 = 2x + 19.
Resolução:
- Passe 2x para a esquerda e 4 para a direita: 5x − 2x = 19 − 4.
- Reduza: 3x = 15.
- Divida por 3: x = 5.
Resposta: x = 5. Verificação: 1.º membro 5 × 5 + 4 = 29; 2.º membro 2 × 5 + 19 = 29.
Exemplo 4 — Nível de exame, com denominadores
Enunciado: Resolva x/3 + x/2 = 10.
Resolução:
- O m.m.c. de 3 e 2 é 6. Multiplique todos os termos por 6: 6 × x/3 + 6 × x/2 = 6 × 10.
- Simplifique: 2x + 3x = 60.
- Reduza: 5x = 60.
- Divida por 5: x = 12.
Resposta: x = 12. Verificação: 12/3 + 12/2 = 4 + 6 = 10.
Exemplo 5 — Equação sem solução
Enunciado: Resolva 2x + 3 = 2x + 8.
Resolução:
- Passe 2x para a esquerda: 2x − 2x + 3 = 8.
- Reduza: 3 = 8, o que é falso para qualquer valor de x.
Resposta: a equação é impossível (não tem solução).
Erros frequentes
- Não trocar o sinal ao mudar de membro. Em 3x − 5 = 16, o −5 passa a +5. Escreva a operação inversa nos dois lados se tiver dúvidas.
- Dividir só um termo. Em 3x = 21, divide-se o membro inteiro; e, se o 2.º membro tivesse vários termos, todos seriam divididos.
- Esquecer de multiplicar todos os termos pelo m.m.c., inclusive o que não tem denominador (o 10 no Exemplo 4 passou a 60).
- Dar a resposta como 3x = 15 em vez de x = 5. A equação só está resolvida quando x fica sozinho.
- Trocar o coeficiente por subtração: em 3x = 21, o 3 está a multiplicar, por isso passa a dividir, e não a subtrair.
- Não verificar. Uma substituição de dez segundos revela quase todos os erros de sinal.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Resolva x − 9 = 4.
Ver solução
x = 4 + 9 = 13. Verificação: 13 − 9 = 4.
2Exercício 2
Resolva 4x = 36.
Ver solução
x = 36 ÷ 4 = 9. Verificação: 4 × 9 = 36.
3Exercício 3
Resolva 2x + 7 = 19.
Ver solução
2x = 19 − 7 = 12, logo x = 12 ÷ 2 = 6. Verificação: 2 × 6 + 7 = 19.
4Exercício 4
Resolva 7x − 3 = 4x + 12.
Ver dica
Reúna os termos em x no 1.º membro.
Ver solução
7x − 4x = 12 + 3, ou seja, 3x = 15, logo x = 5. Verificação: 7 × 5 − 3 = 32 e 4 × 5 + 12 = 32.
5Exercício 5
Resolva x/4 + x/2 = 9.
Ver dica
O m.m.c. de 4 e 2 é 4.
Ver solução
Multiplicando tudo por 4: x + 2x = 36, logo 3x = 36 e x = 12. Verificação: 12/4 + 12/2 = 3 + 6 = 9.
Perguntas frequentes
Quando se usa este método?
Sempre que a incógnita aparece com expoente 1 e a equação tem uma incógnita. É o método base: as equações com parênteses, denominadores e os problemas reduzem-se a ele.
Existe um método mais rápido?
Em equações muito simples, como 2x + 7 = 19, pode raciocinar «ao contrário»: o que somado a 7 dá 19 é 12, e o que multiplicado por 2 dá 12 é 6. Em equações mais complicadas, o método do isolamento é mais seguro.
O que significa obter uma equação como 0x = 5 ou 0 = 0?
Se, ao reduzir, a incógnita desaparece e fica uma igualdade falsa (3 = 8), a equação é impossível. Se fica uma igualdade verdadeira (0 = 0), qualquer valor de x é solução, e a equação é indeterminada.
Posso juntar os termos em x no 2.º membro?
Pode. Se passar os termos em x para o 2.º membro, obtém, por exemplo, 15 = 3x, e depois x = 5. O resultado é o mesmo; só escolha o lado que lhe evita coeficientes negativos.
Resumo
- Isole a incógnita: x de um lado, números do outro.
- Quem muda de membro muda de sinal; quem multiplica passa a dividir.
- Com denominadores, multiplique todos os termos pelo m.m.c.
- Termine com x = valor e verifique na equação original.
- Se a incógnita desaparece, a equação é impossível (igualdade falsa) ou indeterminada (igualdade verdadeira).
Onde aprofundar
- Manual de Matemática da 7.ª, 8.ª ou 9.ª classe e programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
- Khan Academy, curso de Álgebra, secção «Equações lineares» (em português).
- OpenStax Elementary Algebra (em inglês), capítulo sobre equações lineares.
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