Matemática · 8.ª–10.ª classe

Como resolver sistemas com uma equação do 2.º grau?

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  • 4 exemplos resolvidos
  • 5 exercícios com solução
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Resposta curta

Passos: isole uma incógnita na equação do 1.º grau, substitua essa expressão na equação do 2.º grau, resolva a equação resultante (com a fórmula resolvente, se preciso) e calcule a outra incógnita para cada solução encontrada. Obtém-se, em geral, dois pares (x; y), e cada um deve ser verificado nas duas equações.

Quando se aplica

Este método serve para sistemas formados por uma equação do 1.º grau e uma do 2.º grau, como x + y = 5 e xy = 6, ou y = x + 2 e y = x2. A substituição transforma o sistema numa só equação do 2.º grau com uma incógnita, que já sabe resolver.

Geometricamente, a equação linear é uma reta e a do 2.º grau é uma curva (por exemplo, uma parábola). Resolver o sistema é achar os pontos onde a reta e a curva se cruzam, e uma reta pode cortar uma parábola em dois pontos, num ponto (tangente) ou em nenhum. É por isso que o número de soluções depende do sinal do discriminante.

Pré-requisitos

  • Isolar uma incógnita numa equação linear.
  • Desenvolver quadrados notáveis: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
  • Resolver equações do 2.º grau: fatorização, ou fórmula resolvente com Δ = b2 − 4ac.

Quantas soluções?

Depois de substituir e arrumar a equação na forma ax2 + bx + c = 0, o discriminante decide:

DiscriminanteSoluções de xPares (x; y)Significado geométrico
Δ > 0duasdoisa reta corta a curva em dois pontos
Δ = 0uma (dupla)uma reta é tangente à curva
Δ < 0nenhuma realnenhuma reta e a curva não se encontram

Método passo a passo

  1. Isole uma incógnita na equação linear (a mais fácil de isolar, de preferência com coeficiente 1): por exemplo, y = 5 − x.
  2. Substitua essa expressão na equação do 2.º grau, entre parênteses.
  3. Desenvolva e arrume a equação numa só incógnita na forma ax2 + bx + c = 0.
  4. Resolva-a: fatorização, soma e produto, ou fórmula resolvente.
  5. Calcule a outra incógnita para cada solução, usando a equação linear (a mais simples).
  6. Escreva os pares (x; y) emparelhados corretamente e verifique cada par nas duas equações originais.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Soma e produto

Enunciado: Resolva x + y = 5 e xy = 6.

Resolução:

  1. Da primeira equação: y = 5 − x.
  2. Em xy = 6: x(5 − x) = 6, isto é, 5x − x2 = 6.
  3. Arrumando: x2 − 5x + 6 = 0, que se fatoriza em (x − 2)(x − 3) = 0. Logo x = 2 ou x = 3.
  4. Se x = 2, y = 5 − 2 = 3. Se x = 3, y = 5 − 3 = 2.

Resposta: (2; 3) e (3; 2). Verificação: 2 + 3 = 5 e 2 × 3 = 6; 3 + 2 = 5 e 3 × 2 = 6.

Exemplo 2 — Soma dos quadrados

Enunciado: Resolva x − y = 1 e x2 + y2 = 25.

Resolução:

  1. Da primeira: x = y + 1.
  2. Na segunda: (y + 1)2 + y2 = 25, ou seja, y2 + 2y + 1 + y2 = 25.
  3. Arrumando: 2y2 + 2y − 24 = 0, e dividindo por 2: y2 + y − 12 = 0.
  4. Δ = 1 + 48 = 49, logo y = (−1 ± 7) ÷ 2, isto é, y = 3 ou y = −4.
  5. Se y = 3, x = 4. Se y = −4, x = −3.

Resposta: (4; 3) e (−3; −4). Verificação: 4 − 3 = 1 e 16 + 9 = 25; −3 − (−4) = 1 e 9 + 16 = 25.

Exemplo 3 — Reta e parábola

Enunciado: Determine os pontos de interseção da parábola y = x2 − 2x com a reta y = x + 4.

Resolução:

  1. Como os dois y são iguais, igualam-se as expressões: x2 − 2x = x + 4.
  2. Arrumando: x2 − 3x − 4 = 0. Δ = 9 + 16 = 25, logo x = (3 ± 5) ÷ 2, isto é, x = 4 ou x = −1.
  3. Pela reta: se x = 4, y = 8; se x = −1, y = 3.

Resposta: os pontos são (4; 8) e (−1; 3). Verificação: 16 − 8 = 8 e 4 + 4 = 8; 1 + 2 = 3 e −1 + 4 = 3.

Exemplo 4 — Nível de exame: dimensões de um terreno

Enunciado: Um terreno retangular tem 20 m de perímetro e 24 m2 de área. Quais são as suas dimensões?

Resolução:

  1. Sejam x e y as dimensões, em metros: 2(x + y) = 20 e xy = 24.
  2. Da primeira: x + y = 10, logo y = 10 − x.
  3. Na segunda: x(10 − x) = 24, ou seja, x2 − 10x + 24 = 0.
  4. Δ = 100 − 96 = 4, logo x = (10 ± 2) ÷ 2, isto é, x = 6 ou x = 4.
  5. Se x = 6, y = 4; se x = 4, y = 6. Os dois pares descrevem o mesmo retângulo, com os lados trocados.

Resposta: o terreno mede 6 m por 4 m. Verificação: 2 × (6 + 4) = 20 m e 6 × 4 = 24 m2.

Casos de uma solução e de nenhuma

  • Se y = x2 + 1 e y = 2x: x2 + 1 = 2x dá x2 − 2x + 1 = 0, isto é, (x − 1)2 = 0. Só x = 1 e y = 2: a reta toca a parábola num único ponto. Verificação: 1 + 1 = 2 e 2 × 1 = 2.
  • Se y = x2 + 1 e y = x − 1: x2 + 1 = x − 1 dá x2 − x + 2 = 0, com Δ = 1 − 8 = −7. Como Δ < 0, não há solução real e o sistema é impossível.

Erros frequentes

  • Emparelhar os valores ao acaso. De x = 2 ou x = 3 não se pode concluir que (2; 2), (2; 3), (3; 2) e (3; 3) são soluções: cada x tem um y, calculado na equação linear.
  • Substituir sem parênteses: (y + 1)2 não é y2 + 1, mas y2 + 2y + 1.
  • Substituir na equação errada. Depois de isolar y na linear, substitui-se na do 2.º grau; usar de novo a linear dá uma igualdade sem informação.
  • Esquecer de calcular a segunda incógnita. Achar só os x não resolve o sistema: faltam os y.
  • Calcular y na equação do 2.º grau, o que pode introduzir valores falsos: com x = 4, a equação x2 + y2 = 25 dá y = 3 ou y = −3, mas só y = 3 verifica x − y = 1. Use a equação linear.
  • Não verificar e perder soluções: dividir por uma incógnita ou «cortar» x numa equação pode eliminar uma solução (por exemplo x = 0).
  • Rejeitar uma solução negativa sem justificação: só se rejeita se o contexto o exigir (um comprimento não pode ser negativo, mas um par de números pode).

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Resolva x + y = 7 e xy = 12.

Ver solução

y = 7 − x e x(7 − x) = 12, logo x2 − 7x + 12 = 0, isto é, (x − 3)(x − 4) = 0. Se x = 3, y = 4; se x = 4, y = 3. Pares: (3; 4) e (4; 3). Verificação: 3 + 4 = 7 e 3 × 4 = 12.

2Exercício 2

Resolva y = x + 2 e y = x2.

Ver dica

Como os y são iguais, iguale as expressões.

Ver solução

x2 = x + 2, logo x2 − x − 2 = 0, isto é, (x − 2)(x + 1) = 0. Se x = 2, y = 4; se x = −1, y = 1. Pares: (2; 4) e (−1; 1). Verificação: 4 = 2 + 2 e 4 = 22; 1 = −1 + 2 e 1 = (−1)2.

3Exercício 3

Determine quantas soluções têm (a) y = x2 + 1 e y = 2x; (b) y = x2 + 1 e y = 2x − 3.

Ver dica

Substitua e calcule o discriminante.

Ver solução

(a) x2 + 1 = 2x dá x2 − 2x + 1 = 0, com Δ = 4 − 4 = 0: uma solução, x = 1, y = 2. (b) x2 + 1 = 2x − 3 dá x2 − 2x + 4 = 0, com Δ = 4 − 16 = −12: nenhuma solução real.

4Exercício 4

Resolva 2x + y = 3 e x2 + xy = 2.

Ver solução

y = 3 − 2x. Então x2 + x(3 − 2x) = 2, isto é, x2 + 3x − 2x2 = 2, logo −x2 + 3x − 2 = 0, ou x2 − 3x + 2 = 0, isto é, (x − 1)(x − 2) = 0. Se x = 1, y = 1; se x = 2, y = −1. Pares: (1; 1) e (2; −1). Verificação: 2 + 1 = 3 e 1 + 1 = 2; 4 − 1 = 3 e 4 − 2 = 2.

5Exercício 5

Um terreno retangular tem 34 m de perímetro e 13 m de diagonal. Determine as dimensões.

Ver dica

Use o teorema de Pitágoras: x2 + y2 = 132.

Ver solução

2(x + y) = 34 dá x + y = 17, logo y = 17 − x. Pitágoras: x2 + y2 = 169. Então x2 + (17 − x)2 = 169, isto é, 2x2 − 34x + 289 = 169, ou 2x2 − 34x + 120 = 0 e, dividindo por 2, x2 − 17x + 60 = 0. Δ = 289 − 240 = 49, logo x = (17 ± 7) ÷ 2, isto é, 12 ou 5. O terreno mede 12 m por 5 m. Verificação: 12 + 5 = 17 e 144 + 25 = 169.

Perguntas frequentes

Quando se usa este método?

Quando o sistema tem uma equação linear, porque ela permite isolar uma incógnita com facilidade. É o método habitual nos sistemas «linear + quadrática» do secundário, e também em problemas de áreas, perímetros e produtos de números.

Existe um método mais rápido?

Quando o sistema é da forma «soma e produto» (x + y = S e xy = P), x e y são as raízes de t2 − St + P = 0, o que poupa passos. No Exemplo 1, t2 − 5t + 6 = 0 dá logo 2 e 3.

Porque é que há dois pares de solução?

Porque a equação do 2.º grau que resulta da substituição tem, em geral, duas raízes, e cada raiz dá um par. Em problemas de geometria, os dois pares podem descrever a mesma figura com os papéis de x e y trocados.

Que erros são mais comuns?

Emparelhar os valores de x e y sem passar pela equação linear, desenvolver mal o quadrado e esquecer de calcular a segunda incógnita. Veja a secção «Erros frequentes».

Resumo

  • Num sistema «linear + 2.º grau», isole uma incógnita na linear e substitua na outra.
  • A substituição dá uma equação do 2.º grau numa só incógnita: resolva-a e use Δ para saber quantas soluções há.
  • Calcule a segunda incógnita pela equação linear, para cada raiz, e escreva pares (x; y).
  • Desenvolva os quadrados com cuidado: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
  • Verifique cada par nas duas equações e interprete no contexto, rejeitando só o que não faz sentido.

Onde aprofundar

  • O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
  • O manual aberto OpenStax Algebra and Trigonometry (em inglês), secção sobre sistemas de equações não lineares.

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