Matemática · 4.ª–9.ª classe
Como resolver problemas com frações?
Resposta curta
Para resolver um problema com frações, descubra primeiro qual é o todo (a quantidade que vale 1), traduza cada parte por uma fração desse todo e só depois calcule. Para achar a parte, multiplique a fração pelo todo; para achar o todo, divida a parte pela fração.
Quando se aplica
Os problemas com frações aparecem sempre que uma quantidade é repartida em partes iguais: dinheiro gasto em fatias do salário, páginas de um livro lidas por dia, litros de água num depósito, alunos de uma turma. O que muda de problema para problema é o que o enunciado pede:
| O enunciado dá | Pede | Operação |
|---|---|---|
| o todo e a fração | a parte | todo × fração |
| a parte e a fração | o todo | parte ÷ fração |
| várias frações do mesmo todo | o total ou o que resta | somar ou subtrair frações |
| fração de uma fração | uma parte da parte | multiplicar as frações |
Pré-requisitos
Convém saber simplificar frações, reduzi-las ao mesmo denominador e somá-las ou subtraí-las. Se tiver dúvidas, reveja primeiro esses temas.
Método passo a passo
- Leia duas vezes e sublinhe o que é pedido.
- Identifique o todo. Pergunte: «uma fração de quê?». Em «gastou 1/4 do salário», o todo é o salário.
- Escreva cada parte como fração do todo. Se o enunciado diz «metade do que restou», o todo mudou: agora é o resto.
- Escolha a operação (tabela acima) e calcule, simplificando no fim.
- Verifique: a soma das partes mais o resto deve dar o todo (ou seja, 1), e o resultado deve ter sentido (não se gasta mais dinheiro do que se tem).
Dica
Em problemas difíceis, desenhe uma barra e divida-a em partes iguais. Mesmo sem a entregar, o desenho mostra logo o que sobra.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Fração de uma quantidade
Enunciado: Numa turma de 36 alunos, 2/3 são raparigas. Quantas raparigas há?
Resolução:
- O todo é 36 alunos; a parte pedida é 2/3 do todo.
- Divide-se o todo em 3 partes iguais: 36 ÷ 3 = 12.
- Tomam-se 2 dessas partes: 2 × 12 = 24.
Resposta: há 24 raparigas. Verificação: os rapazes são 36 − 24 = 12, que é 1/3 de 36.
Exemplo 2 — Duas frações do mesmo todo
Enunciado: Uma funcionária recebe 20 000 Kz. Gasta 1/4 em transporte e 2/5 em comida. Quanto gastou ao todo e quanto lhe sobra?
Resolução:
- Somam-se as frações: 1/4 + 2/5 = 5/20 + 8/20 = 13/20.
- Parte gasta: 13/20 de 20 000 = 20 000 ÷ 20 × 13 = 1 000 × 13 = 13 000.
- Resta 20/20 − 13/20 = 7/20 do salário: 1 000 × 7 = 7 000.
Resposta: gastou 13 000 Kz e sobram 7 000 Kz. Verificação: 13 000 + 7 000 = 20 000.
Exemplo 3 — Descobrir o todo
Enunciado: Um depósito tem 450 litros, o que corresponde a 3/5 da sua capacidade. Qual é a capacidade total?
Resolução:
- 3 partes valem 450 L, logo 1 parte (1/5) vale 450 ÷ 3 = 150 L.
- O depósito completo tem 5 partes: 5 × 150 = 750 L.
Resposta: a capacidade é de 750 litros. Verificação: 3/5 de 750 = 750 ÷ 5 × 3 = 150 × 3 = 450.
Exemplo 4 — Nível de exame: o todo muda a meio
Enunciado: Um aluno gastou 1/3 do dinheiro numa mochila e, depois, metade do que lhe restou em cadernos. Ficou com 1 500 Kz. Quanto dinheiro tinha no início?
Resolução:
- Depois da mochila resta 1 − 1/3 = 2/3 do dinheiro.
- Os cadernos custaram metade desse resto: 1/2 × 2/3 = 1/3 do dinheiro inicial.
- Sobra então 2/3 − 1/3 = 1/3 do dinheiro inicial, e isso são 1 500 Kz.
- O total é 3 × 1 500 = 4 500 Kz.
Resposta: tinha 4 500 Kz. Verificação: mochila = 1 500; sobram 3 000; cadernos = 1 500; ficam 1 500. ✓
Erros frequentes
- Usar o todo errado. Em «metade do que restou», a metade não é do valor inicial. Escreva sempre «de quê?» ao lado da fração.
- Multiplicar quando deveria dividir (ou o contrário) ao procurar o todo. Se a parte é conhecida e o todo não, o todo tem de sair maior do que a parte.
- Somar frações com denominadores diferentes sem as reduzir ao mesmo denominador (1/4 + 2/5 não é 3/9).
- Esquecer o resto: calcular o que se gastou e responder sem ver o que o enunciado pedia.
- Não verificar: um resultado negativo ou maior do que o todo avisa que há erro.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Calcule 3/8 de 64 laranjas.
Ver solução
64 ÷ 8 = 8 e 8 × 3 = 24 laranjas.
2Exercício 2
Um livro tem 240 páginas. Na segunda-feira leu-se 1/5 e na terça-feira 1/4. Quantas páginas foram lidas e quantas faltam?
Ver solução
Segunda: 240 ÷ 5 = 48 páginas. Terça: 240 ÷ 4 = 60 páginas. Lidas: 48 + 60 = 108 páginas. Faltam 240 − 108 = 132 páginas. (Em fração: 1/5 + 1/4 = 9/20 lido, falta 11/20; 240 ÷ 20 × 11 = 132.)
3Exercício 3
Os 5/6 de uma quantia são 350 Kz. Qual é a quantia?
Ver dica
Descubra primeiro quanto vale 1/6.
Ver solução
1/6 vale 350 ÷ 5 = 70 Kz. A quantia completa é 6 × 70 = 420 Kz. Verificação: 5/6 de 420 = 70 × 5 = 350.
4Exercício 4
Uma corda de 12 m é cortada em pedaços de 3/4 de metro. Quantos pedaços se obtêm?
Ver solução
12 ÷ 3/4 = 12 × 4/3 = 48/3 = 16 pedaços. Verificação: 16 × 3/4 = 12 m.
5Exercício 5
Uma torneira enche um tanque em 3 horas e outra enche-o em 6 horas. Se estiverem ambas abertas, em quanto tempo o enchem?
Ver dica
Calcule que fração do tanque cada torneira enche numa hora.
Ver solução
Numa hora a primeira enche 1/3 e a segunda 1/6. Juntas: 1/3 + 1/6 = 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2 do tanque por hora. Para encher 1 tanque inteiro são precisas 2 horas.
Perguntas frequentes
Como sei se devo multiplicar ou dividir?
Se conhece o todo e quer uma parte, multiplique pela fração. Se conhece a parte e quer o todo, divida pela fração. Uma boa verificação é ver se a parte fica menor do que o todo.
Posso usar a regra de três em vez de frações?
Sim. «3/5 de um depósito são 450 L» equivale a «3 partes estão para 450 L como 5 partes estão para x». Os dois caminhos dão o mesmo resultado; use o que lhe parecer mais claro.
O que significa «fração do que restou»?
Significa que o todo passou a ser o valor que sobrou, e não o valor inicial. Calcule primeiro o resto e só depois tome a fração dele.
Quando devo simplificar o resultado?
No fim, e também a meio se os números ficarem grandes. Simplificar não altera o valor e reduz o risco de enganos nas contas.
Resumo
- Identifique sempre o todo antes de escrever qualquer fração.
- Parte = todo × fração; todo = parte ÷ fração.
- Frações do mesmo todo somam-se com o mesmo denominador; o que resta é 1 menos a soma.
- Em «fração do resto», o todo é o resto, não o valor inicial.
- Verifique se as partes mais o resto voltam a dar o todo.
Onde aprofundar
- O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
- Os exercícios sobre frações dos cadernos de atividades usados na sua escola.
- A Khan Academy (secção de frações, com tradução para português), para praticar mais problemas.
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