Matemática · 7.ª–9.ª classe

Como resolver expressões com números inteiros?

  • 8 min de leitura
  • 4 exemplos resolvidos
  • 5 exercícios com solução
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Resposta curta

Resolva uma expressão com números inteiros respeitando a ordem das operações: primeiro os parênteses (do mais interior para o mais exterior), depois as potências, a seguir as multiplicações e divisões, da esquerda para a direita, e por fim as adições e subtrações, também da esquerda para a direita. Em cada passo aplique a regra dos sinais. Exemplo: 2 + 3 × (−4) = 2 + (−12) = −10.

Quando se aplica

Uma expressão numérica junta várias operações no mesmo cálculo, como 8 − 3 × (2 − 5). Se cada pessoa resolvesse numa ordem diferente, obteria resultados diferentes; por isso existe uma ordem de prioridade acordada. Usa-se sempre que um problema do dia a dia (um saldo, uma temperatura, uma conta de compras) é traduzido por uma única expressão.

Pré-requisitos

  • Somar, subtrair, multiplicar e dividir números inteiros (regra dos sinais).
  • Saber o que é uma potência: 23 = 2 × 2 × 2 = 8.
  • Saber eliminar parênteses: um sinal «+» antes do parêntese mantém os sinais lá dentro; um sinal «−» troca-os todos.

Ordem de prioridade

PrioridadeOperaçõesComo se efetuam
1.ªParênteses ( ), retos [ ] e chavetasDo interior para o exterior
2.ªPotênciasAntes de multiplicar
3.ªMultiplicação e divisãoDa esquerda para a direita
4.ªAdição e subtraçãoDa esquerda para a direita

Cuidado com as potências de base negativa

  • (−3)2 = (−3) × (−3) = 9 (o sinal está dentro do parêntese e é elevado ao quadrado).
  • −32 = −(3 × 3) = −9 (só o 3 é elevado ao quadrado).
  • Base negativa e expoente par dá positivo; expoente ímpar dá negativo: (−2)3 = −8.

Método passo a passo

  1. Leia a expressão e sublinhe os parênteses e as operações de cada nível de prioridade.
  2. Resolva os parênteses mais interiores, aplicando em cada um a mesma ordem de prioridade.
  3. Calcule as potências.
  4. Efetue as multiplicações e divisões, uma de cada vez, da esquerda para a direita.
  5. Efetue as adições e subtrações, da esquerda para a direita.
  6. Escreva uma linha por passo e copie o que não mudou. Para verificar, refaça o cálculo somando separadamente os termos positivos e os termos negativos.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Prioridade entre operações

Enunciado: Calcule 8 − 3 × 4 + 10 ÷ 2.

Resolução:

  1. Multiplicação e divisão primeiro: 3 × 4 = 12 e 10 ÷ 2 = 5.
  2. A expressão fica 8 − 12 + 5.
  3. Da esquerda para a direita: 8 − 12 = −4 e depois −4 + 5 = 1.

Resposta: 1. Verificação: os positivos são 8 e 5 (soma 13), o negativo é −12, e 13 + (−12) = 1.

Exemplo 2 — Parênteses e sinais

Enunciado: Calcule (−5 + 8) × (−4) − 12 ÷ (−3).

Resolução:

  1. Parênteses: −5 + 8 = 3, logo a expressão é 3 × (−4) − 12 ÷ (−3).
  2. Multiplicação: 3 × (−4) = −12. Divisão: 12 ÷ (−3) = −4.
  3. A expressão fica −12 − (−4) = −12 + 4.
  4. −12 + 4 = −8.

Resposta: −8. Verificação: a diferença somada ao número que se subtraiu recupera o primeiro termo: −8 + (−4) = −12.

Exemplo 3 — Traduzir um problema numa expressão

Enunciado: Na segunda-feira, o saldo de uma banca era −2 000 Kz (uma dívida). Na terça-feira recebeu 3 pagamentos de 1 500 Kz e fez 2 compras de 2 500 Kz cada. Qual é o saldo no fim de terça-feira?

Resolução:

  1. Os recebimentos somam e as compras subtraem: −2 000 + 3 × 1 500 − 2 × 2 500.
  2. Multiplicações: 3 × 1 500 = 4 500 e 2 × 2 500 = 5 000.
  3. A expressão fica −2 000 + 4 500 − 5 000.
  4. −2 000 + 4 500 = 2 500 e 2 500 − 5 000 = −2 500.

Resposta: o saldo é de −2 500 Kz, ou seja, a banca fica a dever 2 500 Kz. Verificação: 4 500 + (−2 000) + (−5 000) = −2 500.

Exemplo 4 — Nível de exame: potências e parênteses encaixados

Enunciado: Calcule (−2)3 + [5 − (3 − 8)] × (−2) − 12 ÷ (−4).

Resolução:

  1. Potência: (−2)3 = −8.
  2. Parêntese interior: 3 − 8 = −5. Depois o reto: 5 − (−5) = 5 + 5 = 10.
  3. Multiplicação: 10 × (−2) = −20. Divisão: 12 ÷ (−4) = −3.
  4. A expressão fica −8 + (−20) − (−3) = −8 − 20 + 3.
  5. −8 − 20 = −28 e −28 + 3 = −25.

Resposta: −25. Verificação: os positivos somam 3 e os negativos somam −28, e 3 + (−28) = −25.

Erros frequentes

  • Somar antes de multiplicar. 2 + 3 × 4 é 2 + 12 = 14, e não 5 × 4 = 20.
  • Inverter a ordem em × e ÷. 24 ÷ 4 × 2 = 6 × 2 = 12; quem faz primeiro o 4 × 2 obtém 3, que está errado.
  • Confundir −32 com (−3)2. O primeiro vale −9; o segundo vale 9.
  • Não trocar os sinais depois de um «−» antes do parêntese. 10 − (4 − 7) = 10 − (−3) = 13, e não 10 − 4 − 7 = −1.
  • Juntar vários passos numa só linha e perder o controlo dos sinais. Escreva um passo por linha.
  • Resolver uma subtração em cadeia fora de ordem. 5 − 8 + 3 é (5 − 8) + 3 = 0, e não 5 − (8 + 3) = −6.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Calcule 7 − 2 × 5 + 9 ÷ 3.

Ver solução

2 × 5 = 10 e 9 ÷ 3 = 3. Fica 7 − 10 + 3 = −3 + 3 = 0.

2Exercício 2

Calcule 20 − (3 − 8) × 4 − (−6).

Ver dica

Comece pelo parêntese e lembre-se de que o produto vem antes da subtração.

Ver solução

Parêntese: 3 − 8 = −5. Produto: (−5) × 4 = −20. Fica 20 − (−20) − (−6) = 20 + 20 + 6 = 46.

3Exercício 3

Numa câmara de conservação, a temperatura inicial era 4 °C. Desceu 3 °C por hora durante 2 horas e depois subiu 5 °C por hora durante 3 horas. Escreva uma expressão e calcule a temperatura final.

Ver solução

Expressão: 4 + 2 × (−3) + 3 × 5. Produtos: 2 × (−3) = −6 e 3 × 5 = 15. Fica 4 − 6 + 15 = −2 + 15 = 13 °C.

4Exercício 4

Calcule −32 + (−3)2 − 2 × (−1)5.

Ver dica

Calcule cada potência com atenção ao sítio onde está o sinal.

Ver solução

−32 = −9; (−3)2 = 9; (−1)5 = −1 e 2 × (−1) = −2. Fica −9 + 9 − (−2) = 0 + 2 = 2.

5Exercício 5

Calcule −2 × [−4 + 3 × (−2)] − 20 ÷ (−5).

Ver solução

Dentro do parêntese reto, primeiro o produto: 3 × (−2) = −6, e −4 + (−6) = −10. Depois −2 × (−10) = 20. A divisão: 20 ÷ (−5) = −4. Fica 20 − (−4) = 20 + 4 = 24.

Perguntas frequentes

Porque é que se multiplica antes de somar?

É uma convenção que toda a gente segue, para que uma expressão tenha um único valor. Faz sentido porque a multiplicação é uma soma repetida: 3 × 4 é «4 + 4 + 4», e portanto 2 + 3 × 4 é 2 + 12.

A multiplicação tem prioridade sobre a divisão?

Não: têm a mesma prioridade e resolvem-se pela ordem em que aparecem, da esquerda para a direita. O mesmo vale para a adição e a subtração. Por isso 100 ÷ 10 × 2 = 20, e não 5.

Como sei qual é o parêntese mais interior?

É o que não contém outros parênteses dentro de si. Em 5 − [2 + (3 − 7)], o mais interior é (3 − 7). Resolva-o, depois o reto, e por fim o resto da expressão.

Posso usar a calculadora para conferir?

Pode, mas confirme se a sua calculadora respeita a ordem das operações e escreva os parênteses tal como no enunciado. Em exame, o que conta é a resolução escrita, passo a passo.

Resumo

  • Ordem: parênteses → potências → × e ÷ → + e −, sempre da esquerda para a direita dentro do mesmo nível.
  • Resolva os parênteses do interior para o exterior.
  • Um «−» antes de um parêntese troca todos os sinais lá dentro.
  • (−3)2 = 9, mas −32 = −9.
  • Escreva um passo por linha e verifique somando separadamente positivos e negativos.

Onde aprofundar

  • O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
  • O manual aberto OpenStax Prealgebra (em inglês), nos capítulos sobre inteiros e sobre a ordem das operações.
  • A Khan Academy, que tem lições sobre a ordem das operações disponíveis em português.

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