Matemática · 7.ª–9.ª classe
O que é uma equação?
Resposta curta
Uma equação é uma igualdade matemática que contém pelo menos uma incógnita, isto é, um valor desconhecido representado por uma letra. Resolver a equação é descobrir o valor da incógnita que torna a igualdade verdadeira. Em x + 5 = 12, a incógnita é x e a solução é 7, porque 7 + 5 = 12.
Definição e características
Uma equação tem sempre três ingredientes:
- o sinal de igual (=), que liga duas expressões;
- duas expressões, uma de cada lado do sinal, chamadas membros;
- pelo menos uma incógnita, normalmente representada por x, y ou n.
Sem o sinal de igual, não há equação: 3x + 2 é apenas uma expressão algébrica. Sem incógnita, também não: 3 + 4 = 7 é só uma igualdade numérica, verdadeira e sem nada para descobrir.
Terminologia essencial
Veja como se chamam as partes de 3x + 2 = 14:
| Termo | O que é | Em 3x + 2 = 14 |
|---|---|---|
| 1.º membro | a expressão à esquerda do = | 3x + 2 |
| 2.º membro | a expressão à direita do = | 14 |
| Termos | as parcelas de cada membro | 3x, 2 e 14 |
| Incógnita | o valor que não se conhece | x |
| Coeficiente | o número que multiplica a incógnita | 3 |
| Solução (ou raiz) | valor da incógnita que torna a igualdade verdadeira | 4 |
Verificação da solução: 3 × 4 + 2 = 12 + 2 = 14, logo x = 4 é solução.
Definição formal e explicação simples
A definição formal diz que uma equação é uma condição que relaciona duas expressões através da igualdade, e que o conjunto-solução reúne todos os valores da incógnita que a tornam uma proposição verdadeira. Em palavras simples: a equação é uma balança em equilíbrio com um peso escondido, e resolver é descobrir esse peso sem desequilibrar a balança.
Equação do 1.º grau
No 7.º–9.º ano estuda-se sobretudo a equação do 1.º grau: a incógnita aparece com expoente 1 (x, e não x2). Costuma ter uma única solução, mas há dois casos especiais:
- Equação impossível: não tem solução. Exemplo: x + 2 = x + 5 dá 2 = 5, o que é falso para qualquer x.
- Equação possível e indeterminada: qualquer valor é solução. Exemplo: 2x = x + x é verdadeira para todo o x.
Nota
Conceito relacionado: o princípio de equivalência diz que se pode somar, subtrair, multiplicar ou dividir (por número diferente de zero) os dois membros pelo mesmo valor sem mudar a solução. É a base de todos os métodos de resolução.
Exemplos do quotidiano
Muitas situações reais escondem uma equação. Num mercado de Luanda, se três pacotes de arroz custam 4 500 Kz, o preço de um pacote é uma incógnita: 3x = 4 500. Se a distância entre dois bairros é 12 km e já percorreu 5 km, o que falta é x, com 5 + x = 12.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Identificar os elementos
Enunciado: Na equação 2x − 3 = 9, indique os membros, a incógnita e o coeficiente.
Resolução:
- O sinal de igual separa 2x − 3 (1.º membro) de 9 (2.º membro).
- A letra desconhecida é x: é a incógnita.
- O número que multiplica x é 2: é o coeficiente.
Resposta: 1.º membro 2x − 3; 2.º membro 9; incógnita x; coeficiente 2. Verificação: com x = 6, 2 × 6 − 3 = 12 − 3 = 9, por isso 6 é a solução.
Exemplo 2 — Traduzir uma situação em equação
Enunciado: Três pacotes de arroz custam 4 500 Kz. Escreva a equação e descubra o preço de um pacote.
Resolução:
- Seja x o preço de um pacote, em kwanzas.
- Três pacotes custam 3 × x, logo a equação é 3x = 4 500.
- Divide-se os dois membros por 3: x = 4 500 ÷ 3 = 1 500.
Resposta: cada pacote custa 1 500 Kz. Verificação: 3 × 1 500 = 4 500.
Exemplo 3 — Testar se um número é solução
Enunciado: Diga se 4 e 3 são soluções de 2x − 3 = 5.
Resolução:
- Para x = 4: 2 × 4 − 3 = 8 − 3 = 5. O resultado é 5, igual ao 2.º membro.
- Para x = 3: 2 × 3 − 3 = 6 − 3 = 3. O resultado é 3, diferente de 5.
Resposta: 4 é solução; 3 não é. Verificação: a única solução é a que torna os dois membros iguais.
Exemplo 4 — Equação, expressão ou igualdade numérica?
Enunciado: Classifique: a) 7 + 8 = 15; b) 5x + 1; c) 5x + 1 = 21.
Resolução:
- a) tem igual, mas não tem incógnita: é uma igualdade numérica.
- b) tem incógnita, mas não tem igual: é uma expressão algébrica.
- c) tem igual e incógnita: é uma equação. Resolvendo, 5x = 20 e x = 4.
Resposta: a) igualdade numérica; b) expressão algébrica; c) equação, com solução 4. Verificação: 5 × 4 + 1 = 21.
Erros frequentes
- Chamar equação a qualquer expressão com letras. Se não houver sinal de igual, é uma expressão. Procure sempre o =.
- Confundir equação com igualdade numérica. Uma equação precisa de uma incógnita; 6 + 1 = 7 não tem nada para resolver.
- Dizer que a solução é a letra. A solução é o valor numérico (x = 4), não o símbolo x.
- Esquecer de testar a solução. Substitua sempre a incógnita no enunciado original; é a forma de apanhar enganos.
- Trocar coeficiente e incógnita. Em 3x, o 3 é o coeficiente e o x é a incógnita.
- Pensar que toda a equação tem uma só solução. Há equações impossíveis e indeterminadas.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Indique quais das seguintes são equações: a) 5 + 3 = 8; b) x − 4 = 10; c) 3x + 2; d) 2y = 18.
Ver solução
São equações as alíneas b) e d): têm sinal de igual e incógnita. A alínea a) é uma igualdade numérica e a alínea c) é uma expressão algébrica.
2Exercício 2
Na equação 4x + 1 = 17, identifique o 1.º membro, o 2.º membro, o coeficiente e a incógnita.
Ver solução
1.º membro: 4x + 1; 2.º membro: 17; coeficiente: 4; incógnita: x.
3Exercício 3
Verifique se 6 é solução de 4x − 5 = 19.
Ver dica
Substitua x por 6 e calcule o 1.º membro.
Ver solução
4 × 6 − 5 = 24 − 5 = 19, igual ao 2.º membro. Logo 6 é solução.
4Exercício 4
Dos números 4, 8 e 10, qual é a solução de x + 9 = 2x − 1?
Ver solução
Para x = 4: 4 + 9 = 13 e 2 × 4 − 1 = 7 (diferentes). Para x = 8: 17 e 15 (diferentes). Para x = 10: 10 + 9 = 19 e 2 × 10 − 1 = 19 (iguais). A solução é 10.
5Exercício 5
Escreva uma equação para: «o triplo de um número, aumentado de 4, é igual a 19» e encontre o número.
Ver dica
Chame x ao número.
Ver solução
Equação: 3x + 4 = 19. Subtraindo 4 aos dois membros, 3x = 15; dividindo por 3, x = 5. Verificação: 3 × 5 + 4 = 19. O número é 5.
Perguntas frequentes
Qual é a diferença entre equação e expressão algébrica?
A expressão algébrica (por exemplo, 3x + 2) apenas combina números e letras; não afirma nada e por isso não se resolve. A equação afirma uma igualdade (3x + 2 = 14) e pede o valor de x que a torna verdadeira.
Onde se usa uma equação na prática?
Sempre que há um valor desconhecido ligado a outros por uma igualdade: calcular o preço unitário de um produto, o troco de uma compra, a idade de alguém, o tempo de uma viagem ou o lado de um terreno com perímetro conhecido.
Uma equação pode ter mais do que uma incógnita?
Pode. Em x + y = 10 há duas incógnitas e muitas soluções possíveis, como x = 3 e y = 7. No 7.º ano trabalha-se sobretudo com uma incógnita; as de duas aparecem nos sistemas de equações.
Como aparece a equação nos exames?
Primeiro pede-se para resolver equações simples, depois para as resolver com parênteses ou denominadores e, por fim, para traduzir um problema em equação. Em todos os casos é valorizada a verificação da solução.
Resumo
- Equação = igualdade com pelo menos uma incógnita.
- Tem dois membros, separados pelo sinal de igual, formados por termos.
- A solução é o valor da incógnita que torna a igualdade verdadeira.
- Sem igual é expressão; sem incógnita é igualdade numérica.
- Podem existir equações impossíveis (sem solução) e indeterminadas (infinitas soluções).
- Teste sempre a solução, substituindo-a na equação.
Onde aprofundar
- Manual de Matemática da sua classe e programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
- Khan Academy, secção de Álgebra (equações de um passo e de vários passos), com vídeos e exercícios gratuitos.
- OpenStax Prealgebra e Elementary Algebra (em inglês), manuais abertos com exercícios resolvidos.
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