Matemática · 8.ª–10.ª classe

Como resolver sistemas pelo método da substituição?

  • 9 min de leitura
  • 4 exemplos resolvidos
  • 5 exercícios com solução
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Resposta curta

Para resolver um sistema pelo método da substituição, isole uma incógnita numa das equações, substitua a expressão obtida na outra equação, resolva a equação que fica com uma só incógnita e, por fim, calcule a outra incógnita. Exemplo: de y = x + 2 e x + y = 10 obtém-se x + (x + 2) = 10, logo 2x = 8, x = 4 e y = 6.

Quando se aplica

Um sistema de duas equações com duas incógnitas aparece quando um problema tem dois valores desconhecidos e duas informações que os relacionam. A solução do sistema é o par (x, y) que verifica as duas equações ao mesmo tempo.

O método da substituição é o mais cómodo quando:

  • uma das equações já tem uma incógnita isolada (y = x + 2, x = 3y);
  • uma incógnita tem coeficiente 1 ou −1, o que permite isolá-la sem criar frações.

Pré-requisitos

  • Resolver equações do 1.º grau.
  • Eliminar parênteses com a propriedade distributiva e a regra dos sinais.
  • Substituir uma letra por uma expressão (por exemplo, trocar y por x + 2).

Quantas soluções pode ter um sistema?

TipoO que acontece ao resolverSoluções
Possível e determinadoObtém-se um valor para cada incógnitaUma só: (x, y)
ImpossívelChega-se a uma igualdade falsa, como 6 = 8Nenhuma
Possível e indeterminadoChega-se a uma igualdade sempre verdadeira, como 6 = 6Infinitas

Método passo a passo

  1. Escreva o sistema com as incógnitas alinhadas e numere as equações, (1) e (2).
  2. Escolha uma equação e uma incógnita para isolar, de preferência aquela com coeficiente 1 ou −1. Por exemplo, de 2x + y = 11 obtém-se y = 11 − 2x.
  3. Substitua essa expressão na outra equação, entre parênteses. Nunca na mesma equação de onde a retirou.
  4. Resolva a equação que ficou com uma só incógnita (elimine parênteses, reduza e isole).
  5. Substitua o valor encontrado na expressão do passo 2 para obter a outra incógnita.
  6. Escreva a solução como par ordenado (x, y) e verifique nas duas equações originais.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Uma incógnita já isolada

Enunciado: Resolva o sistema: y = x + 2 e x + y = 10.

Resolução:

  1. A primeira equação já dá y em função de x. Substitua na segunda: x + (x + 2) = 10.
  2. Reduza: 2x + 2 = 10, logo 2x = 8 e x = 4.
  3. Calcule y: y = 4 + 2 = 6.

Resposta: (x, y) = (4, 6). Verificação: 4 + 6 = 10 e 6 = 4 + 2. As duas equações verificam-se.

Exemplo 2 — Isolar e substituir com parênteses

Enunciado: Resolva o sistema: 2x + y = 11 e 3x − 2y = 6.

Resolução:

  1. Na primeira equação, isole y: y = 11 − 2x.
  2. Substitua na segunda, com parênteses: 3x − 2(11 − 2x) = 6.
  3. Elimine os parênteses: 3x − 22 + 4x = 6.
  4. Reduza: 7x − 22 = 6, logo 7x = 28 e x = 4.
  5. Calcule y: y = 11 − 2 × 4 = 11 − 8 = 3.

Resposta: (x, y) = (4, 3). Verificação: 2 × 4 + 3 = 11 e 3 × 4 − 2 × 3 = 12 − 6 = 6.

Exemplo 3 — Problema do mercado

Enunciado: Suponha que 3 kg de tomate e 2 kg de cebola custam 2 700 Kz, e que 2 kg de tomate e 1 kg de cebola custam 1 650 Kz. Quanto custa o quilo de cada produto?

Resolução:

  1. Seja t o preço do quilo de tomate e c o da cebola: 3t + 2c = 2 700 e 2t + c = 1 650.
  2. Da segunda equação, isole c: c = 1 650 − 2t.
  3. Substitua na primeira: 3t + 2(1 650 − 2t) = 2 700.
  4. Elimine os parênteses: 3t + 3 300 − 4t = 2 700.
  5. Reduza: −t + 3 300 = 2 700, logo −t = −600 e t = 600.
  6. Calcule c: c = 1 650 − 2 × 600 = 1 650 − 1 200 = 450.

Resposta: o tomate custa 600 Kz/kg e a cebola 450 Kz/kg. Verificação: 3 × 600 + 2 × 450 = 1 800 + 900 = 2 700 e 2 × 600 + 450 = 1 650.

Exemplo 4 — Nível de exame: frações

Enunciado: Resolva o sistema: x/2 + y/3 = 4 e x − y = 3.

Resolução:

  1. Da segunda equação, isole x: x = y + 3.
  2. Substitua na primeira: (y + 3)/2 + y/3 = 4.
  3. Multiplique tudo por 6 (mínimo múltiplo comum dos denominadores): 3(y + 3) + 2y = 24.
  4. Elimine os parênteses e reduza: 3y + 9 + 2y = 24, logo 5y = 15 e y = 3.
  5. Calcule x: x = 3 + 3 = 6.

Resposta: (x, y) = (6, 3). Verificação: 6/2 + 3/3 = 3 + 1 = 4 e 6 − 3 = 3.

Quando as incógnitas desaparecem

Se, ao resolver o passo 4, as duas incógnitas desaparecem, o sistema não tem uma solução única:

  • Para x + y = 3 e 2x + 2y = 8: de y = 3 − x vem 2x + 2(3 − x) = 8, isto é, 6 = 8, que é falso. O sistema é impossível.
  • Para x + y = 3 e 2x + 2y = 6: 2x + 2(3 − x) = 6 dá 6 = 6, sempre verdadeiro. O sistema é possível e indeterminado, pois qualquer par com soma 3 serve, como (1, 2) ou (0, 3).

Erros frequentes

  • Substituir na mesma equação de onde isolou. Obtém-se uma igualdade do tipo 0 = 0 e fica sem informação nova. Substitua sempre na outra equação.
  • Esquecer os parênteses ao substituir. Em 3x − 2(11 − 2x), sem parênteses perde o sinal e escreve 3x − 2 × 11 − 2x, o que está errado.
  • Multiplicar só o primeiro termo. 2(11 − 2x) é 22 − 4x, e não 22 − 2x.
  • Parar depois de encontrar x. A solução é um par: falta calcular y.
  • Isolar mal a incógnita. De 2y = 10 − x obtém-se y = (10 − x)/2, e não y = 10 − x/2.
  • Verificar só numa equação. O par tem de verificar as duas equações originais.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Resolva: x = 2y e x + y = 12.

Ver solução

Substitua x por 2y na segunda equação: 2y + y = 12, logo 3y = 12 e y = 4. Então x = 2 × 4 = 8. Solução: (8, 4). Verificação: 8 + 4 = 12 e 8 = 2 × 4.

2Exercício 2

Resolva: x + y = 7 e 2x − y = 2.

Ver dica

Isole x na primeira equação: x = 7 − y.

Ver solução

Substitua na segunda: 2(7 − y) − y = 2, isto é, 14 − 2y − y = 2, 14 − 3y = 2, 3y = 12 e y = 4. Então x = 7 − 4 = 3. Solução: (3, 4). Verificação: 3 + 4 = 7 e 2 × 3 − 4 = 2.

3Exercício 3

Resolva: 3x + 2y = 13 e x − y = 1.

Ver solução

Da segunda: x = y + 1. Substituindo: 3(y + 1) + 2y = 13, logo 3y + 3 + 2y = 13, 5y = 10 e y = 2. Então x = 3. Solução: (3, 2). Verificação: 3 × 3 + 2 × 2 = 13 e 3 − 2 = 1.

4Exercício 4

Um caderno e duas canetas custam 500 Kz; dois cadernos e uma caneta custam 700 Kz. Calcule o preço de cada artigo.

Ver dica

Seja c o preço do caderno e p o da caneta: c + 2p = 500 e 2c + p = 700.

Ver solução

Da primeira: c = 500 − 2p. Na segunda: 2(500 − 2p) + p = 700, logo 1 000 − 4p + p = 700, 1 000 − 3p = 700, 3p = 300 e p = 100. Então c = 500 − 200 = 300. O caderno custa 300 Kz e a caneta 100 Kz. Verificação: 300 + 2 × 100 = 500 e 2 × 300 + 100 = 700.

5Exercício 5

Classifique cada sistema (determinado, impossível ou indeterminado): (a) 2x − 4y = 6 e x − 2y = 5; (b) 2x − 4y = 10 e x − 2y = 5.

Ver dica

Isole x na segunda equação em ambos: x = 5 + 2y.

Ver solução

(a) 2(5 + 2y) − 4y = 6 dá 10 + 4y − 4y = 6, isto é, 10 = 6, falso: impossível. (b) 2(5 + 2y) − 4y = 10 dá 10 = 10, sempre verdadeiro: possível e indeterminado, com infinitas soluções.

Perguntas frequentes

Quando se usa o método da substituição?

Quando uma das equações já tem uma incógnita isolada ou quando uma incógnita tem coeficiente 1 ou −1, porque se isola sem frações. Se todos os coeficientes forem diferentes de 1, o método da adição costuma dar menos contas.

Posso começar por isolar qualquer incógnita?

Sim, o resultado é o mesmo. Escolha a que evita frações: é mais seguro isolar a que tem coeficiente 1 ou −1.

O que significa chegar a 0 = 0 ou a 6 = 8?

Se chegar a uma igualdade sempre verdadeira (0 = 0), o sistema é indeterminado, com infinitas soluções. Se chegar a uma igualdade falsa (6 = 8), é impossível, não tem solução. Em nenhum caso há um par único.

Existe um método mais rápido?

O método da adição pode ser mais rápido quando os coeficientes são todos diferentes de 1, porque elimina uma incógnita somando as equações. A substituição é preferível quando já tem uma incógnita isolada.

Resumo

  • Substituição: isolar, substituir na outra equação, resolver, voltar atrás e verificar.
  • A solução de um sistema é um par (x, y) que verifica as duas equações.
  • Use parênteses ao substituir e multiplique todos os termos.
  • Igualdade falsa (6 = 8) → sistema impossível; igualdade sempre verdadeira (6 = 6) → indeterminado.
  • Verifique o par nas duas equações iniciais.

Onde aprofundar

  • O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
  • O manual aberto OpenStax Elementary Algebra ou Intermediate Algebra (em inglês), nos capítulos sobre sistemas de equações lineares.
  • A Khan Academy, que tem lições sobre sistemas de equações disponíveis em português.

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