Matemática · 8.ª–10.ª classe
Como resolver sistemas pelo método gráfico?
Resposta curta
Passos: escreva cada equação na forma y = mx + b, desenhe as duas retas no mesmo referencial e leia as coordenadas do ponto onde se cortam. Esse par (x; y) é a solução do sistema. Retas paralelas não têm solução; retas coincidentes têm infinitas. Confirme sempre substituindo nas duas equações.
Quando se aplica
O método gráfico serve para sistemas de duas equações lineares com duas incógnitas, como x + y = 5 e x − y = 1. Cada equação linear é uma reta, e resolver o sistema é procurar o ponto que pertence às duas retas ao mesmo tempo: um par de números que torna as duas igualdades verdadeiras.
É um método muito visual e ajuda a perceber porque um sistema pode ter uma solução, nenhuma ou infinitas. Tem uma limitação: a leitura no gráfico só é exata quando o ponto de interseção cai num cruzamento da quadrícula. Se a solução for, por exemplo, x = 5/3, o desenho dá apenas uma aproximação e convém recorrer à substituição ou à adição.
Pré-requisitos
- Saber marcar pontos (x; y) num referencial cartesiano.
- Saber isolar y numa equação linear.
- Saber construir uma tabela de valores e traçar uma reta com dois ou três pontos.
Os três casos possíveis
Depois de isolar y em cada equação, compare os declives (m) e as ordenadas na origem (b):
| Situação | As retas são | Número de soluções | Nome do sistema |
|---|---|---|---|
| Declives diferentes | concorrentes (cortam-se num ponto) | uma | possível e determinado |
| Mesmo declive, b diferentes | paralelas | nenhuma | impossível |
| Mesmo declive, mesmo b | coincidentes | infinitas | possível e indeterminado |
Método passo a passo
- Isole y em cada equação: y = mx + b. Por exemplo, x + y = 5 passa a y = 5 − x.
- Construa uma tabela com pelo menos dois valores de x para cada reta (três é mais seguro, porque o terceiro ponto denuncia um erro). Escolha valores de x que deem y inteiro.
- Marque os pontos no mesmo referencial, com a mesma escala nos dois eixos, e trace cada reta com a régua, prolongando-a até ao fim da folha.
- Leia o ponto de interseção. As coordenadas desse ponto são x e y.
- Verifique substituindo x e y nas duas equações originais. Se uma falhar, há erro no desenho ou na tabela.
- Escreva a resposta como par ordenado ou como x = … e y = …. Se as retas não se cruzam, escreva «sistema impossível»; se coincidem, «sistema indeterminado».
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Retas concorrentes, solução inteira
Enunciado: Resolva graficamente o sistema x + y = 5 e x − y = 1.
Resolução:
- Isolando y: y = 5 − x e y = x − 1.
- Tabela da primeira reta: x = 0 dá y = 5; x = 5 dá y = 0; x = 3 dá y = 2. Tabela da segunda: x = 0 dá y = −1; x = 1 dá y = 0; x = 3 dá y = 2.
- Marcando os pontos e traçando as retas, vê-se que ambas passam pelo ponto (3; 2), que aparece nas duas tabelas.
- Esse é o único ponto comum, porque os declives são diferentes (−1 e 1).
Resposta: x = 3 e y = 2. Verificação: 3 + 2 = 5 e 3 − 2 = 1.
Exemplo 2 — Coeficientes diferentes de 1
Enunciado: Resolva graficamente 2x + y = 7 e x − y = −1.
Resolução:
- Isolando y: y = 7 − 2x e y = x + 1.
- Primeira reta: x = 1 dá y = 5; x = 2 dá y = 3; x = 3 dá y = 1.
- Segunda reta: x = 0 dá y = 1; x = 2 dá y = 3; x = 4 dá y = 5.
- O ponto (2; 3) pertence às duas tabelas, logo é o ponto de interseção.
Resposta: x = 2 e y = 3. Verificação: 2 × 2 + 3 = 7 e 2 − 3 = −1.
Exemplo 3 — Sem solução ou com infinitas soluções
Enunciado: Classifique, sem desenhar, os sistemas (a) y = 2x + 1 e 2x − y = 5; (b) y = 2x + 1 e 4x − 2y = −2.
Resolução:
- (a) Isolando y na segunda equação: −y = 5 − 2x, logo y = 2x − 5. Os declives são iguais (2) e as ordenadas na origem diferentes (1 e −5): retas paralelas.
- (b) Na segunda: −2y = −2 − 4x, logo y = 2x + 1. É exatamente a primeira equação: retas coincidentes.
Resposta: (a) sistema impossível; (b) sistema indeterminado (infinitas soluções, todos os pontos da reta y = 2x + 1). Verificação: em (a), o ponto (0; 1) está na primeira reta e dá 2 × 0 − 1 = −1, diferente de 5. Em (b), (1; 3) e (2; 5) verificam as duas equações: 4 − 6 = −2 e 8 − 10 = −2.
Exemplo 4 — Nível de exame: problema com interpretação
Enunciado: Em Luanda, a loja A aluga bicicletas por 400 Kz de taxa fixa mais 200 Kz por hora. A loja B cobra 100 Kz de taxa fixa mais 300 Kz por hora (valores de exemplo). A partir de quantas horas compensa mais a loja A?
Resolução:
- Seja x o número de horas e y o custo em kwanzas. Loja A: y = 200x + 400. Loja B: y = 300x + 100.
- Tabela: com x = 0, A custa 400 e B custa 100; com x = 2, A custa 800 e B custa 700; com x = 3, ambas custam 1 000; com x = 4, A custa 1 200 e B custa 1 300.
- As retas cruzam-se em (3; 1 000). Para x maior do que 3, a reta de A fica abaixo da de B, isto é, A custa menos.
Resposta: a loja A compensa a partir de mais de 3 horas (em 3 horas o preço é igual: 1 000 Kz). Verificação: 200 × 3 + 400 = 1 000 e 300 × 3 + 100 = 1 000.
Erros frequentes
- Escalas diferentes nos eixos ou unidades irregulares. Use sempre a mesma unidade em cada eixo e marque os números.
- Traçar a reta com um só ponto bem calculado. Calcule três pontos: se não estiverem alinhados, há um erro na tabela.
- Isolar mal o y, sobretudo com sinais: de x − y = 1 obtém-se y = x − 1, não y = 1 − x.
- Ler só o x e esquecer o y. A solução é um par.
- Não verificar nas duas equações. Um ponto lido «a olho» pode estar perto mas não ser a solução.
- Concluir «sem solução» só porque as retas parecem não se cruzar na folha. Compare os declives: se forem diferentes, cruzam-se, mesmo fora do papel.
- Confundir retas coincidentes com paralelas. Paralelas nunca se tocam; coincidentes são a mesma reta.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Resolva graficamente x + y = 6 e x − y = 2.
Ver dica
Isole y: y = 6 − x e y = x − 2.
Ver solução
Primeira reta: (0; 6), (3; 3), (6; 0). Segunda reta: (0; −2), (2; 0), (4; 2). Igualando as expressões de y (para confirmar a leitura): 6 − x = x − 2, logo x = 4 e y = 2. O ponto (4; 2) está na primeira reta (4 + 2 = 6) e na segunda (4 − 2 = 2). Solução: x = 4 e y = 2.
2Exercício 2
Resolva graficamente y = x + 1 e y = −x + 5.
Ver solução
Primeira reta: (0; 1), (1; 2), (2; 3). Segunda reta: (0; 5), (2; 3), (4; 1). Ambas passam por (2; 3). Verificação: 2 + 1 = 3 e −2 + 5 = 3. Solução: x = 2 e y = 3.
3Exercício 3
Resolva graficamente 2x + y = 4 e x + y = 3.
Ver dica
y = 4 − 2x e y = 3 − x.
Ver solução
Primeira reta: (0; 4), (1; 2), (2; 0). Segunda reta: (0; 3), (1; 2), (3; 0). O ponto comum é (1; 2). Verificação: 2 × 1 + 2 = 4 e 1 + 2 = 3. Solução: x = 1 e y = 2.
4Exercício 4
Classifique o sistema 3x − y = 2 e 6x − 2y = 8 e justifique.
Ver solução
Primeira equação: y = 3x − 2. Segunda: −2y = 8 − 6x, logo y = 3x − 4. Os declives são iguais (3) e as ordenadas na origem são diferentes (−2 e −4): as retas são paralelas. O sistema é impossível. Outra justificação: multiplicando a primeira equação por 2 obtém-se 6x − 2y = 4, que contradiz 6x − 2y = 8.
5Exercício 5
A Maria tem 20 000 Kz e poupa 2 000 Kz por mês. O João tem 5 000 Kz e poupa 5 000 Kz por mês. Escreva o sistema, resolva-o graficamente e interprete a solução.
Ver dica
Seja x o número de meses e y o dinheiro acumulado.
Ver solução
Maria: y = 20 000 + 2 000x. João: y = 5 000 + 5 000x. Tabela: x = 0 dá 20 000 e 5 000; x = 3 dá 26 000 e 20 000; x = 5 dá 30 000 e 30 000; x = 6 dá 32 000 e 35 000. As retas cruzam-se em (5; 30 000). Daqui a 5 meses ambos terão 30 000 Kz; a partir daí, o João tem mais. Verificação: 20 000 + 2 000 × 5 = 30 000 e 5 000 + 5 000 × 5 = 30 000.
Perguntas frequentes
Quando se usa o método gráfico?
Quando o enunciado pede explicitamente o gráfico, quando se quer visualizar o número de soluções ou quando se interpreta uma situação real (preços, poupanças, deslocações). Para obter valores exatos de soluções não inteiras, outros métodos são mais fiáveis.
Existe um método mais rápido?
Sim: a substituição e a adição (redução) dão a solução exata sem desenhar. Mas o método gráfico é o que melhor mostra o significado geométrico: a solução é o ponto onde as retas se cortam.
Posso usar uma calculadora gráfica ou o GeoGebra?
Para conferir o resultado, sim: o GeoGebra é um programa gratuito que desenha as retas e indica o ponto de interseção. Em testes e exames, porém, costuma pedir-se o desenho à mão; confirme com o seu professor o que é permitido.
Que erros são mais comuns?
Escalas irregulares nos eixos, erros de sinal ao isolar y e ler apenas uma das coordenadas. Veja a secção «Erros frequentes».
Resumo
- A solução de um sistema 2 × 2 pelo método gráfico é o ponto de interseção das duas retas.
- Isole y, faça tabelas com três pontos, use a mesma escala nos dois eixos e trace com régua.
- Declives diferentes: uma solução; declives iguais com b diferente: nenhuma; retas iguais: infinitas.
- A solução é um par (x; y) e verifica-se nas duas equações.
- Para soluções não inteiras, o gráfico só dá aproximações: use também um método algébrico.
Onde aprofundar
- O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
- O manual aberto OpenStax Algebra and Trigonometry (em inglês), nas secções sobre sistemas de equações lineares.
- O programa GeoGebra, para conferir os desenhos feitos à mão.
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