Matemática · 8.ª–10.ª classe
Como resolver sistemas pelo método da adição ordenada?
Resposta curta
No método da adição ordenada, prepare as equações para que uma incógnita tenha coeficientes simétricos (iguais e de sinal contrário), some as equações membro a membro (essa incógnita desaparece), resolva a equação que sobra e substitua o valor numa das equações originais. Exemplo: de x + y = 10 e x − y = 4, somando obtém-se 2x = 14, logo x = 7 e y = 3.
Quando se aplica
Aplica-se a sistemas de duas equações do 1.º grau com duas incógnitas, escritos na forma ax + by = c. É o método mais prático quando as incógnitas não estão isoladas e os coeficientes não são 1 ou −1, e quando os coeficientes de uma das incógnitas já são simétricos ou fáceis de tornar simétricos. Também se chama método da adição, ou da eliminação, porque elimina uma incógnita.
A ideia em que se baseia
Se somar duas igualdades membro a membro, obtém uma igualdade verdadeira. Por exemplo, de 3 = 3 e 5 = 5 resulta 3 + 5 = 3 + 5. E se multiplicar todos os termos de uma equação pelo mesmo número (diferente de zero), obtém uma equação equivalente, com as mesmas soluções.
Pré-requisitos
- Resolver equações do 1.º grau.
- Multiplicar uma equação inteira por um número, incluindo os dois membros.
- Saber o que são números simétricos: 4 e −4, 6 e −6.
Método passo a passo
- Escreva as equações na forma ax + by = c, com as incógnitas alinhadas por colunas: x por baixo de x, y por baixo de y, números por baixo de números.
- Escolha a incógnita a eliminar e procure o mínimo múltiplo comum dos seus coeficientes (em valor absoluto).
- Multiplique cada equação por um número (todos os termos, dos dois membros) para que os coeficientes dessa incógnita fiquem simétricos. Se já forem simétricos, passe ao passo seguinte; se forem iguais, multiplique uma das equações por −1.
- Some as equações membro a membro: a incógnita escolhida desaparece.
- Resolva a equação que ficou com uma incógnita.
- Substitua o valor numa das equações originais (a mais simples) e calcule a outra incógnita.
- Escreva o par (x, y) e verifique nas duas equações originais.
Se quiser, pode repetir o processo para eliminar a outra incógnita, em vez de substituir.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Coeficientes já simétricos
Enunciado: Resolva o sistema: 2x + y = 9 e 3x − y = 11.
Resolução:
- Os coeficientes de y são 1 e −1, que são simétricos. Some as equações: (2x + 3x) + (y − y) = 9 + 11.
- Fica 5x = 20, logo x = 4.
- Substitua na primeira equação: 2 × 4 + y = 9, logo 8 + y = 9 e y = 1.
Resposta: (x, y) = (4, 1). Verificação: 2 × 4 + 1 = 9 e 3 × 4 − 1 = 11.
Exemplo 2 — Multiplicar uma das equações
Enunciado: Resolva o sistema: x + 2y = 8 e 3x − 4y = 4.
Resolução:
- Os coeficientes de y são 2 e −4. Multiplique a primeira equação por 2: 2x + 4y = 16.
- Agora os coeficientes de y são 4 e −4. Some com a segunda: (2x + 3x) + (4y − 4y) = 16 + 4.
- Fica 5x = 20, logo x = 4.
- Substitua na primeira equação original: 4 + 2y = 8, logo 2y = 4 e y = 2.
Resposta: (x, y) = (4, 2). Verificação: 4 + 2 × 2 = 8 e 3 × 4 − 4 × 2 = 12 − 8 = 4.
Exemplo 3 — Multiplicar as duas equações
Enunciado: Resolva o sistema: 3x + 2y = 12 e 5x − 3y = 1.
Resolução:
- Para eliminar y, os coeficientes 2 e −3 têm mínimo múltiplo comum 6.
- Multiplique a primeira equação por 3: 9x + 6y = 36. Multiplique a segunda por 2: 10x − 6y = 2.
- Some: (9x + 10x) + (6y − 6y) = 36 + 2, isto é, 19x = 38 e x = 2.
- Substitua na primeira equação original: 3 × 2 + 2y = 12, logo 2y = 6 e y = 3.
Resposta: (x, y) = (2, 3). Verificação: 3 × 2 + 2 × 3 = 12 e 5 × 2 − 3 × 3 = 10 − 9 = 1.
Exemplo 4 — Nível de exame: problema com bilhetes
Enunciado: Suponha que 3 bilhetes de adulto e 2 de criança custam 4 000 Kz, e que 2 bilhetes de adulto e 5 de criança custam 4 500 Kz. Qual é o preço de cada bilhete?
Resolução:
- Seja a o preço do bilhete de adulto e c o de criança: 3a + 2c = 4 000 e 2a + 5c = 4 500.
- Para eliminar a, multiplique a primeira por 2: 6a + 4c = 8 000. Multiplique a segunda por −3: −6a − 15c = −13 500.
- Some: (6a − 6a) + (4c − 15c) = 8 000 − 13 500, isto é, −11c = −5 500 e c = 500.
- Substitua na primeira equação original: 3a + 2 × 500 = 4 000, logo 3a = 3 000 e a = 1 000.
Resposta: o bilhete de adulto custa 1 000 Kz e o de criança 500 Kz. Verificação: 3 × 1 000 + 2 × 500 = 4 000 e 2 × 1 000 + 5 × 500 = 2 000 + 2 500 = 4 500.
Quando as incógnitas desaparecem
Se, ao somar, as duas incógnitas desaparecem:
- Para x − y = 2 e 3x − 3y = 9: multiplique a primeira por −3, obtendo −3x + 3y = −6, e some com a segunda: 0 = 3. Igualdade falsa: o sistema é impossível.
- Para x − y = 2 e 3x − 3y = 6: multiplique a primeira por −3 e some com a segunda: 0 = 0. Igualdade sempre verdadeira: o sistema é possível e indeterminado, com infinitas soluções, como (3, 1) ou (2, 0).
Erros frequentes
- Somar quando os coeficientes são iguais, em vez de os tornar simétricos. Em 2x + y = 9 e 3x + y = 11, somar dá 5x + 2y = 20 e não elimina nada; multiplique uma equação por −1 (ou subtraia).
- Multiplicar só um membro, ou só alguns termos. Ao multiplicar por 3 a equação x + 2y = 8, é 3x + 6y = 24, e não 3x + 2y = 24.
- Errar o sinal ao multiplicar por um número negativo. Multiplicar 4x − 5y = 7 por −2 dá −8x + 10y = −14.
- Esquecer de somar os segundos membros. Some também os números do lado direito.
- Não calcular a segunda incógnita. A solução é um par (x, y).
- Substituir numa equação já transformada com erro. Volte a uma das equações originais para calcular a segunda incógnita e para verificar.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Resolva: x + y = 9 e x − y = 3.
Ver solução
Somando: 2x = 12, logo x = 6. Então 6 + y = 9 e y = 3. Solução: (6, 3). Verificação: 6 + 3 = 9 e 6 − 3 = 3.
2Exercício 2
Resolva: 2x + 3y = 12 e 2x − y = 4.
Ver dica
Os coeficientes de x são iguais. Multiplique a segunda equação por −1 e some.
Ver solução
Multiplicando a segunda por −1: −2x + y = −4. Somando com a primeira: 4y = 8, logo y = 2. Então 2x − 2 = 4, 2x = 6 e x = 3. Solução: (3, 2). Verificação: 2 × 3 + 3 × 2 = 12 e 2 × 3 − 2 = 4.
3Exercício 3
Resolva: x + 3y = 11 e 2x − y = 1.
Ver solução
Multiplique a segunda equação por 3: 6x − 3y = 3. Some com a primeira: 7x = 14, logo x = 2. Então 2 + 3y = 11, 3y = 9 e y = 3. Solução: (2, 3). Verificação: 2 + 3 × 3 = 11 e 2 × 2 − 3 = 1.
4Exercício 4
Suponha que 2 sandes e 3 sumos custam 1 700 Kz e que 3 sandes e 2 sumos custam 1 800 Kz. Calcule o preço de cada artigo.
Ver dica
Seja s o preço da sandes e j o do sumo. Para eliminar s, multiplique uma equação por 3 e a outra por −2.
Ver solução
2s + 3j = 1 700 e 3s + 2j = 1 800. Primeira × 3: 6s + 9j = 5 100. Segunda × (−2): −6s − 4j = −3 600. Somando: 5j = 1 500, logo j = 300. Então 2s + 900 = 1 700, 2s = 800 e s = 400. A sandes custa 400 Kz e o sumo 300 Kz. Verificação: 2 × 400 + 3 × 300 = 1 700 e 3 × 400 + 2 × 300 = 1 800.
5Exercício 5
Classifique cada sistema pelo método da adição: (a) 3x − 6y = 9 e x − 2y = 4; (b) 3x − 6y = 12 e x − 2y = 4.
Ver dica
Multiplique a segunda equação por −3 e some.
Ver solução
Segunda × (−3): −3x + 6y = −12. (a) Somando com 3x − 6y = 9: 0 = −3, falso: impossível. (b) Somando com 3x − 6y = 12: 0 = 0, sempre verdadeiro: possível e indeterminado.
Perguntas frequentes
Quando se usa o método da adição?
Quando as incógnitas não estão isoladas e os coeficientes não são 1 ou −1, ou quando os coeficientes de uma incógnita já são simétricos. Se uma incógnita já estiver isolada, a substituição costuma ser mais direta.
O que significa «adição ordenada» no método?
Refere-se a somar as equações membro a membro, com as incógnitas escritas por ordem e alinhadas em colunas. O alinhamento evita somar termos de incógnitas diferentes e ajuda a controlar os sinais; confirme no manual da sua classe a definição exata que o seu professor usa.
Existe um método mais rápido?
Se os coeficientes de uma incógnita já forem simétricos, basta somar e a conta fica muito curta. Caso contrário, escolher a incógnita com os coeficientes mais pequenos para eliminar reduz as multiplicações.
Que erros são mais comuns?
Multiplicar apenas um termo da equação, errar o sinal ao multiplicar por um número negativo e esquecer de somar os segundos membros. Escreva a equação multiplicada por extenso antes de somar.
Resumo
- Adição ordenada: tornar simétricos os coeficientes de uma incógnita, somar as equações e eliminá-la.
- Multiplique todos os termos de uma equação, dos dois membros.
- Calcule a segunda incógnita numa equação original e verifique o par nas duas.
- Se ao somar tudo desaparecer, 0 = número diferente de zero → impossível; 0 = 0 → indeterminado.
- Use a adição quando os coeficientes não são 1 ou −1; a substituição, quando há uma incógnita isolada.
Onde aprofundar
- O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
- O manual aberto OpenStax Elementary Algebra ou Intermediate Algebra (em inglês), nos capítulos sobre sistemas de equações lineares.
- A Khan Academy, que tem lições sobre sistemas de equações disponíveis em português.
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