Matemática · 5.ª–9.ª classe
Como resolver problemas de regra de três composta?
Resposta curta
Passos: organize os dados numa tabela, compare cada grandeza com a incógnita (relação direta ou inversa) e multiplique o valor conhecido da incógnita pelas razões das outras grandezas, invertendo as das relações inversas. Serve para problemas com três ou mais grandezas, como operários, horas e dias.
Quando se aplica
Na regra de três simples relacionam-se duas grandezas (por exemplo, quilos de arroz e preço). Na regra de três composta entram três ou mais grandezas ao mesmo tempo, como no problema «5 operários, a trabalhar 8 horas por dia, acabam uma obra em 12 dias»: aqui há operários, horas por dia e dias.
Pré-requisitos
Antes de começar, tem de saber distinguir os dois tipos de relação:
- Diretamente proporcionais: se uma duplica, a outra também duplica. Mais pão, mais dinheiro a pagar.
- Inversamente proporcionais: se uma duplica, a outra fica reduzida a metade. Mais pessoas a trabalhar, menos dias para acabar.
A tabela mostra como decidir em casos típicos de uma obra:
| Grandezas comparadas | Relação | Raciocínio |
|---|---|---|
| Operários e quantidade de obra feita | direta | mais operários, mais obra |
| Operários e dias para acabar a obra | inversa | mais operários, menos dias |
| Horas por dia e dias para acabar | inversa | mais horas por dia, menos dias |
Condição de validade
A regra só dá o valor exato se o ritmo for constante e igual: todos os trabalhadores (ou máquinas) rendem o mesmo, durante todo o tempo. O enunciado costuma garanti-lo com «ao mesmo ritmo».
Método passo a passo
- Arrume os dados numa tabela: uma coluna por grandeza, uma linha para a situação conhecida e outra para a nova, onde aparece o x.
- Identifique a grandeza da incógnita (a que contém o x): é com ela que as outras se comparam.
- Compare cada grandeza com a incógnita, uma de cada vez, com as restantes fixas: se a incógnita aumenta quando ela aumenta, a relação é direta; se diminui, é inversa.
- Escreva a razão de cada grandeza: valor novo ÷ valor antigo. Se a relação for inversa, inverta a razão (valor antigo ÷ valor novo).
- Multiplique: x = valor conhecido da incógnita × razão 1 × razão 2 × …
- Calcule e verifique se o resultado é coerente (mais operários deve dar menos dias, por exemplo).
Regra de três composta
x = (valor conhecido da incógnita) × (razão da grandeza 1) × (razão da grandeza 2) × … Razão direta: novo ÷ antigo. Razão inversa: antigo ÷ novo.
Alternativa: redução à unidade
Em vez de montar razões, pode calcular primeiro o rendimento de uma unidade e multiplique-o pelos valores novos. Exemplo: 12 pessoas gastam 90 kg de arroz em 30 dias; uma pessoa gasta 90 ÷ (12 × 30) = 0,25 kg por dia, logo 20 pessoas em 45 dias gastam 20 × 45 × 0,25 = 225 kg. Dá o mesmo resultado que 90 × 20/12 × 45/30 = 225.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Duas relações diretas
Enunciado: Quatro pedreiros constroem 30 m de muro em 5 dias. Quantos metros de muro constroem 6 pedreiros em 10 dias, ao mesmo ritmo?
Resolução:
- A incógnita são os metros de muro (x).
- Pedreiros e muro: mais pedreiros constroem mais muro, logo a relação é direta (razão 6/4).
- Dias e muro: mais dias, mais muro, logo também direta (razão 10/5).
- x = 30 × 6/4 × 10/5 = 30 × 1,5 × 2 = 90.
Resposta: 90 m de muro. Verificação: cada pedreiro faz 30 ÷ (4 × 5) = 1,5 m por dia; 6 × 10 × 1,5 = 90.
Exemplo 2 — Duas relações inversas
Enunciado: Cinco operários, a trabalhar 8 horas por dia, acabam uma obra em 12 dias. Em quantos dias acabariam a mesma obra 10 operários a trabalhar 6 horas por dia?
Resolução:
- A incógnita são os dias (x).
- Operários e dias: mais operários, menos dias, logo inversa. A razão 10/5 passa a 5/10.
- Horas por dia e dias: menos horas por dia, mais dias, logo também inversa. A razão 6/8 passa a 8/6.
- x = 12 × 5/10 × 8/6.
- 12 × 5/10 = 6 e 6 × 8/6 = 8.
Resposta: 8 dias. Verificação: o trabalho total é 5 × 8 × 12 = 480 horas de operário; 10 operários a trabalhar 6 horas fazem 10 × 6 = 60 horas de operário por dia; 480 ÷ 60 = 8.
Exemplo 3 — Nível de exame: relações mistas
Enunciado: Dez trabalhadores abrem 60 m de vala em 4 dias, a trabalhar 6 horas por dia. Quantos dias serão precisos para 8 trabalhadores abrirem 120 m de vala, a trabalhar 5 horas por dia?
Resolução:
- A incógnita são os dias (x).
- Metros de vala e dias: mais vala, mais dias, logo direta (razão 120/60).
- Trabalhadores e dias: menos trabalhadores, mais dias, logo inversa (razão 10/8).
- Horas por dia e dias: menos horas por dia, mais dias, logo inversa (razão 6/5).
- x = 4 × 120/60 × 10/8 × 6/5, que se calcula por partes.
- 4 × 120/60 = 8; 8 × 10/8 = 10; 10 × 6/5 = 12.
Resposta: 12 dias. Verificação: 60 m custam 10 × 4 × 6 = 240 horas de trabalhador, ou seja, 4 horas por metro; 120 m custam 120 × 4 = 480 horas; 8 trabalhadores fazem 8 × 5 = 40 horas por dia; 480 ÷ 40 = 12.
Erros frequentes
- Comparar as grandezas entre si em vez de as comparar com a incógnita. A pergunta certa é sempre: «se esta grandeza aumentar, o x aumenta ou diminui?», com as restantes fixas.
- Inverter todas as razões, ou nenhuma. Cada grandeza tem a sua própria relação; no mesmo problema pode haver razões diretas e inversas (Exemplo 3).
- Confundir horas por dia com dias. São grandezas diferentes: 8 horas por dia durante 12 dias dão 96 horas no total. Trate cada uma na sua coluna.
- Somar as razões em vez de as multiplicar.
- Misturar unidades. Se uma coluna está em minutos e outra em horas, converta antes de calcular.
- Aplicar a regra a grandezas que não são proporcionais. O preço de uma corrida de táxi com taxa fixa inicial não é proporcional à distância; a idade de uma pessoa também não é proporcional ao seu peso.
- Não verificar o sentido do resultado. Se há mais trabalhadores e o resultado deu mais dias, há uma razão por inverter.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Duas costureiras fazem 12 camisas em 3 dias. Quantas camisas fazem 5 costureiras em 6 dias, ao mesmo ritmo?
Ver dica
As duas relações com o número de camisas são diretas.
Ver solução
Camisas e costureiras: direta (5/2). Camisas e dias: direta (6/3). x = 12 × 5/2 × 6/3 = 12 × 2,5 × 2 = 60 camisas.
2Exercício 2
Quatro torneiras iguais, abertas 6 horas por dia, gastam 720 litros de água em 3 dias. Quantos litros gastam 3 torneiras, abertas 8 horas por dia, em 5 dias?
Ver solução
Litros e torneiras: direta (3/4). Litros e horas por dia: direta (8/6). Litros e dias: direta (5/3). x = 720 × 3/4 × 8/6 × 5/3; 720 × 3/4 = 540; 540 × 8/6 = 720; 720 × 5/3 = 1 200. Resposta: 1 200 litros. Verificação: 4 × 6 × 3 = 72 horas de torneira gastam 720 litros (10 litros por hora); 3 × 8 × 5 = 120 horas, 120 × 10 = 1 200.
3Exercício 3
Doze trabalhadores, a trabalhar 8 horas por dia, pintam um prédio em 15 dias. Em quantos dias o pintariam 10 trabalhadores a trabalhar 9 horas por dia?
Ver solução
Dias e trabalhadores: inversa (razão 12/10). Dias e horas por dia: inversa (razão 8/9). x = 15 × 12/10 × 8/9; 15 × 12/10 = 18; 18 × 8/9 = 16. Resposta: 16 dias. Verificação: o trabalho total é 12 × 8 × 15 = 1 440 horas de trabalhador; 10 × 9 = 90 horas por dia; 1 440 ÷ 90 = 16.
4Exercício 4
Para alimentar 30 galinhas durante 12 dias são necessários 90 kg de ração. Durante quantos dias duram 150 kg de ração a 60 galinhas?
Ver dica
Os dias são diretos em relação aos quilos de ração e inversos em relação ao número de galinhas.
Ver solução
Dias e quilos: direta (150/90). Dias e galinhas: inversa (razão 30/60). x = 12 × 150/90 × 30/60; 12 × 150/90 = 20; 20 × 30/60 = 10. Resposta: 10 dias.
5Exercício 5
Cinco tratores, a trabalhar 8 horas por dia durante 4 dias, lavram 80 hectares. Quantos tratores são precisos para lavrar 120 hectares em 6 dias, a trabalhar 5 horas por dia?
Ver solução
Tratores e hectares: direta (120/80). Tratores e dias: inversa (razão 4/6). Tratores e horas por dia: inversa (razão 8/5). x = 5 × 120/80 × 4/6 × 8/5; 5 × 120/80 = 7,5; 7,5 × 4/6 = 5; 5 × 8/5 = 8. Resposta: 8 tratores. Verificação: 160 horas de trator lavram 80 hectares, ou seja, 2 horas por hectare; 120 hectares pedem 240 horas; cada trator trabalha 6 × 5 = 30 horas; 240 ÷ 30 = 8.
Perguntas frequentes
Quando se usa este método?
Quando um problema relaciona três ou mais grandezas proporcionais e só falta um valor. Com duas grandezas basta a regra de três simples; se não forem proporcionais, a regra não se aplica.
Existe um método mais rápido?
Sim: nos problemas de obra, operários × horas por dia × dias dá o trabalho total, que só depende da obra. Igualar os totais das duas situações, como nas verificações acima, dispensa a tabela de razões.
Como saber se uma relação é direta ou inversa?
Pergunte, com as outras grandezas fixas: «se esta duplicar, o x duplica ou reduz-se a metade?» Se duplica, é direta; se se reduz a metade, é inversa.
Resumo
- A regra de três composta resolve problemas com três ou mais grandezas proporcionais.
- Cada grandeza compara-se com a incógnita, mantendo as outras fixas: relação direta ou inversa.
- Razão direta: novo ÷ antigo; razão inversa: antigo ÷ novo.
- O resultado é o valor conhecido da incógnita multiplicado por todas as razões.
- Confirme sempre pelo trabalho total ou por redução à unidade, e veja se o sentido do resultado é coerente.
Onde aprofundar
- O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
- O manual aberto OpenStax Prealgebra (em inglês), nos temas de razões, taxas e proporções.
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