Probabilidade · 1.º ano (indicativo)

Como calcular o valor esperado de uma variável discreta?

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Resposta curta

O valor esperado de uma variável aleatória discreta X é a média dos seus valores ponderada pelas probabilidades: E(X) = Σ x · P(X = x). Multiplique cada valor pela sua probabilidade e some tudo. É o valor médio a longo prazo, não necessariamente um valor que X possa tomar.

Fórmula e significado de cada termo

Se X toma os valores x₁, x₂, …, xₙ com probabilidades p₁, p₂, …, pₙ, então:

Valor esperado (média) de X

E(X) = μ = x₁·p₁ + x₂·p₂ + … + xₙ·pₙ = Σ xᵢ·pᵢ

  • xᵢ: cada valor possível de X.
  • pᵢ = P(X = xᵢ): a probabilidade desse valor, com todos os pᵢ ≥ 0 e Σ pᵢ = 1.
  • E(X): o «centro de gravidade» da distribuição; repetindo a experiência muitas vezes, a média dos resultados aproxima-se de E(X).

Propriedades úteis

  • E(aX + b) = a·E(X) + b: o valor esperado respeita transformações lineares.
  • E(X + Y) = E(X) + E(Y), mesmo que X e Y não sejam independentes.
  • E(g(X)) = Σ g(xᵢ)·pᵢ: para uma função de X, aplique g a cada valor, não ao valor esperado.

Condições de aplicação

A variável tem de ser discreta, com uma distribuição de probabilidades bem definida (as probabilidades somam 1). Para variáveis com infinitos valores, a soma tem de convergir.

Passo a passo

  1. Liste os valores possíveis de X e as respetivas probabilidades, de preferência numa tabela.
  2. Confirme que as probabilidades somam 1. Se faltar uma, calcule-a por diferença.
  3. Multiplique cada valor pela sua probabilidade (xᵢ·pᵢ).
  4. Some os produtos: E(X).
  5. Interprete com unidades (Kz, peças, pontos…) e compare com os valores possíveis: E(X) está sempre entre o mínimo e o máximo de X.
  6. Verifique o resultado: se todos os valores são positivos, E(X) tem de ser positivo; se as probabilidades são todas iguais, E(X) é a média aritmética simples.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Lançamento de um dado

Enunciado: Seja X o número de pontos ao lançar um dado equilibrado. Calcule E(X).

Resolução:

  1. Valores 1, 2, 3, 4, 5, 6, cada um com probabilidade 1/6.
  2. E(X) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) × 1/6 = 21/6.

Resposta: E(X) = 3,5. Verificação: com probabilidades iguais, é a média aritmética de 1 a 6 (21 ÷ 6). Note que 3,5 não é um resultado possível do dado.

Exemplo 2 — Uma rifa

Enunciado: Numa rifa vendem-se 1 000 bilhetes a 500 Kz cada. Há um único prémio de 100 000 Kz. Qual é o ganho líquido esperado de quem compra um bilhete?

Resolução:

  1. Seja G o ganho líquido. Se ganhar: G = 100 000 − 500 = 99 500 Kz, com probabilidade 1/1 000. Se não ganhar: G = −500 Kz, com probabilidade 999/1 000.
  2. E(G) = 99 500 × 0,001 + (−500) × 0,999 = 99,5 − 499,5 = −400.

Resposta: E(G) = −400 Kz: em média, perde-se 400 Kz por bilhete. Verificação: o prémio esperado é 100 000 × 0,001 = 100 Kz, e 100 − 500 = −400.

Exemplo 3 — Distribuição dada em tabela

Enunciado: X é o número de clientes que entram numa loja em 5 minutos, com a distribuição:

x0123
P(X = x)0,10,30,40,2

Calcule E(X).

Resolução:

  1. Verifique: 0,1 + 0,3 + 0,4 + 0,2 = 1.
  2. Produtos: 0 × 0,1 = 0; 1 × 0,3 = 0,3; 2 × 0,4 = 0,8; 3 × 0,2 = 0,6.
  3. Soma: 0 + 0,3 + 0,8 + 0,6 = 1,7.

Resposta: E(X) = 1,7 clientes em 5 minutos. Verificação: 1,7 está entre 0 e 3 e mais perto de 2, o valor com maior probabilidade.

Exemplo 4 — Nível de exame: lucro de uma vendedora

Enunciado: Com a distribuição do Exemplo 3, uma vendedora no mercado ganha 200 Kz de lucro por cliente e tem um custo fixo de 150 Kz por cada período de 5 minutos. Qual é o lucro esperado por período?

Resolução:

  1. O lucro é L = 200X − 150.
  2. Pela linearidade: E(L) = 200·E(X) − 150 = 200 × 1,7 − 150 = 340 − 150 = 190.

Resposta: E(L) = 190 Kz por período. Verificação: diretamente: 200×0 − 150 = −150; 200×1 − 150 = 50; 200×2 − 150 = 250; 200×3 − 150 = 450; e −150×0,1 + 50×0,3 + 250×0,4 + 450×0,2 = −15 + 15 + 100 + 90 = 190.

Erros frequentes

  • Fazer a média simples dos valores sem ponderar. Só coincide com E(X) quando as probabilidades são iguais.
  • Não verificar se as probabilidades somam 1 antes de calcular; uma probabilidade em falta falseia o resultado.
  • Aplicar g ao valor esperado: E(X2) ≠ [E(X)]2. Calcule Σ x2·p.
  • Esperar que E(X) seja um valor possível de X. Um valor esperado de 3,5 num dado é perfeitamente normal.
  • Esquecer o custo em problemas de jogos e rifas: o ganho líquido é prémio menos preço.
  • Trocar a probabilidade com a frequência absoluta, usando contagens em vez de proporções.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Lança-se uma moeda equilibrada 3 vezes. Seja X o número de caras. Calcule E(X).

Ver dica

P(X = 0, 1, 2, 3) = 1/8, 3/8, 3/8, 1/8.

Ver solução

E(X) = 0 × 1/8 + 1 × 3/8 + 2 × 3/8 + 3 × 1/8 = (0 + 3 + 6 + 3)/8 = 12/8 = 1,5 caras.

2Exercício 2

X toma os valores 1, 2 e 3 com probabilidades 0,5, 0,3 e 0,2. Calcule E(X).

Ver solução

E(X) = 1 × 0,5 + 2 × 0,3 + 3 × 0,2 = 0,5 + 0,6 + 0,6 = 1,7.

3Exercício 3

Num jogo, paga-se 200 Kz para lançar um dado e recebe-se 60 Kz por cada ponto obtido. O jogo é favorável ao jogador? Calcule o ganho líquido esperado.

Ver solução

Recebimento esperado = 60 × E(X) = 60 × 3,5 = 210 Kz. Ganho líquido esperado = 210 − 200 = +10 Kz por jogo. É ligeiramente favorável ao jogador.

4Exercício 4

X toma os valores 0, 1, 2 e 4 com probabilidades 0,2, 0,3, k e 0,1. Determine k e calcule E(X).

Ver solução

0,2 + 0,3 + k + 0,1 = 1, logo k = 0,4. E(X) = 0 × 0,2 + 1 × 0,3 + 2 × 0,4 + 4 × 0,1 = 0 + 0,3 + 0,8 + 0,4 = 1,5.

5Exercício 5

Numa tômbola vendem-se 500 bilhetes a 400 Kz cada. Há 1 prémio de 50 000 Kz e 4 prémios de 10 000 Kz. Calcule o prémio esperado por bilhete e o ganho líquido esperado.

Ver solução

Total em prémios = 50 000 + 4 × 10 000 = 90 000 Kz. Prémio esperado por bilhete = 90 000 / 500 = 180 Kz. Ganho líquido esperado = 180 − 400 = −220 Kz.

Perguntas frequentes

Qual é a diferença entre valor esperado e média aritmética?

A média aritmética resume dados observados; o valor esperado resume uma distribuição de probabilidades, pesando cada valor pela sua probabilidade. Quando todos os valores são equiprováveis, os dois coincidem. Pela lei dos grandes números, a média de muitas observações aproxima-se de E(X).

O valor esperado tem de ser um dos valores possíveis?

Não. O valor esperado de um dado é 3,5 e o de uma rifa pode ser negativo e fracionário. É um valor médio a longo prazo, não o resultado de uma única realização.

Como verificar se o resultado está correto?

Confirme que as probabilidades somam 1, que E(X) fica entre o menor e o maior valor de X e, se possível, recalcule por outra via (por exemplo, pela linearidade, como no Exemplo 4). Em distribuições simétricas, E(X) é o centro.

O que é E(X2) e para que serve?

É Σ x2·p, o valor esperado do quadrado de X. Serve, por exemplo, para calcular a variância: Var(X) = E(X2) − [E(X)]2. Para a distribuição do Exemplo 3, E(X2) = 0,3 + 1,6 + 1,8 = 3,7 e a variância é 3,7 − 1,72 = 0,81.

Resumo

  • E(X) = Σ x·P(X = x): some cada valor multiplicado pela sua probabilidade.
  • As probabilidades têm de somar 1; calcule a que faltar por diferença.
  • E(aX + b) = a·E(X) + b, e E(X + Y) = E(X) + E(Y).
  • E(X) não tem de ser um valor possível de X.
  • Em jogos e rifas, subtraia o preço pago para obter o ganho líquido esperado.
  • Para funções de X, calcule E(g(X)) = Σ g(x)·p; não é g(E(X)).

Onde aprofundar

  • O programa da disciplina de Probabilidade da sua instituição e o programa oficial de Matemática (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
  • Sheldon Ross, A First Course in Probability, capítulo sobre esperança de variáveis aleatórias.
  • Paul Meyer, Probabilidade: Aplicações à Estatística; e o curso aberto MIT OpenCourseWare 6.041.

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