Matemática · 7.ª–9.ª classe
Como resolver inequações do 1.º grau?
Resposta curta
Resolve-se como uma equação: isolam-se os termos em x num membro e os números no outro, e divide-se pelo coeficiente de x. A diferença é que, ao multiplicar ou dividir por um número negativo, o sentido da desigualdade inverte-se. A solução é um conjunto de valores, não um só. Exemplo: −2x + 6 > 0 dá x < 3.
Quando se aplica
Uma inequação do 1.º grau com uma incógnita é uma desigualdade que se reduz a uma destas formas, com a ≠ 0: ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b ≥ 0 ou ax + b ≤ 0.
Uma equação tem, em regra, um valor que a verifica. Uma inequação tem infinitas soluções: todos os valores de x que tornam a desigualdade verdadeira. Por exemplo, x + 1 > 4 é verdadeira para x = 4, x = 10 ou x = 3,001, e falsa para x = 3 ou para qualquer número menor.
Como se escreve a solução
| Desigualdade | Intervalo | Conjunto |
|---|---|---|
| x < 4 | ]−∞, 4[ | {x ∈ ℝ : x < 4} |
| x ≥ −1 | [−1, +∞[ | {x ∈ ℝ : x ≥ −1} |
Um extremo incluído (≤ ou ≥) escreve-se com o parêntese reto virado para o número; um extremo excluído (< ou >) com o parêntese virado para fora. O infinito nunca é incluído. Na reta numérica, a bolinha é cheia para o extremo incluído e vazia para o excluído.
Antes de começar, convém dominar as regras dos sinais, a resolução de equações do 1.º grau, a propriedade distributiva e o m.m.c.
Porque é que o sentido se inverte
Três princípios mantêm a inequação equivalente:
| Operação feita nos dois membros | O que acontece ao sentido |
|---|---|
| Somar ou subtrair o mesmo número | mantém-se |
| Multiplicar ou dividir por um número positivo | mantém-se |
| Multiplicar ou dividir por um número negativo | inverte-se |
A razão vê-se com números: 2 < 5 é verdadeira. Multiplicando por −1 ficam −2 e −5, e agora −2 > −5, porque −2 está à direita de −5 na reta. Sem inverter o sinal, a afirmação ficava falsa.
Método passo a passo
- Elimine os parênteses com a propriedade distributiva.
- Elimine os denominadores, se existirem: multiplique todos os termos pelo m.m.c. (positivo, logo o sentido não muda).
- Separe os termos com x de um lado e os números do outro, trocando o sinal de cada termo que mudar de membro.
- Reduza os termos semelhantes, até ficar algo como ax > k.
- Divida pelo coeficiente de x. Se for negativo, inverta o sentido.
- Escreva a solução (desigualdade, intervalo ou conjunto) e verifique.
Verificação do resultado
Escolha um valor dentro do conjunto-solução e outro fora, e substitua-os na inequação original, não na última linha. O primeiro tem de dar uma afirmação verdadeira e o segundo uma falsa. Teste também o extremo: com < ou > não é solução; com ≤ ou ≥ é.
Casos especiais
Se o x desaparecer ao reduzir, olhe para a afirmação que sobra. Em 2x + 1 > 2x fica 1 > 0, sempre verdadeira: a solução é ℝ. Em 3x + 2 < 3x − 1 fica 2 < −1, falsa: a inequação é impossível.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Caso básico
Enunciado: Resolva 3x − 5 < 7.
Resolução:
- Some 5 aos dois membros: 3x < 12.
- Divida por 3 (positivo, o sentido mantém-se): x < 4.
Resposta: x < 4, ou seja, ]−∞, 4[. Verificação: com x = 0, −5 < 7 é verdadeira; com x = 4, 7 < 7 é falsa; com x = 5, 10 < 7 é falsa.
Exemplo 2 — Coeficiente negativo
Enunciado: Resolva −2x + 6 ≥ 10.
Resolução:
- Subtraia 6 aos dois membros: −2x ≥ 4.
- Divida por −2 e inverta o sentido: x ≤ −2.
Resposta: x ≤ −2, ou seja, ]−∞, −2] (o −2 está incluído). Verificação: com x = −3, −2 × (−3) + 6 = 12 ≥ 10 é verdadeira; com x = −2, 4 + 6 = 10 ≥ 10 é verdadeira; com x = 0, 6 ≥ 10 é falsa.
Exemplo 3 — Parênteses e x nos dois membros
Enunciado: Resolva 2(x + 3) − 5 ≤ 4x + 1.
Resolução:
- Propriedade distributiva: 2x + 6 − 5 ≤ 4x + 1, isto é, 2x + 1 ≤ 4x + 1.
- Separe os termos: 2x − 4x ≤ 1 − 1, isto é, −2x ≤ 0.
- Divida por −2 e inverta o sentido: x ≥ 0.
Resposta: x ≥ 0, ou seja, [0, +∞[. Verificação: com x = 1, 2 × 4 − 5 = 3 ≤ 5 é verdadeira; com x = −1, 2 × 2 − 5 = −1 ≤ −3 é falsa.
Exemplo 4 — Nível de exame, com frações
Enunciado: Resolva (x − 1)/2 − (2x + 1)/3 > 1.
Resolução:
- O m.m.c.(2, 3) é 6. Multiplique todos os termos por 6: 3(x − 1) − 2(2x + 1) > 6.
- Distributiva: 3x − 3 − 4x − 2 > 6, isto é, −x − 5 > 6.
- Some 5: −x > 11.
- Multiplique por −1 e inverta o sentido: x < −11.
Resposta: x < −11, ou seja, ]−∞, −11[. Verificação: com x = −12, −13/2 − (−23/3) = −6,5 + 7,67 ≈ 1,17, maior que 1; com x = −11, −12/2 − (−21/3) = −6 + 7 = 1, e 1 > 1 é falsa.
Erros frequentes
- Não inverter o sentido ao dividir por um negativo. De −3x < 12 sai x > −4, e não x < −4. Teste com x = 0: 0 < 12 é verdadeira e 0 > −4 também.
- Inverter sem necessidade. Somar, subtrair ou dividir por um positivo nunca muda o sentido.
- Esquecer que −x tem coeficiente −1. Em −x > 11 ainda falta multiplicar por −1: a solução é x < −11.
- Confundir extremo incluído com excluído. Em dúvida, substitua o extremo na inequação original.
- Multiplicar só os termos com fração ao eliminar denominadores: todos os termos são multiplicados.
- Responder com um só valor. «x < 4» não é «x = 3»: a resposta é o conjunto de todos os valores menores que 4.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Resolva 2x + 9 > 1 e escreva a solução em forma de intervalo.
Ver solução
Subtraia 9: 2x > −8. Divida por 2 (positivo): x > −4. Solução: ]−4, +∞[. Verificação: com x = 0, 9 > 1 é verdadeira; com x = −4, 1 > 1 é falsa.
2Exercício 2
Resolva 5 − 3x < 11.
Ver dica
Subtraia 5 aos dois membros e depois divida por −3.
Ver solução
5 − 3x < 11 ⇒ −3x < 6. Dividindo por −3, o sentido inverte-se: x > −2. Solução: ]−2, +∞[. Verificação: com x = 0, 5 < 11 é verdadeira; com x = −2, 5 + 6 = 11 < 11 é falsa.
3Exercício 3
Resolva 3(x − 2) ≥ 5x + 4.
Ver solução
3x − 6 ≥ 5x + 4 ⇒ 3x − 5x ≥ 4 + 6 ⇒ −2x ≥ 10. Dividindo por −2 e invertendo o sentido: x ≤ −5. Solução: ]−∞, −5]. Verificação: com x = −5, 3 × (−7) = −21 e 5 × (−5) + 4 = −21, e −21 ≥ −21 é verdadeira; com x = 0, −6 ≥ 4 é falsa.
4Exercício 4
Resolva x/2 + 1 < (x + 5)/3.
Ver dica
Multiplique todos os termos por 6.
Ver solução
Multiplicando por 6: 3x + 6 < 2(x + 5), isto é, 3x + 6 < 2x + 10. Então 3x − 2x < 10 − 6, ou seja, x < 4. Solução: ]−∞, 4[. Verificação: com x = 0, 1 < 5/3 é verdadeira; com x = 6, 4 < 11/3 (cerca de 3,67) é falsa.
5Exercício 5
A Maria tem 2 400 Kz. Quer comprar uma caneta de 400 Kz e alguns cadernos de 350 Kz cada. Quantos cadernos pode comprar, no máximo?
Ver dica
Seja x o número de cadernos. O gasto total não pode passar de 2 400 Kz.
Ver solução
350x + 400 ≤ 2 400 ⇒ 350x ≤ 2 000 ⇒ x ≤ 2 000 ÷ 350 ≈ 5,71. Como x é um número natural, x ≤ 5. Pode comprar 5 cadernos. Verificação: 5 cadernos custam 5 × 350 + 400 = 2 150 Kz (cabe); 6 cadernos custariam 6 × 350 + 400 = 2 500 Kz (não cabe).
Perguntas frequentes
Porque se inverte o sentido ao dividir por um número negativo?
Porque multiplicar por um negativo reflete a reta numérica: o que estava à esquerda passa para a direita. Como 2 < 5 mas −2 > −5, a desigualdade tem de trocar de sentido para continuar verdadeira.
Existe um método mais rápido?
Sim: passe o termo em x para o membro onde o seu coeficiente fique positivo e nunca terá de dividir por um negativo. Em 5 − 3x < 11, faça 5 − 11 < 3x, isto é, −6 < 3x, logo −2 < x, o mesmo que x > −2.
Quando uso ] [ e quando uso [ ]?
Com < ou > o extremo não pertence à solução e o parêntese vira-se para fora, como em ]−2, +∞[. Com ≤ ou ≥ o extremo pertence e o parêntese vira-se para o número, como em [−2, +∞[. O infinito usa sempre o parêntese virado para fora.
Resumo
- Resolver é isolar x, como numa equação; a solução é um conjunto de valores.
- Somar, subtrair, multiplicar ou dividir por um positivo mantém o sentido; por um negativo inverte-o.
- ≤ e ≥ incluem o extremo (bolinha cheia); < e > excluem-no (bolinha vazia).
- Elimine denominadores multiplicando todos os termos pelo m.m.c., que é positivo.
- Verifique com um valor dentro e outro fora do conjunto-solução.
- Se o x desaparecer, a solução é ℝ (afirmação verdadeira) ou não há solução (afirmação falsa).
Onde aprofundar
- O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
- O manual aberto OpenStax Elementary Algebra (em inglês), no capítulo sobre desigualdades lineares.
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