Como resolver sistemas de três equações com três incógnitas?

Quando se aplica

Um sistema de três equações com três incógnitas tem a forma «três equações do 1.º grau em x, y e z». Aparece em problemas com três grandezas desconhecidas, como os preços de três produtos, três idades ou três quantidades numa mistura, e em geral cada informação do enunciado dá uma equação.

Geometricamente, cada equação linear com x, y e z representa um plano no espaço. A solução é o ponto onde os três planos se cortam. Pode acontecer uma de três coisas:

Como não se desenha facilmente no espaço, usa-se o método algébrico da redução (eliminação), muitas vezes combinado com a substituição.

Método passo a passo

1. Numere e alinhe as equações (E1, E2, E3), com x, y e z em colunas. Se faltar uma incógnita numa equação, o seu coeficiente é 0.
2. Escolha a incógnita a eliminar: a que tem coeficientes mais simples (1, −1 ou simétricos).
3. Elimine-a duas vezes, com pares de equações diferentes (por exemplo E1 com E2, e E1 com E3), somando ou subtraindo, depois de multiplicar por um número se for preciso. Multiplique todos os termos da equação, incluindo o termo independente. Obtém duas equações só com duas incógnitas (A e B).
4. Resolva o sistema A e B (2 × 2) por substituição ou adição.
5. Calcule a terceira incógnita substituindo os dois valores numa das equações iniciais.
6. Verifique nas três equações originais.
7. Interprete casos especiais: se ao eliminar sobrar 0 = 0, o sistema é indeterminado; se sobrar uma igualdade falsa como 0 = 3, é impossível.

Variante: substituição

Se uma equação já tiver uma incógnita facilmente isolável (por exemplo z = 2x + y), isole-a e substitua nas outras duas, o que também leva a um sistema 2 × 2.

Exemplos resolvidos

Erros frequentes

• Eliminar incógnitas diferentes em cada par. Se eliminar z num par e y noutro, fica com três incógnitas. Escolha uma incógnita e elimine essa nas duas operações.
• Combinar sempre o mesmo par de equações. Duas combinações de E1 com E2 dão equações equivalentes e não resolvem nada; use pares diferentes.
• Multiplicar só um termo da equação. Ao multiplicar por 2, o termo independente também é multiplicado.
• Errar o sinal ao subtrair equações: subtrair (−y) é somar y. Alinhe as equações e subtraia termo a termo com cuidado.
• Parar nos dois primeiros valores e esquecer a terceira incógnita.
• Verificar só numa equação. O resultado tem de cumprir as três.
• Concluir «impossível» quando aparece 0 = 0. Essa igualdade verdadeira indica infinitas soluções; só uma igualdade falsa indica impossibilidade.
• Ignorar coeficientes nulos: em x − y = 1 o coeficiente de z é 0 e deve ser tido em conta ao alinhar.