Matemática · 5.ª–9.ª classe
Como resolver uma proporção?
Resposta curta
Uma proporção é a igualdade de duas razões, a/b = c/d. Para encontrar o termo desconhecido, multiplique em cruz (a × d = b × c) e divida pelo número que ficou ao lado do x. Por exemplo, 3/5 = x/20 dá x = 3 × 20 ÷ 5 = 12.
Quando se aplica
Usa-se uma proporção quando duas razões são iguais e falta um dos quatro termos: escalas de mapas, receitas, preços por quantidade, misturas, velocidades constantes. Lê-se «a está para b como c está para d» e escreve-se a : b = c : d ou a/b = c/d.
Termos de uma proporção
Em a : b = c : d, os números a e d são os extremos e b e c são os meios. A propriedade fundamental diz que o produto dos meios é igual ao produto dos extremos: b × c = a × d.
Propriedade fundamental
a/b = c/d ⇔ a × d = b × c (com b e d diferentes de zero)
Método passo a passo
- Escreva a proporção com as razões em frações, mantendo a mesma ordem dos termos em cada razão (por exemplo, sempre «cm / km»).
- Multiplique em cruz: o numerador de uma fração com o denominador da outra.
- Forme a equação com o termo desconhecido (x).
- Isole o x: divida os dois lados pelo número que o multiplica.
- Verifique: substitua o x e confirme que as duas razões são iguais (simplificando-as) ou que os produtos cruzados coincidem.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Termo no numerador
Enunciado: Determine x em 3/5 = x/20.
Resolução:
- Produto cruzado: 5 × x = 3 × 20.
- 5x = 60.
- x = 60 ÷ 5 = 12.
Resposta: x = 12. Verificação: 12/20 = 3/5 (dividindo por 4). ✓
Exemplo 2 — Termo no denominador
Enunciado: Determine x em 8/x = 12/15.
Resolução:
- Produto cruzado: 12 × x = 8 × 15.
- 12x = 120.
- x = 120 ÷ 12 = 10.
Resposta: x = 10. Verificação: 8/10 = 4/5 e 12/15 = 4/5. ✓
Exemplo 3 — Será uma proporção?
Enunciado: Verifique se 6 : 9 = 14 : 21.
Resolução:
- Extremos: 6 × 21 = 126.
- Meios: 9 × 14 = 126.
- Os produtos são iguais.
Resposta: sim, é uma proporção. Verificação: 6/9 = 2/3 e 14/21 = 2/3.
Exemplo 4 — Nível de exame: expressões no lugar do x
Enunciado: Resolva (2x + 1)/9 = 5/3.
Resolução:
- Produto cruzado: 3 × (2x + 1) = 9 × 5.
- 6x + 3 = 45.
- 6x = 42.
- x = 7.
Resposta: x = 7. Verificação: (2 × 7 + 1)/9 = 15/9 = 5/3. ✓
Exemplo 5 — Problema com mapa
Enunciado: Num mapa, 2 cm representam 30 km. Que distância real corresponde a 7 cm?
Resolução:
- Proporção (cm / km): 2/30 = 7/x.
- Produto cruzado: 2x = 30 × 7 = 210.
- x = 210 ÷ 2 = 105.
Resposta: 105 km. Verificação: cada cm vale 15 km e 7 × 15 = 105.
Nota
Outra forma de resolver é o método da unidade. No Exemplo 5, 2 cm valem 30 km, logo 1 cm vale 30 ÷ 2 = 15 km e 7 cm valem 7 × 15 = 105 km. Serve como confirmação do resultado obtido pelo produto cruzado, sobretudo quando os números são simples.
Erros frequentes
- Trocar a ordem das razões (cm/km de um lado e km/cm do outro). Escreva as unidades ao lado de cada termo.
- Multiplicar em linha em vez de em cruz (3 × x = 5 × 20 dá um valor errado).
- Esquecer os parênteses quando o termo desconhecido é uma expressão: 3(2x + 1), não 3 × 2x + 1.
- Dividir pelo número errado no fim: divide-se pelo número que está a multiplicar x.
- Não verificar o resultado. Substituir o x demora uns segundos e evita perder pontos.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Resolva x/6 = 10/15.
Ver solução
15x = 60, logo x = 60 ÷ 15 = 4. Verificação: 4/6 = 2/3 e 10/15 = 2/3.
2Exercício 2
Resolva 9/12 = 15/x.
Ver solução
9x = 12 × 15 = 180, logo x = 180 ÷ 9 = 20. Verificação: 9/12 = 3/4 e 15/20 = 3/4.
3Exercício 3
Verifique se 8 : 12 = 10 : 15 é uma proporção.
Ver solução
Extremos: 8 × 15 = 120. Meios: 12 × 10 = 120. São iguais, logo é uma proporção.
4Exercício 4
Resolva (x − 3)/4 = 9/6.
Ver dica
Multiplique em cruz e use parênteses.
Ver solução
6 × (x − 3) = 4 × 9 = 36, logo x − 3 = 6 e x = 9. Verificação: (9 − 3)/4 = 6/4 = 3/2 e 9/6 = 3/2.
5Exercício 5
Numa planta, 3 cm representam 12 m. Que comprimento real representam 7 cm?
Ver solução
3/12 = 7/x, logo 3x = 84 e x = 28 m. Verificação: cada cm vale 4 m e 7 × 4 = 28.
Perguntas frequentes
Qual é a diferença entre razão e proporção?
Razão é a comparação de duas grandezas por divisão (3 para 5, ou 3/5). Proporção é a igualdade entre duas razões (3/5 = 12/20). A razão é uma fração; a proporção é uma equação.
Posso trocar os meios ou os extremos de lugar?
Sim, desde que o resultado continue a ser uma proporção: de 2/3 = 4/6 podem obter-se 2/4 = 3/6. Mas não troque termos ao acaso, confirme sempre com o produto cruzado.
O produto cruzado funciona sempre?
Funciona quando o enunciado é mesmo uma igualdade de duas razões e nenhum denominador é zero. Se uma grandeza não for proporcional a outra, a proporção não descreve o problema.
Qual a relação com a regra de três?
A regra de três simples direta é uma proporção em que se calcula o termo em falta: escreve-se a razão entre duas grandezas igual à razão entre as outras duas e resolve-se pelo produto cruzado.
Resumo
- Proporção é a igualdade de duas razões: a/b = c/d.
- Produto dos meios = produto dos extremos: a × d = b × c.
- Para achar x, multiplique em cruz e divida pelo número que multiplica x.
- Mantenha a mesma ordem das grandezas nas duas razões.
- Verifique sempre substituindo o valor encontrado.
Onde aprofundar
- O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
- O tema desta coleção sobre regra de três simples, que aplica este método a problemas.
- A Khan Academy (razões e proporções, em português), para praticar mais.
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