Matemática · 8.ª–10.ª classe
Como resolver problemas com sistemas de equações?
Resposta curta
Passos: leia o problema até perceber o que se pergunta, dê uma letra a cada grandeza desconhecida (x e y), traduza duas condições do enunciado em duas equações, resolva o sistema por substituição ou adição e responda por extenso, com unidades. Por fim, verifique os valores no texto do problema, não apenas nas equações.
Quando se aplica
Use um sistema de equações quando o problema tem duas grandezas desconhecidas e o enunciado dá duas informações independentes sobre elas. Com uma só incógnita basta uma equação; com duas incógnitas e uma só informação, o problema tem, em geral, infinitas respostas e não fica determinado.
Aparecem situações típicas: dois números com soma e diferença conhecidas, preços de dois produtos, idades de duas pessoas, dimensões de um retângulo, bilhetes de dois tipos e misturas. O que muda de problema para problema é só a tradução do texto para equações; depois, a resolução é a de qualquer sistema.
Da linguagem corrente para equações
| Em palavras | Em equação |
|---|---|
| A soma de dois números é 30 | x + y = 30 |
| A diferença entre x e y é 4 | x − y = 4 |
| x é o triplo de y | x = 3y |
| x excede y em 5 | x = y + 5 |
| O dobro de x é igual a y mais 1 | 2x = y + 1 |
| Daqui a 6 anos a idade de x | x + 6 |
| Há 4 anos a idade de x | x − 4 |
| x artigos a 300 Kz cada | 300x (em kwanzas) |
Método passo a passo
- Leia duas vezes e sublinhe o que é pedido e os dados numéricos.
- Defina as incógnitas por escrito: «x = número de rapazes; y = número de raparigas». Indique as unidades.
- Escreva duas equações, uma por cada informação do enunciado. Se uma informação não foi usada, falta uma equação.
- Resolva o sistema pelo método mais cómodo: substituição quando uma incógnita já está isolada (ou tem coeficiente 1); adição quando os coeficientes se cancelam facilmente.
- Responda à pergunta com uma frase completa e unidades.
- Verifique no enunciado: os valores têm de cumprir as duas condições escritas em palavras, e fazer sentido (não há 2,5 pessoas nem idades negativas).
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Soma e diferença
Enunciado: A soma de dois números é 48 e a sua diferença é 12. Quais são os números?
Resolução:
- Sejam x o maior e y o menor: x + y = 48 e x − y = 12.
- Somando as duas equações, o y desaparece: 2x = 60, logo x = 30.
- De x + y = 48 obtém-se y = 48 − 30 = 18.
Resposta: os números são 30 e 18. Verificação: 30 + 18 = 48 e 30 − 18 = 12.
Exemplo 2 — Preços no mercado
Enunciado: Numa banca de mercado (preços fictícios), 2 kg de feijão e 3 kg de arroz custam 3 300 Kz; 3 kg de feijão e 1 kg de arroz custam 3 200 Kz. Qual é o preço de cada quilograma?
Resolução:
- Seja f o preço do quilo de feijão e a o do arroz, em kwanzas: 2f + 3a = 3 300 e 3f + a = 3 200.
- Da segunda: a = 3 200 − 3f.
- Substituindo na primeira: 2f + 3(3 200 − 3f) = 3 300, ou seja, 2f + 9 600 − 9f = 3 300.
- Então −7f = −6 300, logo f = 900.
- a = 3 200 − 3 × 900 = 3 200 − 2 700 = 500.
Resposta: o feijão custa 900 Kz/kg e o arroz 500 Kz/kg. Verificação: 2 × 900 + 3 × 500 = 1 800 + 1 500 = 3 300 e 3 × 900 + 500 = 2 700 + 500 = 3 200.
Exemplo 3 — Idades
Enunciado: A idade de um pai é o triplo da idade do filho. Daqui a 10 anos, o pai terá o dobro da idade do filho. Que idades têm hoje?
Resolução:
- Sejam p a idade do pai e f a do filho: p = 3f.
- Daqui a 10 anos: p + 10 = 2(f + 10).
- Substituindo p: 3f + 10 = 2f + 20, logo f = 10.
- p = 3 × 10 = 30.
Resposta: o filho tem 10 anos e o pai 30 anos. Verificação: daqui a 10 anos terão 40 e 20, e 40 = 2 × 20.
Exemplo 4 — Nível de exame: bilhetes de dois tipos
Enunciado: Num espetáculo foram vendidos 200 bilhetes, uns de adulto a 1 500 Kz e outros de criança a 800 Kz, num total de 216 000 Kz. Quantos bilhetes de cada tipo foram vendidos?
Resolução:
- Seja a o número de bilhetes de adulto e c o de criança: a + c = 200 e 1 500a + 800c = 216 000.
- De a + c = 200 vem c = 200 − a.
- Substituindo: 1 500a + 800(200 − a) = 216 000, isto é, 1 500a + 160 000 − 800a = 216 000.
- Então 700a = 56 000, logo a = 80.
- c = 200 − 80 = 120.
Resposta: 80 bilhetes de adulto e 120 de criança. Verificação: 80 + 120 = 200; 80 × 1 500 = 120 000; 120 × 800 = 96 000; e 120 000 + 96 000 = 216 000.
Erros frequentes
- Não definir as incógnitas. Escreva sempre «x = …, y = …» antes de montar as equações; evita trocar os papéis no fim.
- Inverter «triplo de»: «x é o triplo de y» é x = 3y, e não y = 3x. Teste com números: se y = 2, x tem de ser 6.
- Esquecer que o tempo passa nos problemas de idades: daqui a 10 anos soma-se 10 às duas idades.
- Usar uma só informação duas vezes e deixar outra por usar. Cada frase do enunciado com número deve aparecer numa equação.
- Distribuir mal os parênteses: 2(f + 10) é 2f + 20, e não 2f + 10.
- Responder só com x quando o problema pergunta também por y, ou esquecer as unidades.
- Verificar só nas equações e não no texto: se a tradução estiver errada, a verificação nas equações passa e a resposta continua errada.
- Aceitar valores sem sentido: um número de bilhetes fracionário ou negativo mostra que há um erro na montagem.
Exercícios propostos
1Exercício 1
O perímetro de um retângulo é 36 m e o comprimento excede a largura em 4 m. Determine as dimensões.
Ver dica
Perímetro = 2 × (comprimento + largura).
Ver solução
Seja c o comprimento e l a largura: 2(c + l) = 36, ou seja, c + l = 18, e c = l + 4. Substituindo: l + 4 + l = 18, logo 2l = 14 e l = 7. Então c = 11. Largura 7 m, comprimento 11 m. Verificação: 2 × (11 + 7) = 36 e 11 − 7 = 4.
2Exercício 2
Numa turma de 40 alunos há mais 6 raparigas do que rapazes. Quantos rapazes e quantas raparigas tem a turma?
Ver solução
Seja m o número de rapazes e r o de raparigas: m + r = 40 e r = m + 6. Substituindo: m + m + 6 = 40, logo 2m = 34 e m = 17. Então r = 23. 17 rapazes e 23 raparigas. Verificação: 17 + 23 = 40 e 23 − 17 = 6.
3Exercício 3
Num candongueiro (preços fictícios), 3 adultos e 2 crianças pagam 1 300 Kz; 2 adultos e 4 crianças pagam 1 400 Kz. Quanto paga cada adulto e cada criança?
Ver dica
Multiplique a primeira equação por 2 para igualar os coeficientes de c.
Ver solução
Sejam a e c os preços: 3a + 2c = 1 300 e 2a + 4c = 1 400. Multiplicando a primeira por 2: 6a + 4c = 2 600. Subtraindo a segunda: 4a = 1 200, logo a = 300. Então 2c = 1 300 − 900 = 400 e c = 200. Adulto 300 Kz, criança 200 Kz. Verificação: 2 × 300 + 4 × 200 = 600 + 800 = 1 400.
4Exercício 4
A soma das idades da Ana e da mãe é 48 anos. Há 6 anos, a mãe tinha 5 vezes a idade da Ana. Que idades têm hoje?
Ver dica
Há 6 anos, subtraem-se 6 anos às duas idades.
Ver solução
Sejam a a idade da Ana e m a da mãe: a + m = 48 e m − 6 = 5(a − 6). A segunda dá m = 5a − 30 + 6 = 5a − 24. Substituindo: a + 5a − 24 = 48, logo 6a = 72 e a = 12. Então m = 36. Ana 12 anos, mãe 36 anos. Verificação: há 6 anos tinham 6 e 30, e 30 = 5 × 6.
5Exercício 5
Um comerciante mistura café de 2 000 Kz/kg com café de 3 000 Kz/kg para obter 20 kg de mistura que fica a 2 400 Kz/kg. Quantos quilogramas de cada café usou?
Ver dica
O custo total da mistura é 20 × 2 400.
Ver solução
Seja x os kg do café mais barato e y os do mais caro: x + y = 20 e 2 000x + 3 000y = 20 × 2 400 = 48 000. Dividindo a segunda por 1 000: 2x + 3y = 48. Da primeira, x = 20 − y: 2(20 − y) + 3y = 48, ou seja, 40 + y = 48 e y = 8. Então x = 12. 12 kg do café de 2 000 Kz e 8 kg do de 3 000 Kz. Verificação: 12 × 2 000 + 8 × 3 000 = 24 000 + 24 000 = 48 000 e 48 000 ÷ 20 = 2 400.
Perguntas frequentes
Como escolho quais são as incógnitas?
Escolha as grandezas que o problema pede. Se pergunta «quantos rapazes e quantas raparigas», x e y são esses dois números. Evite criar incógnitas a mais: se duas grandezas estão ligadas por uma relação simples, uma delas pode escrever-se em função da outra.
Quando uso substituição e quando uso adição?
Use a substituição quando uma incógnita tem coeficiente 1 ou já está isolada (como em p = 3f). Use a adição quando os coeficientes de uma incógnita são simétricos ou se igualam facilmente, como em x + y = 48 e x − y = 12. O resultado é o mesmo.
E se a solução der negativa ou fracionária?
Reveja primeiro a montagem das equações. Se estiver certa e a solução não tiver sentido no contexto (por exemplo, −3 alunos), o problema pode não ter solução admissível, e isso deve ser dito na resposta.
Existe um método mais rápido?
Em muitos problemas, escrever uma incógnita em função da outra logo no início (por exemplo, c = 200 − a) poupa passos. A rapidez vem sobretudo de treinar a tradução do texto para equações.
Resumo
- Um problema com duas incógnitas e duas informações resolve-se com um sistema de duas equações.
- Defina as incógnitas por escrito, com unidades, antes de montar as equações.
- Traduza uma informação por equação e confirme que usou todas as informações numéricas.
- Resolva por substituição ou adição e responda com uma frase completa.
- Verifique os valores no texto do enunciado e confirme que fazem sentido no contexto.
Onde aprofundar
- O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
- O manual aberto OpenStax Algebra and Trigonometry (em inglês), secção sobre sistemas de equações lineares e aplicações.
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