Probabilidade · 1.º ano (indicativo)
Como calcular a probabilidade a posteriori com o teorema de Bayes?
Resposta curta
A probabilidade a posteriori de uma hipótese A depois de observar o evento B é P(A|B) = P(B|A)·P(A) / P(B). Multiplique a verosimilhança pela probabilidade a priori e divida pela probabilidade total de B, calculada pela lei da probabilidade total.
Fórmula e significado de cada termo
O teorema de Bayes permite inverter uma probabilidade condicionada: conhecemos P(B|A) (a probabilidade de observar B se A for verdade) e queremos P(A|B) (a probabilidade de A ser verdade depois de observarmos B).
Teorema de Bayes
P(Aᵢ|B) = P(B|Aᵢ) · P(Aᵢ) / [ P(B|A₁)·P(A₁) + P(B|A₂)·P(A₂) + … + P(B|Aₙ)·P(Aₙ) ]
- P(Aᵢ): probabilidade a priori da hipótese Aᵢ, conhecida antes de observar B.
- P(B|Aᵢ): verosimilhança, a probabilidade de B se Aᵢ for verdadeira.
- O denominador é P(B), a probabilidade total de B (soma sobre todas as hipóteses).
- P(Aᵢ|B): probabilidade a posteriori, a que se quer calcular.
Condições de aplicação
- As hipóteses A₁, …, Aₙ formam uma partição: são mutuamente exclusivas (não podem ocorrer duas ao mesmo tempo) e exaustivas (uma delas ocorre sempre), logo P(A₁) + … + P(Aₙ) = 1.
- P(B) > 0.
- Conhecem-se as probabilidades a priori e as verosimilhanças.
Passo a passo
- Defina os eventos: as hipóteses (A₁, A₂, …) e o evento observado B.
- Liste os dados: P(Aᵢ) e P(B|Aᵢ) para cada hipótese. Confirme que as P(Aᵢ) somam 1.
- Calcule cada produto P(B|Aᵢ)·P(Aᵢ). São as «contribuições» de cada hipótese para B.
- Some-os para obter P(B) (probabilidade total).
- Divida o produto da hipótese pedida por P(B).
- Verifique: as probabilidades a posteriori de todas as hipóteses devem somar 1. Com uma tabela ou árvore de probabilidades o cálculo fica arrumado.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Duas máquinas numa fábrica
Enunciado: Numa fábrica de blocos de cimento, a máquina A produz 60% dos blocos e a máquina B os restantes 40%. A taxa de blocos defeituosos é 2% em A e 5% em B. Escolhe-se um bloco ao acaso e está defeituoso. Qual é a probabilidade de ter vindo da máquina B?
Resolução:
- Eventos: A = «vem de A», B = «vem de B», D = «defeituoso». P(A) = 0,6; P(B) = 0,4; P(D|A) = 0,02; P(D|B) = 0,05.
- Contribuições: P(D|A)·P(A) = 0,02 × 0,6 = 0,012; P(D|B)·P(B) = 0,05 × 0,4 = 0,020.
- P(D) = 0,012 + 0,020 = 0,032.
- P(B|D) = 0,020 / 0,032 = 0,625.
Resposta: 62,5%. Verificação: P(A|D) = 0,012/0,032 = 0,375 e 0,375 + 0,625 = 1.
Exemplo 2 — Teste de diagnóstico e doença rara
Enunciado: Numa população, 2% das pessoas têm uma certa doença. O teste dá positivo em 90% dos doentes e, por erro, em 10% dos não doentes. Uma pessoa testa positivo. Qual é a probabilidade de estar doente?
Resolução:
- D = «doente», + = «teste positivo». P(D) = 0,02; P(não D) = 0,98; P(+|D) = 0,9; P(+|não D) = 0,1.
- Contribuições: 0,9 × 0,02 = 0,018 (doentes com positivo); 0,1 × 0,98 = 0,098 (sãos com positivo).
- P(+) = 0,018 + 0,098 = 0,116.
- P(D|+) = 0,018 / 0,116 = 9/58 ≈ 0,155.
Resposta: cerca de 15,5%, apesar de o teste «acertar» em 90% dos doentes. Verificação: em 10 000 pessoas, 200 estão doentes (180 positivos) e 9 800 estão sãs (980 positivos); 180 de 1 160 positivos é 15,5%. A doença é rara, por isso a maioria dos positivos são falsos positivos.
Exemplo 3 — Três hipóteses: atrasos nos trajetos
Enunciado: Uma empresa de transportes tem três trajetos: o trajeto 1 transporta 50% dos passageiros, o trajeto 2 transporta 30% e o trajeto 3 transporta 20%. A probabilidade de atraso é 10%, 20% e 40%, respetivamente. Sabendo que um passageiro chegou atrasado, qual é a probabilidade de ter viajado no trajeto 3?
Resolução:
- Contribuições: 0,10 × 0,50 = 0,05; 0,20 × 0,30 = 0,06; 0,40 × 0,20 = 0,08.
- P(atraso) = 0,05 + 0,06 + 0,08 = 0,19.
- P(trajeto 3 | atraso) = 0,08 / 0,19 = 8/19 ≈ 0,421.
Resposta: cerca de 42,1%. Verificação: P(trajeto 1|atraso) = 5/19 ≈ 26,3% e P(trajeto 2|atraso) = 6/19 ≈ 31,6%; 5/19 + 6/19 + 8/19 = 1. Note que o trajeto 3 transporta só 20% dos passageiros mas explica 42% dos atrasos.
Exemplo 4 — Nível de exame: atualizar com uma segunda observação
Enunciado: No Exemplo 2, a pessoa repete o teste (independente do primeiro, dado o estado de saúde) e volta a dar positivo. Qual é a nova probabilidade de estar doente?
Resolução:
- A posteriori do Exemplo 2 torna-se a nova a priori: P(D) = 9/58 ≈ 0,155; P(não D) = 49/58.
- Contribuições: 0,9 × 9/58 = 8,1/58; 0,1 × 49/58 = 4,9/58.
- P(+) = (8,1 + 4,9)/58 = 13/58.
- P(D|+) = 8,1/13 ≈ 0,623.
Resposta: cerca de 62,3%. Verificação: o mesmo resultado obtém-se com os dois positivos de uma só vez: 0,9² × 0,02 = 0,0162 e 0,1² × 0,98 = 0,0098, e 0,0162/(0,0162 + 0,0098) = 0,0162/0,026 ≈ 0,623.
Erros frequentes
- Confundir P(A|B) com P(B|A). «90% dos doentes dão positivo» não significa «90% dos positivos estão doentes». É precisamente isso que Bayes corrige.
- Esquecer a probabilidade a priori (a taxa de base). Com uma doença rara, a maioria dos positivos são falsos positivos.
- Calcular mal o denominador: ele inclui todas as hipóteses, não só a que se pede.
- Usar hipóteses que não formam uma partição (sobrepostas, ou que não cobrem todos os casos). Verifique que as a priori somam 1.
- Não verificar a soma das posteriores (deve ser 1). É o teste mais rápido para detetar um erro.
- Dividir pelo valor errado: dividir por P(A) em vez de P(B).
Exercícios propostos
1Exercício 1
Uma caixa 1 contém 3 bolas vermelhas e 2 azuis; uma caixa 2 contém 1 vermelha e 4 azuis. Escolhe-se uma caixa ao acaso (probabilidade 1/2 cada) e retira-se uma bola, que é vermelha. Qual é a probabilidade de ser da caixa 1?
Ver solução
P(V|caixa 1) = 3/5 e P(V|caixa 2) = 1/5. P(V) = 0,5 × 0,6 + 0,5 × 0,2 = 0,3 + 0,1 = 0,4. P(caixa 1|V) = 0,3 / 0,4 = 0,75.
2Exercício 2
Num curso, 40% dos estudantes são do grupo A e 60% do grupo B. A taxa de aprovação é 80% no grupo A e 50% no grupo B. Um estudante foi aprovado. Qual é a probabilidade de ser do grupo A?
Ver solução
Contribuições: 0,8 × 0,4 = 0,32 (A) e 0,5 × 0,6 = 0,30 (B). P(aprovado) = 0,62. P(A|aprovado) = 0,32 / 0,62 = 16/31 ≈ 0,516 (51,6%).
3Exercício 3
30% das mensagens que chegam a uma caixa de correio são spam. A palavra «prémio» aparece em 50% do spam e em 5% das mensagens legítimas. Uma mensagem contém «prémio». Qual é a probabilidade de ser spam?
Ver solução
Contribuições: 0,5 × 0,3 = 0,15 (spam) e 0,05 × 0,7 = 0,035 (legítima). P(prémio) = 0,185. P(spam|prémio) = 0,15 / 0,185 = 30/37 ≈ 0,811 (81,1%).
4Exercício 4
Refaça o Exemplo 2 supondo que a doença afeta 20% da população (em vez de 2%), mantendo as taxas do teste. Compare e comente.
Ver dica
As probabilidades a priori passam a ser 0,2 e 0,8.
Ver solução
Contribuições: 0,9 × 0,2 = 0,18 e 0,1 × 0,8 = 0,08. P(+) = 0,26. P(D|+) = 0,18 / 0,26 = 9/13 ≈ 0,692 (69,2%). Com a mesma qualidade de teste, a probabilidade a posteriori sobe de 15,5% para 69,2%: a taxa de base pesa muito no resultado.
5Exercício 5
Um teste identifica corretamente 95% dos doentes (sensibilidade) e dá resultado negativo em 90% dos não doentes (especificidade). A doença afeta 5% da população. Calcule (a) P(doente | positivo) e (b) P(doente | negativo).
Ver dica
P(positivo | não doente) = 1 − 0,90 = 0,10 e P(negativo | doente) = 1 − 0,95 = 0,05.
Ver solução
(a) Contribuições para positivo: 0,95 × 0,05 = 0,0475 e 0,10 × 0,95 = 0,095. P(+) = 0,1425. P(D|+) = 0,0475 / 0,1425 = 1/3 ≈ 0,333. (b) Contribuições para negativo: 0,05 × 0,05 = 0,0025 e 0,90 × 0,95 = 0,855. P(−) = 0,8575. P(D|−) = 0,0025 / 0,8575 ≈ 0,0029 (0,29%).
Perguntas frequentes
Qual é a diferença entre probabilidade a priori e a posteriori?
A a priori é a probabilidade da hipótese antes de ver os dados (por exemplo, a taxa de doentes na população). A a posteriori é a probabilidade da mesma hipótese depois de se conhecer a evidência (por exemplo, o resultado do teste). O teorema de Bayes faz a ponte entre as duas.
Como verificar se o resultado está correto?
Calcule a posteriori de todas as hipóteses: têm de somar 1. Pode ainda confirmar com uma amostra imaginária de 10 000 pessoas, contando quantas pertencem a cada hipótese e quantas delas apresentam o evento, como no Exemplo 2.
Porque é que um teste «bom» pode dar uma posteriori pequena?
Porque, se a hipótese é rara, os falsos positivos (uma pequena percentagem de uma população enorme) superam os verdadeiros positivos (uma percentagem grande de uma população minúscula). Daí a importância da probabilidade a priori.
Pode usar-se Bayes com apenas duas hipóteses?
Sim, é o caso mais comum: A e o complementar de A. O denominador fica P(B|A)·P(A) + P(B|não A)·P(não A). Com mais hipóteses, basta acrescentar uma parcela por hipótese.
Resumo
- P(A|B) = P(B|A)·P(A) / P(B), com P(B) pela lei da probabilidade total.
- As hipóteses devem formar uma partição: exclusivas e exaustivas.
- A probabilidade a priori (taxa de base) influencia fortemente o resultado.
- P(A|B) e P(B|A) são, em geral, diferentes.
- A soma das probabilidades a posteriori de todas as hipóteses é 1: use-a para verificar.
- A posteriori pode servir de a priori para uma nova observação.
Onde aprofundar
- O programa da disciplina de Probabilidade da sua instituição e o programa oficial de Matemática (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
- Sheldon Ross, A First Course in Probability, capítulo sobre probabilidade condicionada e teorema de Bayes.
- Paul Meyer, Probabilidade: Aplicações à Estatística; e o curso aberto MIT OpenCourseWare 6.041 (Probabilistic Systems Analysis).
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